Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenþã

FISA DISCIPLINEI

Codul
Denumirea disciplinei
MMA0029 Analiză matematică 3 (Calcul integral în R^n)
Specializarea
Semestrul
Ore: C+S+L+P
Statutul
Matematică
3
2+2+0+0
obligatorie
Matematică informatică
3
2+2+0+0
obligatorie
Titularii de disciplina
Conf. Dr. DIACONU Adrian,  adiaconumath.ubbcluj.ro
Conf. Dr. FINTA Zoltan,  fzoltanmath.ubbcluj.ro
Conf. Dr. BRECKNER Brigitte Erika,  brigittemath.ubbcluj.ro
Obiective
Aprofundarea unor cunostiinte clasice de calcul integral pentru functii de mai multe variabile.
Célkitûzések
Fontosabb típusintegrálok bevezetése és tanulmányozása: elsofajú vonalintegrál, másodfajú
vonalintegrál, többváltozós valós függvények Riemann integrálja, elsofajú felületi integrál,
másodfajú felületi integrál.
Continutul
Cursul 1. Functii cu variatie marginita cu valori în Rn. Aditivitatea fata de interval a variatiei totale pentru astfel de functii. Functii vectoriale derivabile si de clasa C¹. Relatii asupra acestor tipuri de functii vectoriale. Clase de functii cu variatie marginita cu stabilirea unor relatii de incluziune.
Expresia integrala a unui drum de clasa C¹ ( enuntul si demonstratia teoremei de baza).
Seminarul 1. Exemple de drumuri rectificabile si nerectificabile în R². Efectuarea demonstratiilor unor rezultate enuntate la curs.

Cursul 2. Functii reale cu variatie marginita. Clasa functiilor monotone. Teorema lui Jordan.
Integrabilitatea si integrala Riemann-Stieltjes a unei functii în raport cu o alta. Sume integrale cu unele proprietati ale lor. Definitia integrabilitatii si a integralei Riemann-Stieltjes si unele proprietati importante.
Seminarul 2. Exercitii privind calculul varatiei totale ale unor functii cu valori în R² si R³ (a lungimii unor drumuri în R² si R³ când acestea sunt date printr-o parametrizare). Completari la curs prin efectuarea unor demonstratii lasate pentru la seminar.

Cursul 3. Sumele Darboux-Stieltjes. Proprietati. Caracterizarea Integrabilitatii Riemann-Stieltjes cu ajutorul sumelor Darboux-Stieltjes (teorema lui Darboux). Criterii de integrabilitate Riemann-Stieltjes. Reducerea integralei Riemann-Stieltjes la o integrala Riemann in anumite situatii.
Seminarul 3. Obtinerea unor formule de calcul în cazul în care drumul din R² are ca imagine graficul unei functii. Cazul în care drumul are ca imagine un arc de curba care are ecuatia în coordonate polare. Din [6] exercitiile 3.8- 3.11 si 3.18-3.36 (pag. 76 - 77).

Cursul 4. Comportarea variatiei totale a unei functii, precum si a integrabilitatii si integralei Riemann-Stieltjes in raport cu operatie de compunere a functiilor.
Arce de curba parametrizabile. Drum reprezentetiv a unui arc de curba. Drumuri echivalente si antiechivalente. Teorema potivit careia oricare doua drumuri reprezentative ale unui arc de curba sunt fie echivalente fie antiechivalente.
Seminarul 4. Exemple de cazuri de integrabilitate Riemann-Stieltjes si cazuri de neintegrabilitate. Calculul unor integrale Riemann-Stieltjes.

Cursul 5. Definirea celor doua tipuri de integrale pe arce de curba prametrizabile, respectiv pe arce parametrizabile si orientate, din functii reale de m variabile reale ca integrale Riemann-Stietjes. Formule de calcul, în cazuri particulare pentru diferite tipuri de integrale, prin reducere la integrale Riemann.
Seminarul 5. Exercitii privind calculul unor integrale de diferite tipuri pe drumuri. Formule de calcul în cazurile particulare semnalate si în seminarul anterioar. Din [6] exercitiile 3.37 – 3.87 (pag. 78 – 81).

Cursul 6. Forme diferentiale liniare si integrarea lor pe drumuri. Formula de calcul pentru integrala unei forme diferentiale liniare într-un caz particular, prin reducerea la o integrala Riemann. Functii vectoriale definite pe domenii din Rn care admit primitive. Calculul integralei pe un drum a unei forme diferentiale liniare în cazul în care functia vectoriala generatoare admite primitive (o generalizare a formulei lui Leibnitz-Newton). Expresia primitivei unei functii vectoriale. Conditii necesare si suficiente de existenta a primitivei unei functii vectoriale.
Seminarul 6. Exercitii privind calulul integralelor unor forme diferentiale liniare. Exercitii privind verificara faptului ca anumite functii vectoriale admit primitive, determinarea acestor primitive si calculul unor integrale pe drumuri din forme diferentiale liniare cu ajutorul functiilor generatoare a formelor diferentiale liniare de integrat. Din [6] exercitiile 3.90-3.115 (pag.81-82).

