Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
2005/2006  tanév,    II .  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Dinamikus rendszerek
Kód: MME0002
Kreditszám: 6 
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím: dr. Bege Antal, docens
Elérhetőség (e-mail, telefon): bege@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra :
Szeminárium
Név, tudományos cím: dr. András Szilárd, adjunktus 
Elérhetőség (e-mail, telefon): andrasz@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra :
Laboratórium
Név, tudományos cím: dr. András Szilárd, adjunktus 
Elérhetőség (e-mail, telefon): andrasz@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra :

III.	A tantárgy leírása: 
Célok
A differenciálegyenletek fogalmának a megértése
	A diszkrét dinamikus rendszer fogalmának és alkalmazásaimak az elsajátítása
Az alkalmazott matematika, a matematika más agai  kapcsolatának a bemutatása dinamikus rendszerekkel
Megfelelő feladatmegoldási kézség kialakítása és a Maple programcsomag használata
Tartalom
Elsőrendű differenciálegyenletek, fixponttételek és alkalmazásaik, diszkrét dinamikus rendszerek, egyensúlyi pontok, stabilitás, bifurkáció, káosz fogalmanak a bevezetése, alkalmazott feladatok matematikai modelljei (rádioaktív bomlásegyenlet, populációs modellek, logisztikus modell)
Kompetenciák
Különböző típusú differenciálegyenletek megoldása
Dinamikus rendszerek tanulmányozása
Fixponttételek megismerése és azok alkalmazása, függvények iteráltjainak a vizsgálata
A Maple programcsomag használata dinamikus rendszerek tanulmányozására

IV.	Kötelező könyvészet:
1.	V. Barbu, Ecuaţii diferenţiale, Ed. Junimea, Iaşi, 1985.
2.	Hatvani László, Pintér lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, 1997.
3.	Gh. Micula, P. Pavel, Ecuaţii diferenţiale şi integrale prin probleme şi exerciţii, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1989.
4.	I.A. Rus, Ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale şi sisteme dinamice, Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996.
5.	Szilágyi Pál, Közönséges differenciálegyenletek, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2001

V.	Az oktatásban használt eszközök:
Számítógép, laboratóriumi felszerelések, a matematika könyvtár adatbázisa, Maple szoftvercsomag, az Alkalmazott Tanszékcsoport könyvtára, internetes adatbázisok és az oktatók személyes könyvtára.

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:

I. Alapfogalmak.  Differenciál egyenletekre vonatkozó megoldási módszerek
1. Differenciálegyenletekre vonatkozó feladatok
2  Speciális elsőrendű differenciálegyenletek
3. Implicit alakban megadott differenciálegyenletek
II. Fixponttételek és alkalmazásaik
                   4. Fixponttételek R-ben
   5. Sperner lemma és Brouwer fixponttétele
	6. Létezési és egyértelműségi tételek
III. Elsőrendű dinamikus rendszerek
7. Példák, elsőrendű egyenlet megoldása
8. Egyensúlyi pontok, stabilitás
9. Logisztikus függvény vizsgálata, bifurkáció
10. Periodikus pontok és pályák, Sharkovszkij tétele
IV. Szimbolikus dinamika és a káosz
11. Metrikus terek  
12. Dinamikus rendszerek a bináris szavak halmazán
13. Eltolás operátor vizsgálata. Kaotikus függvények 
V. Differenciálegyenletekhez rendelt dinamikus rendszerek
                    14. Folytonos dinamikus rendszer értelmezése, stabilitásának vizsgálata

VII.	Az értékelés módja:

E=40 p évközi tevékenység értékelése 
	jelenlét, zárthelyi dolgozat, heti feladatok 

V=60 p írásbeli dolgozat 

A végleges jegy (E+V)/10 abban az esetben, ha V>30

Azok a hallgatók, akik nem érték el a 30 pontot az írásbeli vizsgán vagy szeretnének javítani, jelentkezhetnek a szóbeli vizsgára, ahol az írásbeli dolgozat pontszámát javíthatják ki.
Minden újabb vizsgázás esetén az eredeti évközi tevékenység pontszáma számít.

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
A laborgyakorlatok látogatása kötelező 70 %-ban. 
Akinek nincs évközi tevékenysége (E), nem jelentkezhet vizsgára. 

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:

1.	W. E. Boyce, R.C. DiPrima, Elementary differential equations, Wiley, 1992.
2.	J. H. Davis, Differential equations with Maple, Birkhauser, Boston, 2001.
3.	S. N. Elaydi, An introduction to difference equations, Springer, New York, 1995.
4.	R. A. Holmgren, A first course in discrete dynamical systems, Springer-Verlag, New York, 1994.
5.	A. C. King, J. Billingham, S. R. Otto, Differential equations, Cambridge University Press, 2003.
6.	L. Perko, Differential equations and dynamical systems, Springer-Verlag, Berlin, 1991.
7.	 J. C. Robinson, An introduction to ordinary differential equations, Cambridge University Press, 2004. 
8.	Tóth János, Simon L. Péter, Differenciálegyenletek, Typotex Kiadó, Budapest, 2005.