Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0003	Analiză matematică 2 (Analiza in R^n)	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
2	3+3+0	fundamentala	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
TRIF Tiberiu Vasile	Dr. 	Conf.	Analiză şi Optimizare	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Cunoaşterea integralei Riemann-Stieltjes şi a integralelor improprii, a topologiei spaţiului euclidian Rn, precum şi a calculului diferenţial al funcţiilor de mai multe variabile reale.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Integrala Riemann-Stieltjes (8 ore curs + 9 ore seminar)
Definiţia integralei Riemann-Stieltjes. Calculul integralelor Riemann-Stieltjes: integrarea prin părţi, liniaritatea în raport cu prima funcţie şi în raport cu a doua funcţie, schimbarea de variabilă în integrala Riemann-Stieltjes. Criterii de integrabilitate Riemann-Stieltjes în raport cu o funcţie oarecare (criteriul lui Heine şi criteriul lui Cauchy). Aditivitatea faţă de interval a integralei Riemann-Stieltjes. Criteriul lui Darboux de integrabilitate Riemann-Stieltjes a unei funcţii mărginite în raport cu o funcţie crescătoare. Calculul integralelor Riemann-Stieltjes prin reducere la integrale Riemann.
2. Funcţii reale de o variabilă reală cu variaţie mărginită (3 ore curs + 3 ore seminar)
Noţiunea de funcţie cu variaţie mărginită. Clase de funcţii cu variaţie mărginită. Teorema de descompunere a lui Jordan. Integrabilitatea Riemann-Stieltjes a unei funcţii continue în raport cu o funcţie cu variaţie mărginită.
3. Integrale improprii (4 ore curs + 6 ore seminar)
Definiţia integralelor improprii pe diferite tipuri de intervale necompacte. Legătura integralelor improprii cu integrala Riemann. Calculul integralelor improprii: liniaritatea, formula lui Leibniz-Newton, integrarea prin părţi, schimbarea de variabilă în integrala improprie. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii.
4. Topologia spaţiului euclidian Rn (9 ore curs + 6 ore seminar)
Spaţiul euclidian Rn. Şiruri de puncte din Rn. Mulţimi compacte în Rn. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială. Continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială.
5. Calcul diferenţial în Rn (18 ore curs + 18 ore seminar)
Aplicaţii liniare, norma unei aplicaţii liniare. Derivata unei funcţii vectoriale de variabilă reală. Diferenţiabilitatea unei funcţii vectoriale de variabilă vectorială, derivata după o direcţie, derivate parţiale şi legătura lor cu diferenţiabilitatea. Operaţii cu funcţii diferenţiabile, diferenţiabilitatea funcţiei inverse. Teoreme de medie pentru funcţii de variabilă vectorială diferenţiabile. Funcţii de clasă C1. Teorema difeomorfismului local. Funcţii implicite diferenţiabile. Probleme de optimizare având ecuaţii ca restricţii. Derivate parţiale de ordinul doi, teoremele lui Schwarz şi Young referitoare la egalitatea derivatelor parţiale mixte. Diferenţiala a doua. Condiţii necesare şi condiţii suficiente pentru punctele de optim local ale funcţiilor reale de variabilă vectorială. Derivate parţiale de ordin superior şi diferenţiale de ordin superior ale unei funcţii reale de variabilă vectorială, formula lui Taylor.	

