Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1007	Funcţii univalente şi subordonări diferenţiale	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
4	2+1+0+1	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
SALAGEAN Grigore Stefan	Dr. 	Prof.	Matematica	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Aprofundarea unor cunostinte privind functiile univalente, care joaca un rol central in teoria geometrica a functiilor analitice. Expunerea metodei subordonarilor diferentiale, astfel incat ea sa poata fi utilizata in obtinerea de noi rezultate stiintifice.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Functii univalente, rezultate clasice. Teorema ariei. Teoreme de acoperire si deformare.
2. Functii olomorfe cu partea reala pozitiva. Formula lui Herglotz. Reprezentari prin integrale Stieltjes. Subordonare. Principiul subordonarii. 
3. Clase speciale de functii univalente. Functii stelate, functii convexe, functii alfa-convexe, functii aproape convexe. Caracterizarea intrinseca a functiilor aproape convexe (Teorema lui Kaplan).Functii tipic reale. Conditii suficiente de univalenta pentru functii tipic reale si integrale de tip Cauchy. Functii meromorfe.
4. Subordonari diferentiale. Leme fundamentale. Clasa functiilor admisibile. Aplicatii	

V. Bibliografie
1. P. T. Mocanu, T. Bulboacă, G. S. Sălăgean : Teoria geometrică a funcţiilor univalente,       Cluj-Napoca: Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca,Ed. II, 2006.
2. G. S. Sălăgean, Geometria planului complex, PromediaPlus, Cluj-Napoca, 1997
3. I. Graham, G. Kohr, Geometric function theory in one and higher dimensions, Marcel Inc., NY, 2003
4. Ch. Pommerenke : Univalent Functions, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht,  1975
5. S. S. Miller, P. T. Mocanu : Differential Subordinations. Theory and Applications, New York &#8211; Basel, Marcel Dekker Inc., 2000
6. P. Hamburg, P. T. Mocanu, N. Negoescu, Analiză matematică (Funcţii complexe), Ed. Did. şi Ped., Bucureşti ,1982.
7. A. W. Goodman, Univalent Functions, Mariner Publ. Comp., Tampa, Florida, 1984
8. P. T. Mocanu, Funcţii complexe, Partea I, Lito. Universitaţii Cluj, 1972
9. P. Duren, Harmonic mappings in the plane, Cmbridge Univ. Press, 2004
10. A. F. Nikiforov, V. B. Uvarov, Elements de la theorie des foncti0ons speciales, Ed. Mir, Moscou, 1976

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri
1. Funcţii univalente; rezultate clasice. Teorema ariei. [1, p.1-7], [2, p.129-141], [3, p. 3-13]
2.Teorema de acoperire pentru clasa S (Koebe, Bieberbach). Teorema de acoperire pentru clasa Sigma. Teoreme de deformare (Koebe, Bieberbach).  Conjectura lui Bieberbach [1, p. 8-12, 142-147], [2, p. 141-146], [3, p. 13-18]
3.  Funcţii analitice cu  partea reală pozitivă. Reprezentarea integrala; formula lui Herglotz. Subordonare [1, p. 31-42], [2, p. 146-148], [3, p.27-35]
4. Funcţii stelate. Raza de stelaritate. Teorema de delimitare a coeficienţilor funcţiilor din clasa S*. Formula de structură. [1, 44-49], [2, p. 148-151], [4, p. 42-44], [3, p. 36-42]
5 Funcţii convexe. Teorema de dualitate (Alexander). Raza de convexitate. [1, 49-55], [2, p. 151-157], [4, p. 44-47], [3, p. 43-52]
6.  Funcţii alfa - convexe. Teorema de stelaritate a funcţiilor alfa - convexe. Teorema de dualitate. [1, p. 56-70]
7. Funcţii Bazilevici. Funcţii spiralate. Funcţii a căror derivată are partea realâ pozitivă [1, p. 70-76, 78-81], [3, p. 73-79]
8. Funcţii stelate sau convexe de un ordin real sau complex. [1, p. 76-77], [3, p. 54-58]
9. Funcţii aproape convexe.. (Kaplan). Domenii liniar accesibile. Teorema de legatură dintre alfa-convexitate si aproape-convexitate [1, p. 81-88], [4, p. 51-55], [3, p. 63-73]
10  Funcţii tipic reale. Teorema de caracterizare a clasei TR.  [1, p. 88-92]
11. Funcţii meromorfe.stelate sau convexe [1, p.92-97], [4, p. 47-50]
12. Funcţii analitice cu coeficienţi negativi. Operatori diferenţiali şi integrali. [2, p. 165-173]
13. Subordonări diferenţiale; leme fundamentale [1, p.177-185], [5, p. 13-27], [2, p. 159-165]
14. Metoda subordonărilor diferenţiale [1, p.185-205] [5, p. 27-36]

