Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
FIŞA DISCIPLINEI

Codul	Disciplina	
MMG1005	Coomologia formelor diferenţiale	

Specializarea	Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
Matematica	4	2+2+0	specialitate	optionala	

Titularii de disciplină	Conf. Dr. BLAGA Paul Aurel, pablaga@cs.ubbcluj.ro	
Obiective	Cursul de coomologia formelor diferenţiale este o continuare naturală a cursurilor de varietăţi diferenţiabile, analiză pe varietăţi şi geometrie riemanniană. Scopul cursului este de a-i familiariza pe studenţi cu noţiunile de bază ale coomologiei de Rham a varietăţilor diferenţiabile, o teorie care stă la interfaţa dintre topologia diferenţială, geometria diferenţială şi topologia algebrică. Vom discuta, de asemenea, legatura dintre coomologia de Rham, omologia Hochschild si omologia ciclica	
Conţinutul	 1. Introducere şi recapitulare: forme diferenţiale, diferenţiala exterioară, integrare pe varietăţi, teorema lui Stokes
 2. Coomologia de Rham: definiţie, exemple, proprietăţi elementare
 3. Interludiu algebric: complexe de (co)lanţuri într-o categorie şi (co)omologia lor 
 4. Proprietăţi fundamentale ale coomologiei de Rham: invarianţă la omotopii, şirul Mayer-Vietoris 
 5. Primele aplicaţii ale coomologiei de Rham: teorema de punct fix a lui Brouwer, câmpuri vectoriale pe sfere, teorema de invarianţă a domeniului 
 6. Varietăţi riemanniene, elemente de teorie Hodge 
 7. Gradul unei aplicaţii, numere de legătură,  indicele unui câmp vectorial 
 8. Teorema Poincare-Hopf (legătura dintre caracteristica Euler şi indicele unui câmp de vectori pe o varietate compactă)
 9. Calculul coomologiei de Rham pentru anumite varietăţi compacte (spaţii proiective, varietăţi Grassman) 
10. Curenţi, omologia de Rham, teorema de izomorfism a lui de Rham 
11. Fibrate vectoriale şi conexiuni pe ele. Curbura unei conexiuni 
12. Clase caracteristice şi clasificarea fibratelor vectoriale 
13. Obţinerea formelor diferenţiale cu ajutorul omologiei Hochschild a algebrei funcţiilor netede 
14. Legătura dintre coomologia de Rham a unei varietăţi şi omologia ciclică a algebrei funcţiilor netede
	
Bibliografie	1.Bott, R., Tu, L.: Differential Forms in Algebraic Topology, Springer, 1982
2.Connes, A.: Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
3.Flanders, H.: Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover, 1989
4.Lafontaine, J.: Introduction aux varietes differentielles, EDP Sciences, 1996
5.Loday, J.L.: Cyclic Homology, Springer, 1992
6.I. Madsen, J. Tornehave - From Calculus to Cohomology, Cambridge University Press, 1997
7.S. Morita - Geometry of Differential Forms, AMS, 2001
8.Warner, F.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983
9.Weibel, Ch.: An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994
10.von Westenholtz, C.: Differential Forms in Mathematical Physics, North Holland, 1978

	
Evaluare	Examen final (70%), referate (30%)