V. Bibliografie
l. BALÁZS M.: Matematikai analizis. Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2000.
2. BALÁZS M., KOLUMBÁN I.: Matematikai analizis. Dacia Könyvkiado, Kolozsvár-Napoca, 1978.
3. BRECKNER W. W.: Analiză matematică. Topologia spaţiului Rn. Universitatea din Cluj-Napoca, 1985.
4. BROWDER A.: Mathematical Analysis. An Introduction. Springer-Verlag, New York, 1996.
5. BUCUR G., CÂMPU E., GĂINĂ, S.: Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral. Vol. II, Editura Tehnică Bucureşti 1966. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
6. COBZAŞ ŞT.: Analiză matematică (Calcul diferenţial). Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 1997.
7. DEMIDOVICI B. P.: Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică. Editura Tehnică, Bucureşti, 1956.
8. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 11. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart, 1994;
      Teil 2, 9. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart, 1995.
9. MEGAN M.: Bazele analizei matematice. Vol. I + Vol. II, Editura EUROBIT, Timişoara, 1997. Vol. III, Editura EUROBIT, Timişoara, 1998.
10. RUDIN W.: Principles of Mathematical Analysis. 2nd Edition, McGraw-Hill, New York, 1964.
11. WALTER W.: Analysis, I, II. Springer-Verlag, Berlin, 1990.
12. TRIF T.: Probleme de calcul diferenţial şi integral în Rn. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Integrala Riemann-Stieltjes: definiţia integralei Riemann-Stieltjes, calculul integralelor Riemann-Stieltjes (liniaritatea, integrarea prin părţi, schimbarea de variabilă).
Cursul 2. Integrala Riemann-Stieltjes: criterii de integrabilitate Riemann-Stieltjes în raport cu o funcţie arbitrară (criteriile lui Heine şi Cauchy), aditivitatea integralei Riemann-Stieltjes faţă de interval, criteriul lui Darboux de integrabilitate Riemann-Stieltjes a unei funcţii mărginite în raport cu o funcţie crescătoare.
Cursul 3. Integrala Riemann-Stieltjes: integrabilitatea Riemann-Stieltjes a funcţiilor continue, teorema de medie pentru integrala Riemann-Stieltjes, operaţii cu funcţii integrabile Riemann-Stieltjes în raport cu o funcţie crescătoare, calculul integralelor Riemann-Stieltjes prin reducere la integrale Riemann. Funcţii reale cu variaţie mărginită: definiţia variaţiei totale, clase de funcţii cu variaţie mărginită (funcţii monotone, funcţii Lipschitz), mărginirea funcţiilor cu variaţie mărginită.
Cursul 4. Funcţii reale cu variaţie mărginită: proprietăţi ale variaţiei totale, teorema de descompunere a lui Jordan, continuitatea funcţiei variaţie, integrabilitatea Riemann-Stieltjes în raport cu o funcţie cu variaţie mărginită. Integrale improprii: definiţia integralelor improprii pe diferite tipuri de intervale necompacte, relaţia dintre integrala improprie şi integrala Riemann.
Cursul 5. Integrale improprii: calculul integralelor improprii (liniaritatea, formula lui Leibniz-Newton, integrarea prin părţi, schimbarea de variabilă în integrala improprie), criterii de convergenţă pentru integrale improprii (criteriul lui Cauchy, criteriul comparaţiei, criteriul lui Abel), calculul integralelor Riemann-Stieltjes cu ajutorul integralelor improprii.
Cursul 6. Topologie în Rn: spaţiul euclidian Rn (produsul scalar, norma euclidiană, distanţa euclidiană), structura topologică a spaţiului Rn (bile, vecinătăţi, puncte interioare, exterioare, aderente, frontieră, de acumulare şi izolate, mulţimi deschise şi mulţimi închise).
Cursul 7. Şiruri de puncte din Rn: şiruri convergente şi şiruri fundamentale, caracterizarea secvenţială a punctelor aderente, a punctelor de acumulare şi a mulţimilor închise. Mulţimi compacte în Rn: definiţia noţiunii de mulţime compactă, exemple de mulţimi compacte în Rn, teorema de caracterizare a mulţimilor compacte din Rn.
Cursul 8. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială: definiţia limitei, caracterizarea secvenţială a limitei, operaţii cu funcţii care au limită. Continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială: definiţia continuităţii într-un punct, caracterizarea secvenţială a continuităţii, operaţii cu funcţii continue, teorema lui Weierstrass.
Cursul 9. Calcul diferenţial în Rn: aplicaţii liniare şi norma acestora, derivata unei funcţii vectoriale de variabilă reală, teorema de medie pentru funcţii vectoriale de variabilă reală, diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială (definiţia diferenţialei, continuitatea funcţiilor diferenţiabile, legătura dintre derivată şi diferenţială în cazul funcţiilor vectoriale de variabilă reală).
Cursul 10. Calcul diferenţial în Rn: derivata după o direcţie a unei funcţii vectoriale de variabilă vectorială şi legătura ei cu diferenţiala, derivate parţiale şi legătura lor cu diferenţiala.
Cursul 11. Calcul diferenţial în Rn: operaţii cu funcţii diferenţiabile, diferenţiabilitatea compusei, diferenţiabilitatea inversei, teoreme de medie pentru funcţii de variabilă vectorială.
Cursul 12. Calcul diferenţial în Rn: funcţii de clasă C1, difeomorfisme de clasă C1, teorema difeomorfismului local, funcţii implicite de clasă C1, teorema funcţiei implicite.
Cursul 13. Calcul diferenţial în Rn: extreme condiţionate, regula multiplicatorilor lui Lagrange, derivate parţiale de ordinul doi, teoremele lui Schwarz şi Young referitoare la egalitatea derivatelor mixte, diferenţiala a doua.
Cursul 14. Calcul diferenţial în Rn: condiţii necesare şi condiţii suficiente de extrem, derivate parţiale de ordin superior, diferenţiale de ordin superior, formula lui Taylor.

