Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMG1005	Coomologia formelor diferenţiale	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
4	2+1+0+1	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
BLAGA Aurel Paul	Dr.	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Cursul de coomologia formelor diferenţiale este o continuare naturală a cursurilor de varietăţi diferenţiabile, analiză pe varietăţi şi geometrie riemanniană. Scopul cursului este de a-i familiariza pe studenţi cu noţiunile de bază ale coomologiei de Rham a varietăţilor diferenţiabile, o teorie care stă la interfaţa dintre topologia diferenţială, geometria diferenţială şi topologia algebrică. La sfârşitul cursului, studenţii trebuie să fie capabili să calculeze grupurile de coomologie ale unor varietăţi standard (spaţii euclidiene, sfere, spaţii proiective) şi să aibă o imagine de ansambul asupra principalellor aplicaţii ale coomologiei de Rham	

IV. Conţinutul disciplinei
1.	Varietăţi diferenţiabile, forme diferenţiale şi integrare (recapitulare)
2.	Coomologia de Rham, principalelele noţiuni şi rezultate, aplicaţii elementare
3.	Teorie Hodge pe varietăţi riemanniene
4.	Aplicaţii ale coomologiei de Rham la investigarea topologiei unei varietăţi
5.	Legătura dintre omologie şi coomologie, teorema lui de Rham
6.	Aplicaţii ale coomologiei de Rham la clasificarea fibratelor vectoriale
7.	Legătura dintre coomologia de Rham, omologia Hochschild şi omologia ciclică

V. Bibliografie
1.	Bott, R., Tu, L.: Differential Forms in Algebraic Topology, Springer, 1982
2.	Connes, A.: Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
3.	Flanders, H.: Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover, 1989
4.	Lafontaine, J.: Introduction aux varietes differentielles, EDP Sciences, 1996
5.	Loday, J.L.: Cyclic Homology, Springer, 1992
6.	Postnikov, M.: Lectures on Differential Geometry, Semester III, Smooth Manifolds, Mir Publishers, 1989
7.	Storch, U., Wiebe, H.: Lehrbuch der Mathematik, Band IV, Analysis auf Mannigfaltigkeiten—Funktionentheorie –  Funktionalanalysis, Spektrum Akademoscher Verlag, 2001
8.	Warner, F.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983
9.	Weibel, Ch.: An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994
10.	von Westenholtz, C.: Differential Forms in Mathematical Physics, North Holland, 1978	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Săptămâna 1: Introducere şi recapitulare: forme diferenţiale, diferenţiala exterioară, integrare pe varietăţi, teorema lui Stokes [3,4,8]

Săptămâna 2: Coomologia de Rham: definiţie, exemple, proprietăţi elementare [4,7,10]

Săptămîna 3: Interludiu algebric: complexe de (co)lanţuri într-o categorie şi (co)omologia lor [11]

Săptămîna 4: Proprietăţi fundamentale ale coomologiei de Rham: invarianţă la omotopii, şirul Mayer-Vietoris [4,7]

Săptămîna 5: Primele aplicaţii ale coomologiei de Rham: teorema de punct fix a lui Brouwer, câmpuri vectoriale pe sfere, teorema de invarianţă a domeniului [4,6] 

Săptămîna 6: Varietăţi riemanniene, elemente de teorie Hodge [8,10]

Săptămîna 7: Gradul unei aplicaţii, numere de legătură,  indicele unui câmp vectorial [4]

Săptămîna 8: Teorema Poincare-Hopf (legătura dintre caracteristica Euler şi indicele unui câmp de vectori pe o varietate compactă)[4]

Săptămîna 9: Calculul coomologiei de Rham pentru anumite varietăţi compacte (spaţii proiective, varietăţi Grassman) [4,6,10]

Săptămîna 10: Curenţi, omologia de Rham, teorema de izomorfism a lui de Rham [8]

Săptămîna 11: Fibrate vectoriale şi conexiuni pe ele. Curbura unei conexiuni [1,10]

Săptămîna 12: Clase caracteristice şi clasificarea fibratelor vectoriale [1]

Săptămîna 13: Obţinerea formelor diferenţiale cu ajutorul omologiei Hochschild a algebrei funcţiilor netede [2,5]

Săptămîna 14: Legătura dintre coomologia de Rham a unei varietăţi şi omologia ciclică a algebrei funcţiilor netede [2,5]	

VII. Metode didactice folosite
descrierea, explicaţia, prelegerea magistrală,  demonstraţia cu ajutorul execuţiei la tablă,  studiul individual, exerciţiul 	

VIII. Evaluare
Examen scris final (70%), referate (30%)	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	Conlon, L.: Differentiable Manifolds, A First Course, Birkhauser, 1993
2.	Doubrovine, B., Novikov, S., Fomenko, A.: Geometrie contemporaine. Methodes et applications, 3e partie, Editions Mir, 1987	

Decan 							             Sef de catedra			  Prof. dr. Leon Tambulea			                        Conf. dr. Simion Breaz

	Data,	1 noiembrie 2010						Titular curs,
								Conf. Dr. BLAGA Aurel Paul