Seminarii
1. Funcţii univlente, proprietaţi, probleme  [1,  Cap. 1], [4 p. 11-17].  Teorema univalentei pe frontiera si Teorema de caracterizare a clasei Sigma [8, p. 201-202], [4, p. 13-14]
2. Probleme. [1. Cap. 1, 3] Referate: Formulele lui Schwarz si Poisson [6, p. 74-76], [1, p. 35-36]
3  Principiul subordonării (Lindelof). Lema lui Sakaguchi. [1, p. 40-42, 49-50]
4. Determinarea razei de stelaritate  [1, p.47, 26-28] 
5. Referat: Raza de alfa - convexitate. Teoreme de delimitare (Miller) [1, p. 64-66, 68-70, 103-104]
6. Referat: Criteriul de univalenţă al lui Noshiro - Warschawski - Wolff. Criteriul de univalenţă al lui Ozaki – Kaplan [1, p. 78, 81-82]
7. Referat: Funcţiile gama şi beta [10, 13]
8   Referat: Teorema lui Montel. Compactitatea clasei S [6, p. 139-142]
9  Referat: Teorema de caracterizare a funcţiilor aproape convexe
10. Referat: Domeniu convex într-o anumită direcţie [1, p. 86-87]
11. Referat: Lema Jack-Miller-Mocanu [6, p. 103-105], [5, p. 19-20], [1, p.179-181]
12. Referat: Funcţii uniform convexe şi uniform stelate [I. Magdas – teza de doctorat, p. 38-42, 61-68]
13. Funcţii armonice univalente [9, p. 1-17]
14. Subordonari diferentiale – exemple [5, p. 36-43], [1, p. 192-205]	

VII. Metode didactice folosite
-  Prelegerea interactivă, prelegerea magistrală, prelegerea dialog, prelegerea cu demonstraţii;
-  conversaţii introductive, conversaţii de fixare şi consolidare a cunoştinţelor, conversaţii de sistematizare şi sinteză;
-  utilizarea întrebărilor-problemă, problemelor şi situaţiilor-problemă;
-  redescoperirea dirijată şi independentă, descoperirea inductivă, descoperirea deductivă, descoperirea prin documentare;
-  exerciţiul.	

VIII. Evaluare
Examen 50%, Referat 30% si Seminar 20%	

IX. Bibliografie suplimentară
11. G. M. Goluzin, Teoria Geometrică a Funcţiilor de o Variabilăa Complexă, Izdat.  Nauka, Moscow, ed. I 1952, ed. II 1966 (limba rusă), A.M. S. Transl. of Math. Monographs, vol. 26, 1969
12. M. Rosenblum, J. Rovnyak, Topics in Hardy Classes and Univalent Functions, Birkhäuser Verlag, 1994
13. N. Lebedev, Functii speciale si aplictiile lor, Bucuresti,1957 
14. P. L. Duren, Univalent Functions, Springer-Verlag, 1984
15. D. J. Hallenbeck, T. H. MacGregor, Linear Problems and Convexity Techniques in Geometric Function Theory, Pitman Adv. Publ. Program, Boston-London-Melbourne, 1984
16.  P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, vol. 1,2,3,  Wiley Classics Library, J. Wiley & Sons, New York, 1993
17. G. Kohr,  P. Mocanu, Capitole speciale de analiză complexă, Presa Univ. Clujeană, 2005
18. P. Montel, Leçons sur les Fonctions Univalentes ou Multivalentes, Gauthier-Villars, Paris, 1933
19. T. Bulboacă, P. T. Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca: Ed. Abel (Erdely Tankönyvtanács), 2003.
20.T, Bulboacă, Differential Subordinations and Superordinations. Recent Results. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca,2005	

	Decan,							Sef de catedra,
	Prof. dr. Leon TAMBULEA			Conf. dr. Simion BREAZ

	Data,							Titular curs,
	25.09.2011						Prof. dr.  Grigore Stefan  SALAGEAN