Disciplina: Analiză funcţională (2)	Cod: MO005	

Semestrul	Ore: C+S+L	Tipul	Specializarea	
6	2+1+0	obligatorie	Matematica	
6	2+1+0	optionala	Matematică-Informatică	

Cadre didactice indrumatoare	Prof. Dr. COBZAS Stefan, scobzas@math.ubbcluj.ro
Prof.consult. Dr. KOLUMBÁN Iosif, kolumban@math.ubbcluj.ro	
Obiective	Prezentare rezultatelor de baza din teoria spatiilor vectoriale topologice si a celor local convexe si aprofundarea unor rezultate din teoria spatiilor normate, predate in primul semestru	
Continut	1. Spatii vectoriale topologice (SVT).
Definitie si proprietati  fundamentale. Continuitatea aplicatiilor aditive intre SVT. Baze de vecinatati ale originii. Functionale liniare si hiperplane in SVT. Spatii seminormate. SVT de dimensiune finita-teorema lui Tihonov. Proprietati topologice ale multimilor convexe in SVT. Functionala lui Minkovski  si caracterizarea seminormelor. Continuitatea functionalei lui Minkowski.  Metrizabilitate. Completitudine, compactitate si total marginire si SVT.
Nota: La seminarii se vor trata unele chestiuni de topologie generala-introducerea topologiilor cu ajutorul functiilor de vecinatati, siruri generalizate si filtre, produs de spatii topologice.  

2.Spatii local convexe (SLC).
Notiunea de spatiu local convex. Topologia local convexa generata de o familie de seminorme. Baze local convexe si teorema lui J. von Neumann. Teorema lui Bourbaki de caracterizare a continuitatii aplicatiilor liniare intre SLC. Existenta unor functionale liniare si continue pe SLC.  Topologii slabe pe spatii normate. Separarea multimilor convexe prin hiperplane inchise. Puncte extremale si teorema lui Krein-Milman, teorema lui Liapunov.

3. Elemente de teoria distributiilor.
Limite inductive de spatii local convex. Spatiul fundamental al functiilor infinit derivabile. Notiunea de distributie. Distributii regulate si distributii singulare, distributii de ordin finit - exemple. Topologia spatiului distributiilor., convergenta sirurilor de distributii regulate. Aplicatii la rezolvarea unor ecuatii cu derivate partiale. 

4. Teoreme de punct fix.
Contractii si teorema lui Banach de punct fix. Teoreme de punct fix pentru aplicatii neexpansive. Teoremele lui Brouwer, Schauder-Tihonov si Markov-Kakutani.

5. Operatori compacti intre spatii normate.
Criteriul lui Arzela-Ascoli de compactitate in C(T). Operatori compacti-proprietati fundamentale. Dualul unui operator. Teorema lui Schauder de compactitate a dualului unui operator compact. Teoria lui Riesz, spectrul unui operator compact. 

6. Operatori pe spatii Hilbert.
Operatori simetrici, operatori unitari, proiectori, operatori pozitivi. Spectrele operatorilor pe spatii Hilbert.
	
Bibliografie selectiva	1. CRISTESCU R.: Notiuni de analiza functionala liniara. Bucuresti: Editura  Academiei, 1998. 
2. FABIAN M. et al.: Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry. Berlin - New York: Springer Verlag, 2001. 
3. KANTOROVICI  L. V., AKILOV G. P.: Analiza functionala. Bucuresti: Editura Stiintifica si Enciclopedica, 1986.        
4. KUTATELADZE S. S.: Fundamentals of Functional Analysis. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. 
5. MEGGINSON R. E.: An  Introduction to Banach Space Theory. Berlin - New York: Springer Verlag, 1998. 
6. MUNTEAN I.: Analiza functionala. Capitole speciale. Cluj-Napoca: Universitatea Babes-Bolyai, 1990.
7. MUNTEAN I.: Analiza functionala. Cluj-Napoca: Universitatea "Babes-Bolyai", 1993
8. SCHAEFFER H. H., WOLF M. P.: Topological Vector Spaces. Berlin - New York: Springer Verlag, 1999.	
Evaluare	Examen oral