Cursul 7. Operatii cu drumuri (reuniunea a doua drumuri si drumul invers al unui drum). Comportarea integralelor de diferite tipuri fata de aceste operatii. Drumuri de clasa C¹ pe portiuni. Teorema privind legatura dintre existenta primitivei si independenta de drum a integralei functiei vectoriale care admite aceasta primitiva.
Seminarul 7. Continuarea exemplificarilor de tipul celor din seminarul antetrior.

Cursul 8. Intervale si multimi elementare din Rn. Definirea volumului unui interval din Rn si a masurii unei multimi elementare. Proprietati referitoare la intervale si multimi elementare. Definitia masurabilitatii si a masurii Jordan a unei multimi din Rn.O conditie necesara si suficienta de masurabilitate Jordan a unei multimi din Rn. Multimi cu masura Jordan nula. Conditia necesara si suficienta ca o multime sa fie de masura Jordan nula. O conditie necesara si suficienta de masurabilitate Jordan a unei multimi prin proprietatea frontierei sale.
Seminarul 8. Orice multime simpla din R² si R³ marginita de graficele unor funcatii continue este masurabila Jordan. Determinarea ariilor unor multimi din R² si determinarea volumelor unor multimi din R³. Din [6] exercitiile 4.14-4.31 (pag.92) si 4.88-4.117 (pag. 96 - 97).

Cursul 9. Proprietati ale masurii Jordan a unei multimi din Rn în legatura cu diferitele operatii cu multimi. Masura exterioara Lebesgue a unei multimi din Rn. Multimi neglijabile Lebesgue. Legatura cu masurabilitatea Jordan.
Definitia integrabilitatii si a integralei Riemann a unei functii reale de n variabile reale. Cazul particular al functiilor definite pe un interval din Rn. Marginirea functiilor reale de n variabile reale integrabile Riemann. Teorema lui G. Darboux privind caracterizarea integrabilitatii Riemann în cazul functiilor reale de n variabile reale cu ajutorul sumelor lui Darboux. Exprimarea integrabilitatii Riemann prin egalitatea dintre integrala inferioara si cea superioara.
Seminarul 9. Calculul unor integrale din functii reale de 2 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor functii reale de doua variabile reale.

Cursul 10. Legatura dintre continuitate si integrabilitatea Riemann. Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann. Enuntul si demonstratia lemelor ajutatoare si a teoremei de baza. Integrabilitatea Riemann a functiilor continue.
Aditivitatea fata de domeniul de integare a integrabilitatii si integralei Riemann.
Seminarul 10. Calculul unor integrale din functii reale de 3 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor functii reale de trei variabile reale.
Din [6] exercitiile 4.79-4.87 pag 95-96 si exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 11. Reducerea unei integrale a unei functii reale de n variabile reale la integrale iterate. Teorema lui Fubini, generalizari si cazuri particulare ale acesteia. Calculul integralelor duble si triple prin reducerea la integrale iterate.
Seminarul 11. Schimbarea de variabila în integrala dubla si tripla. Schimbari de variabila remarcabile. Din [6] exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 12. Legatura dintre integrala pe un domeniu din R² si integrala pe frontiera orientata a acestui domeniu. Formula lui Green.
Pânze parametrizate în R³. Definitia integralei de primul tip a unei functii definite pe o pânza parametrizata clasica în raport cu aria determinata de aceasta. Aria determinata de o pânza parametrizata clasica. Calculul integralei de primul tip a unei functii continue definite pe o pânza parametrizata clasica de clasa C¹ în raport cu aria determinata de aceasta. Demonstrarea lemelor aferente si a teoremei de baza.
Seminarul 12. Exercitii privind alicarea formulei lui Green. Integrala multiple improprii si aplicatii în fizica a integralelor multiple. Din [6] exercitiile 6.1-6.24, pag.114-116 si 4.140-4.197.
Exercitii privind calculul integralelor de primul tip a unei functii definite pe o pânza parametrizata clasica în raport cu aria determinata de aceasta. Din [6] exercitiile 5.9-5.35. pag.108-109.

Cursul 13. Forme diferentiale de ordinul 2 si integrarea lor pe pânze parametrizate. Varietati orientate de ordinul 2 în R³. Integrala unei forme diferentiale de ordinul 2 în R³ pe o varietate orientate din R³ de acelasi ordin.
Seminarul 13. Exercitii privind calculul integralelor de al doilea tip a unei functii definite pe o pânza parametrizata clasica. Din [6] exercitiile 5.36-5.57. pag.109-111.