Seminarul 1. Metode de calcul al primitivelor: integrarea prin părţi, integrarea funcţiilor raţionale, primitive binome, diferite schimbări de variabilă.
Seminarul 2. Integrale Riemann: diferite metode de calcul al integralelor Riemann.
Seminarul 3. Integrale Riemann-Stieltjes: diferite metode de calcul al integralelor Riemann-Stieltjes, aplicarea în probleme a criteriilor de integrabilitate Riemann-Stieltjes.
Seminarul 4. Funcţii cu variaţie mărginită: calculul variaţiei totale pentru funcţii concrete.
Seminarul 5. Integrale improprii: diferite metode de calcul al integralelor improprii.
Seminarul 6. Integrale improprii: calculul unor integrale improprii remarcabile şi studiul convergenţei unor integrale improprii.
Seminarul 7. Spaţiul euclidian Rn: probleme referitoare la spaţiul euclidian Rn.
Seminarul 8. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială, continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială.
Seminarul 9. Aplicaţii liniare şi norma acestora: calculul normelor unor aplicaţii liniare concrete.
Seminarul 10. Derivate după direcţii, derivate parţiale şi diferenţiale: se vor calcula derivatele după direcţii, derivatele parţiale şi diferenţialele unor funcţii concrete, se va studia diferenţiabilitatea unor funcţii concrete.
Seminarul 11. Operaţii cu funcţii diferenţiabile, teoreme de medie pentru funcţii de variabilă vectorială: aplicarea rezultatelor de la curs în situaţii concrete.
Seminarul 12. Difeomorfisme şi funcţii implicite: aplicarea rezultatelor de la curs în situaţii concrete.
Seminarul 13. Extreme condiţionate, derivate parţiale de ordinal doi: aplicarea rezultatelor de la curs în situaţii concrete.
Seminarul 14. Extreme  libere şi extreme condiţionate, derivate parţiale de ordin superior: determinarea punctelor de extrem local al funcţiilor reale de variabilă vectorială, determinarea derivatelor parţiale de ordin superior.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, conversaţia, demonstraţia didactică, problematizarea.	

VIII. Evaluare
Se va da o lucrare scrisă, acoperind aproximativ jumătate din materia de la curs şi seminar. Prezenţa la această lucrare este obligatorie, iar studenţii vor primi o notă între 1 şi 10 (NS1). In sesiune se va mai da o lucrare scrisă, acoperind cealaltă jumătate din materia de la curs şi seminar. Şi la această lucrare prezenţa este obligatorie, iar studenţii vor primi o notă între 1 şi 10 (NS2). Nota finală de la scris va fi
NF=(NS1+NS2)/2.
In cazul în care studentul doreşte modificarea acestei note, el poate susţine şi o probă orală, la care va primi o notă între 1 şi 10 (NO). In acest caz nota finală va fi
NF=(NS1+NS2)/4+NO/2.
In nota finală se va ţine seama şi de participarea activă a studenţilor la seminarii.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Setul de probleme al titularului de curs. Acesta poate fi obţinut trimiţând un e-mail pe adresa ttrif@math.ubbcluj.ro. In e-mail studentul va preciza formatul în care doreşte să primească problemele (formatele disponibile sunt pdf şi ps).
2. DE SOUZA P. N., SILVA J.-N.: Berkeley Problems in Mathematics. Springer, 1998.
3. KACZOR W. J., NOWAK M. T.: Problems in Mathematical Analysis III: Integration. American Mathematical Society, 2003.
4. KEDLAYA K. S., POONEN B., VAKIL R.: The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985 – 2000. Problems, Solutions, and Commentary. The Mathematical Association of America, 2002.
5. RĂDULESCU S., RĂDULESCU M.: Teoreme şi probleme de analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.	

	Decan,							Sef de catedra,
	Prof. dr. ŢÂMBULEA Leon			Prof. dr. COBZAŞ Ştefan

	Data,							Titular curs,
5.3.2009						Conf. dr.  TRIF Tiberiu Vasile