Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licență

FISA DISCIPLINEI

Codul
Denumirea disciplinei
MLR0046 Complemente de algebră
Specializarea
Semestrul
Ore: C+S+L+P
Statutul
Matematică - în limba maghiară
4
2+1+0+0
optionala
Matematică informatică - în limba maghiară
4
2+1+0+0
optionala
Titularii de disciplina
Conf. Dr. COVACI Rodica,  rcovacimath.ubbcluj.ro
Obiective
Completarea cunostintelor de teoria multimilor, combinatorica, aritmetica numerelor si a polinoamelor, teoria grupurilor si teoria ecuatiilor algebrice din cursurile de algebra din semestrele anterioare.
Continutul
Urmatoarele teme vor fi predate la CURS si ilustrate prin exemple, exercitii si probleme la SEMINAR:
Sapt.1. Introducerea axiomatica a multimii N (axiomatica lui Peano): axiomele lui Peano, principiul inductiei matematice, consecinte imediate ale axiomelor lui Peano, operatii pe multimea N, ordonarea multimii N.
[2, Cap.4, 4.2.2]; [1, Cap.III, 1.]
Sapt.2. Metoda inductiei matematice (variante): axioma inductiei matematice, principiul inductiei matematice (primul principiu de inductie), principiul inductiei noetheriene (al doilea principiu de inductie), principiul inductiei transfinite. Aplicatii ale metodei inductiei matematice.
[2, Cap.4, 4.2.2]; [3, Cap.I, 1.1, 1.2, 1.3, 4.5]
Sapt.3. Elemente de combinatorica: cuvinte cu elemente dintr-o multime, aranjamente cu repetitie, multimi ordonate, aranjamente fara repetitie, permutari fara repetitie, permutari cu repetitie.
[2, Cap.4, 4.4.1, 4.4.2, 4.5]; [3, Cap.I, 2.1, 2.2]
Sapt.4. Combinari fara repetitie si legatura lor cu numarul functiilor strict crescatoare definite intre multimile ordonate finite. Combinari cu repetitie.
[2, Cap.4, 4.4.3, 4.5]; [3, Cap.I, 2.3, 2.4]
Sapt.5. Aplicatii ale combinatoricii: numarul maxim de termeni din forma canonica a unui polinom, produs de binoame, puterea unei sume (formula multinomului).
[3, Cap.I, 2.5]
Sapt.6. Aritmetica numerelor si a polinoamelor (studiu comparativ). Relatia de divizibilitate in N, teorema impartirii cu rest in N (demonstratie bazata pe Lema lui Arhimede). Aplicatie: sisteme de numeratie.
[2, Cap.5, 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3]; [1, Cap.III, 2., 3.]
Sapt.7. Constructia si structurarea multimii numerelor intregi Z.
[2, Cap.4, 4.3.1]
Sapt.8. Relatia de divizibilitate in Z, teorema impartirii cu rest in Z (demonstratie bazata pe teorema impartirii cu rest in N). Relatia de divizibilitate in inelul polinoamelor, teorema impartirii cu rest pentru polinoame. Model de demonstratie in paralel a teoremei impartirii cu rest pentru numere intregi si pentru polinoame peste corpul numerelor complexe.
[2, Cap.5, 5.2.1, 5.2.2]; [3, Cap.II, 1., 2., 3.]
Sapt.9. Structuri algebrice: grup, inel, corp (recapitularea unor notiuni de baza). Structura unor grupuri finite, tipurile de grupuri cu n elemente, teoreme de structura pentru grupuri finite.
[3, Cap.III, 2.1, 2.2, 2.3]; [6]
Sapt.10. Actiuni ale grupurilor pe multimi si reprezentari prin permutari asociate. Orbite si stabilizatori.
[3, Cap.III, 3.2]; [5, Cap.IV, 1., 3.]; [6]
Sapt.11. Aplicatii ale grupurilor finite: grupul de simetrie al unei figuri, aplicatii ale actiunilor de
grupuri, metoda de numarare Polya-Burnside.
[3, Cap.III, 3.1, 3.2, 3.3]
Sapt.12. O constructie elementara de inele si corpuri. Corpul numerelor rationale.
[3, Cap.III, 1.1, 1.2]; [7, Cap.IV, 6.]
Sapt.13. Ecuatii algebrice. Teorema fundamentala a algebrei. Numere complexe exprimabile prin radicali.
[4, Cap.III, 7., Cap.IV, 1., 2.]
Sapt.14. Formulele de rezolvare pentru ecuatiile de gradul doi, trei si patru cu coeficienti compecsi. Natura radacinilor ecuatiei de gradul trei cu coeficienti reali.
[4, Cap.IV, 3., 4.]
Bibliografie
1. Becheanu, M. si colectiv, Algebra, Editura ALL, Bucuresti, 1998.
2. Breaz, S.; Covaci, R., Elemente de logica, teoria multimilor si aritmetica, Editura Fundatiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006.
3. Ion, I.D.; Nita, C., Nastasescu, C., Complemente de algebra, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1984.
4. Nastasescu, C.; Nita, C., Teoria calitativa a ecuatiilor algebrice, Editura Tehnica, Bucuresti, 1979.
5. Popescu, D.; Vraciu, C., Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986.
6. Purdea, I.; Pelea, C., Probleme de algebra, Editura EIKON, Cluj-Napoca, 2008.
7. Rus, A.I. si colectiv, Matematica si aplicatiile sale, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1995.
Evaluare
Lucrare de control(25%) + Colocviu(75%).
Lucrarea de control se va da in saptamana a 6-a a semestrului si va verifica cunostintele teoretice si practice (probleme) din capitolul 1.
Activitatea se incheie cu colocviu. Subiectele de colocviu vor consta din intrebari teoretice si practice (probleme) din capitolele 2, 3 si 4.
Syllabus-urile tuturor disciplinelor