Cursul 14. Portiuni simple si portiuni orientate de suprafata si pânze parametrice reprezentative ale acestora. Integrale pe aceste suporturi. Teoremele lui Stokes si Gauss-Ostrogradski pentru legaturile dintre diferitele tipuri de integrale.
Seminarul 14. Exercitii privind teoremele lui Stokes si Gauss-Ostrogradski pentru legaturile dintre diferitele tipuri de integrale. Din [6] exercitiile 6.25-6.50. pag.116-118.
Tartalom
1) Korlátos változású függvények (f : [a,b] \to R esete). A folytonosan differenciálható függvény teljes
változásának meghatározása [1, 103-106]
1) Gyakorlatok [3, 5-43]

2) Utak, görbék az R^{p} térben. Muveletek utakkal. Rektifikálható utak. Ívhossz függvény és
kifejezése sima út esetén. Elsofajú vonalintegrál [1, 108-111; 219-221]
2) Fontosabb utak és görbék [8]

3) Másodfajú vonalintegrál. Az úttól való függetlenség, a primitiv függvény meghatározása
[1, 221-230]
3) Elsofajú és másodfajú vonalintegrálok kiszámítása. Primitív függvény meghatározása [4, 234-242]

4) Jordan mérheto halmazok az R^{n} térben. Jordan-nullamérteku halmazok [1, 231-235]
4) Fontosabb integrálási módszerek [4, 201-223]

5) Többváltozós valós függvények Riemann-integrálja. Darboux-összegek, az integrálhatóság
Darboux-féle kritériuma [1, 236-243]
5) Fontosabb integrálási módszerek [4, 201-223]

6) A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma. Az integrál additivitása. Fubini-tétel.
[1, 243-248]
6) A Fubini tétel alkalmazása [4, 243-258; 265-273]

7) Green-képlet és alkalmazásai [1, 249-257]
7) Green-képlet és alkalmazásai [4, 243-258]

8) Változócsere tétele többváltozós valós függvények esetén [1, 249-257]
8) Kettos és hármas integrálok kiszámítása a változócsere tételével [4, 243-258; 265-273]

9) Felületek az R^{3} térben. Sima felület területének meghatározása [1, 259-265]
9) Kettos és hármas integrálok kiszámítása a változócsere tételével [4, 243-258; 265-273]

10) Elsofajú felületi integrál. Írányított felületek. Peremes felület és annak iranyítása.
Másodfajú felületi integrál [1, 265-268]
10) Elsofajú és másodfajú felületi integrálok kiszámítása [4, 258-265]

11) Gauss-Osztrogradszkij-féle képlet. Stokes-féle képlet [1, 269-275]
11) Alkalmazások a Gauss-Osztrogradszkij-féle képletre és a Stokes-féle képletre [4, 245-273]

12) Paramétertol függo integrálok (határátmenet az integráljel alatt; deriválás az integráljel alatt;
integrálás az integráljel alatt) [1, 204-211]
12) Paramétertol függo integrálok kiszámítása [7, 46-54]

13) Paramétertol függo improprius integrálok (határátmenet az integráljel alatt; deriválas az
integráljel alatt; integrálás az integráljel alatt) [1, 211-218]
13) Paramétertol függo improprius integrálok kiszámítása [7, 46-54]

14) Az Euler-féle Beta es Gamma függvények. Fontosabb tulajdonságok [1, 211-218]
14) Az Euler-féle integrálok tulajdonságai [9, 7-33]
Bibliografie
1. BALAZS M.: Analiza matematica, III si IV, Universitate, Cluj-Napoca, 1983,1984
2. BALAZS M., KOLUMBAN I.: Matematikai analizis, Dacia Konivkyado, Kolozsvar-Napoca, 1978
3. BOBOC N.: Analiza matematica, II, Universitate, Bucuresti, 1993
4. BUCUR G., CAMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, III, Editura tehnica, Bucuresti, 1967
5. COBZAS ST.: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa universitara clujeana, Cluj-Napoca, 1997
6. COLOJOARA I.: Analiza matematica, Ed. did. si ped., Bucuresti, 1983
7. DEMIDOVICI B.P.: Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica, Ed. tehnica, Bucuresti, 1956
8. SIKORSKI R.: Advanced Calculus, PWN-Polish Scientific Publishiers, Warsawa, 1969
9. WALTER W.: ANALYSIS I, Zweite Aufl. Berlin, Springer-Verlag,1990
10. ***: Analiza matematica, II, Ed. did. si pedag., Bucuresti, 1980
11. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis.Teil 2. 9. Auflage. Stuttgart: B. G. Teubner, 1995.
Evaluare
Examen scris si oral
Felmérés
Zárthelyi dolgozat (20%) + Írásbeli dolgozat és szóbeli vizsga (80%).
Syllabus-urile tuturor disciplinelor