Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
FISA DISCIPLINEI
| MMG1005 | Coomologia formelor diferenţiale |
| Titularii de disciplina |
Conf. Dr. BLAGA Paul Aurel, pablaga cs.ubbcluj.ro |
| Obiective |
|
Cursul de coomologia formelor diferenţiale este o continuare naturală a cursurilor de varietăţi diferenţiabile, analiză pe varietăţi şi geometrie riemanniană. Scopul cursului este de a-i familiariza pe studenţi cu noţiunile de bază ale coomologiei de Rham a varietăţilor diferenţiabile, o teorie care stă la interfaţa dintre topologia diferenţială, geometria diferenţială şi topologia algebrică. Vom discuta, de asemenea, legatura dintre coomologia de Rham, omologia Hochschild si omologia ciclica |
| Continutul |
|
1. Introducere şi recapitulare: forme diferenţiale, diferenţiala exterioară, integrare pe varietăţi, teorema lui Stokes
2. Coomologia de Rham: definiţie, exemple, proprietăţi elementare 3. Interludiu algebric: complexe de (co)lanţuri într-o categorie şi (co)omologia lor 4. Proprietăţi fundamentale ale coomologiei de Rham: invarianţă la omotopii, şirul Mayer-Vietoris 5. Primele aplicaţii ale coomologiei de Rham: teorema de punct fix a lui Brouwer, câmpuri vectoriale pe sfere, teorema de invarianţă a domeniului 6. Varietăţi riemanniene, elemente de teorie Hodge 7. Gradul unei aplicaţii, numere de legătură, indicele unui câmp vectorial 8. Teorema Poincare-Hopf (legătura dintre caracteristica Euler şi indicele unui câmp de vectori pe o varietate compactă) 9. Calculul coomologiei de Rham pentru anumite varietăţi compacte (spaţii proiective, varietăţi Grassman) 10. Curenţi, omologia de Rham, teorema de izomorfism a lui de Rham 11. Fibrate vectoriale şi conexiuni pe ele. Curbura unei conexiuni 12. Clase caracteristice şi clasificarea fibratelor vectoriale 13. Obţinerea formelor diferenţiale cu ajutorul omologiei Hochschild a algebrei funcţiilor netede 14. Legătura dintre coomologia de Rham a unei varietăţi şi omologia ciclică a algebrei funcţiilor netede |
| Bibliografie |
|
1.Bott, R., Tu, L.: Differential Forms in Algebraic Topology, Springer, 1982
2.Connes, A.: Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994 3.Flanders, H.: Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover, 1989 4.Lafontaine, J.: Introduction aux varietes differentielles, EDP Sciences, 1996 5.Loday, J.L.: Cyclic Homology, Springer, 1992 6.I. Madsen, J. Tornehave - From Calculus to Cohomology, Cambridge University Press, 1997 7.S. Morita - Geometry of Differential Forms, AMS, 2001 8.Warner, F.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983 9.Weibel, Ch.: An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 10.von Westenholtz, C.: Differential Forms in Mathematical Physics, North Holland, 1978 |
| Evaluare |
|
Examen final (70%), referate (30%) |
| Legaturi: | Syllabus-urile tuturor disciplinelor Versiunea in limba engleza a acestei discipline Versiunea in format rtf a acestei discipline |