% ----------------------------------------------------------------

% AMS-LaTeX Paper ************************************************

% **** -----------------------------------------------------------

\documentclass[9pt,twoside]{article}

\usepackage{amsmath}

%\usepackage{amsthm}

%\usepackage{amsopn}

%\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amssymb}

%\usepackage{layout}

\usepackage[latin2]{inputenc}

\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\def\R{\ensuremath{\mathbb R}} % ez a valos szamok halmaza a duplaszaru R $\R$ kent hivatkozunk ra

\title{Farkas Gyula Feladatmegold\'o szemin\'arium \\ Babe\c{s}-Bolyai Tudom\'anyegyetem}%











% ----------------------------------------------------------------

\maketitle % ezzel hozhato letre a cim

% ----------------------------------------------------------------

\section{Alapfeladatok}

\begin{enumerate}% felsorolas \item

\item Jelöljük $f(n)$ -nel annak a szorzatnak a legnagyobb lehetséges értékét, amelynek tényezői természetes számok és összegük $n$. Határozzuk meg $f(n)$-net!

\item L\'etezik-e injekt\'iv $f:\R \to \R$ f\"uggv\'eny amelyre $$f(2^x)+f(3^x)=1, \forall x \in \R.$$

\item Hat\'arozzuk meg az \"osszes $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$

f\"uggv\'enyt amelyre $$f(f(n))+f(n)=2n+3 \forall n \in Z, \mbox{

and } f(0)=1.

$$

\item Hat\'arozzuk meg az \"osszes $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

f\"uggv\'enyt, amely teljes\'iti a k\"ovetkez\H o

\"osszef\"ugg\'est: $$f(x^3+y^3)=xf(x^2)+yf(y^2).$$

\item Van-e olyan nem konstans eg\'esz egy\"utthat\'os polinom,

amelyik minden pozit\'iv eg\'esz helyen $2$-hatv\'any \'ert\'eket

vesz f\"ol?

\item Hat\'arozzuk meg az \"osszes olyan $f:[0,1]\to [0,1]$

folytonos biject\'iv f\"uggv\'enyt amelyre

$$\int_0^1g(f(x))dx=\int_0^1g(x)dx.$$

\item Legyenek $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ \'ugy, hogy

$f(g(x))=g(f(x))=-x$ minden $x \in \mathbb{R}$ eset\'en. Igazoljuk,

hogy ezek a f\"uggv\'enyek p\'aratlanok, \'es adjunk p\'eld\'at

ilyen f\"uggv\'enyre.

\item Hat\'arozzuk meg az \"osszes $f:\mathbb{N}^{*}\to

\mathbb{N}^{*}$ amelyre teljes\"ul minden $x,y \in

\mathbb{N}^{*}$:$$\frac{f(x)+f(y)+f(x)}{2x+f(y)}=\frac{2y+f(x)}{f(x+y)+f(y)}.$$

\item\begin{itemize}\item[(a)]Van-e olyan f\"uggv\'eny amely minden \'ert\'eket p\'aros

sokszor vesz fel?

\item[(b)]Van-e olyan f\"uggv\'eny amely minden \'ert\'eket

p\'aratlan sokszor vesz fel?

\end{itemize}

\item Legyen $f_{0}\in \mathcal{C}\left([0,1]\right)$. Valamint

\'ertelmezz\"uk a k\"ovetkez\H o sorozatot

\begin{equation}f_{n}(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)dt, \hbox{ } (\forall) n \geq 1.\end{equation}

Tudva, hogy minden $x \in [0,1]$ eset\'en l\'etezik, egy $n \in

\mathbb{N}$ \'ugy, hogy $f_n(x)=0$, l\'etezik-e olyan $x \in

\mathbb{R}$, amelyre $f_0(x)\neq 0$?



\end{enumerate}

\section{Versenyfeladatok}

\begin{enumerate}



\item Legyen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ olyan f\"uggv\'eny,

amelyre $f(x)=f(x+1)$ minden $x$, legyen tov\'abb\'a $t\in

[0,\frac{1}{4}]$. Bizony\'itsuk be, hogy van olyan $x \in

\mathbb{R}$, hogy az $f(x-t)$-b\H ol az $f(x+t)$ pontba mutat\'o

vektor mer\H oleges az $f(x)$-b\H ol az $f(x+1/2)$-be mutat\'o

vektorra.

\item Igaz-e, hogy $f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ f\"uggv\'eny el\H

o\'all $f=f_1+f_2+...f_n$ alakban, ahol minden $f_i$ valamilyen

$a_i$ szerint peri\'odikus m\'erhet\H o $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

f\"uggv\'eny, akkor el\H o\'all $f=g_1+g_2+...g_n$, ahol minden

$g_i$ eg\'esz \'ert\'ek\H u $a_i$ szerint peri\'odikus m\'erhet\H o

f\"uggv\'eny

\item Meg lehet-e adni úgy köröket a síkon, hogy minden egyenes legalább 1-et, de legfeljebb 100-at messen közülük?

\item Milyen $n$-re igaz, hogy ha $A \subset \R^n$

konvex z\'art akkor \begin{itemize}

\item[(a)] $A+A$ is konvex z\'art?

\item[(b)] $A-A$ is konvex z\'art?

\end{itemize}

\item Legyen $f:\R \to \R$. Melyik \'all\'it\'asb\'ol k\"ovetkezik a

m\'asik? \begin{itemize}

\item[(i)] $f$ folytonos

\item[(ii)] $f$ grafikonja \"osszef\"ugg\H o z\'art halmaz.

\end{itemize}

\end{enumerate}





% ----------------------------------------------------------------

\end{document}

% ----------------------------------------------------------------

