Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Aplicată
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
ME278	Biomatematica	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
1	2+1+1		opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
SERBAN Marcel Adrian	Dr. 	Lect.	Ecuaţii Diferenţiale	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Vom studia principalele modele matematice din biologie	

IV. Conţinutul disciplinei
1.	1 Proces de modelare matematică
2.	Noţiuni de dinamica sistemelor autonome
3.	Modele matematice în dinamica unei populaţii
4.	Modele matematice în dinamica a două populaţii
5.	Modele matematice pentru o populaţie structurată pe stadii de vârstă
6.	Modele matematice în epidemiologie: modele de tip SI, SIS, SIR, SEIR	

V. Bibliografie
1.	1. I. A. Rus, Ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale şi sisteme dinamice, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996.
2.	I. A. Rus, C. Iancu, Modelare Matematică, Ed. Transilvania Press, Cluj-Napoca, 2000.
3.	C. Iancu, Modelare Matematică, Teme Speciale, Ed. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2002.
4.	J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer, 1989.
5.	H.R. Thieme, Mathematics in population biology, Princeton University Press, 2003.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs 1: Noţiunea de model matematic. Proces de modelare matematică. Evaluarea modelelor. Clasificarea modelelor matematice.
Seminar 1: Exemple de modele matematice ce reprezintă simpla transcriere a problemei studiate în limbaj matematic.
[2, Cap. 2]

Curs 2 : Noţiuni de dinamica sistemelor autonome, fluxul unui sistem autonom, portretul fazic, puncte de echilibru, stabilitatea punctelor de echilibru.
Seminar 2: Exerciţii privind determinarea fluxului, portretului fazic, determinarea punctelor de echilibru şi stabilitatea acestora pentru ecuaţii diferenţiale şi sisteme de ecuaţii diferenţiale autonome
[3, Cap. 1, par. 1.2]

Curs 3: Modele matematice în dinamica unei populaţii: modelul creşterii nelimitate a lui Malthus şi modelul logistic a lui Verhulst.
Seminar 3: Alte exemple de modele matematice în dinamica unei populaţii. Vizualizarea rezultatelor folosind programul MAPLE.
[3, Cap. 1, par. 1.3]

Curs 4: Modele matematice cu recoltare în dinamica unei populaţii: modelul cu recoltare constantă, modelul cu recoltare proporţională.
Seminar 4: Problema prognozei: determinarea parametrilor din modelele lui Malthus şi Verhulst atunci când se cunosc datele recensămintelor anterioare. Vizualizarea rezultatelor folosind programul MAPLE.
[3, Cap. 1, par. 1.3]

Curs 5: Modele matematice în dinamica unei populaţii în care apare efectul Allee
Seminar 5: Vizualizarea efectului Allee pe diverse exemple particulare cu ajutorul programului MAPLE.
[5, Cap. 7]

Curs 6: Modele matematice pentru o singură populaţie structurată pe stadii de vârstă
Seminar 6: Vizualizarea dinamicii acestui model pe diverse exemple cu ajutorul programului MAPLE.
[5, Cap. 11]

Curs 7: Modele matematice pentru două populaţii: modele de tip Lotka-Volterra
Seminar 7: Determinarea punctelor de echilibru şi studiul stabilităţii acestora pentru modelul pradă-prădător, modelul de tip competiţie şi modelul de tip simbioză. Exemplificarea dinamicii prin studiul unor modele particulare cu ajutorul MAPLE.
[4, Cap. 3]

Curs 8:  Modele matematice pentru două populaţii: modelul pradă-prădător de tip Leslie
Seminar 8: Lucrare de control.
[4, Cap. 3]

Curs 9: Dinamica unei populaţii acvatice ce interacţionează cu un mediu poluat.
Seminar 9: Studiul influenţei parametrilor asupra dinamicii populaţiei cu ajutorul programului MAPLE
[5, Cap. 10]

Curs 10: Modele matematice în epidemiologie: Modele de tip SI şi SIS
Seminar 10: Determinarea punctelor de echilibru şi studiul stabilităţii acestora pentru modelul de tip SI şi SIS. Exemplificarea dinamicii prin studiul unor modele particulare cu ajutorul MAPLE.
[5, Cap. 18]

Curs 11: Modele matematice în epidemiologie: Modele de tip SIR (SIR epidemic, SIR endemic)
Seminar 11: Determinarea punctelor de echilibru şi studiul stabilităţii acestora pentru modelul de tip SIR. Exemplificarea dinamicii prin studiul unor modele particulare cu ajutorul MAPLE.
[5, Cap. 18]

Curs 12: Modele matematice în epidemiologie: Modelul de tip SEIR
Seminar 12: Studiul influenţei parametrilor asupra dinamicii bolii cu ajutorul programului MAPLE
[5, Cap. 21]

Curs 13: Un model pentru studiul unei boli infecţioase guvernat de o ecuaţie integrală cu întârziere
Seminar 13: Metode numerice de aproximarea soluţiei, exemplificare pe cazuri particulare cu ajutorul programului MAPLE
[3, Cap. 2, par. 2.4]

Curs 14: Tendinţe actuale în biomatematică
Seminar 14: Recapitulare finală	

VII. Metode didactice folosite
Prelegerea interactivă, modelarea, demonstraţia, conversaţia, ilustrarea prin produse software (MAPLE) performante, exemplificarea şi problematizarea noţiunilor introduse.  	

VIII. Evaluare
Nota finală se constituie din:
1p oficiu
2p lucrarea de control din timpul semestrului
7p lucrarea scrisa, examenul final.	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	D.K. Arrowsmith, Dynamical systems, Differential equations, maps and chaotic behaiviour, Chapmann and Hall, 1992.
2.	Lynch S. Dynamical systems with applications using MAPLE, Birkhauser, 2001.
3.	O. Diekmann, R. Durrett, K. Hadeler, P. Maini, H.L. Smith (eds.), Mathematics inspired by biology, Springer, 1999.
4.	F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical models in population biology and epidemiology, Springer, 2001.
5.	N. Britton, Essential mathematical biology, Springer, 2003.	

	Decan							Şef de Catedră
	Prof. dr. Leon Ţâmbulea				Prof. dr. Radu Precup
	
Data,							Titular curs,
	03.03.2009						Lect. dr. ŞERBAN Marcel Adrian