Tematica probei de concurs la disciplina Matematică pentru admiterea la Facultatea de Matematică şi Informatică sesiunea iulie 2017 şi pentru concursul „Mate-Info UBB”

Tematica pentru proba scrisă de Matematică este Anexa 4A a Regulamentului de organizare şi desfăşurare a concursului de admitere (nivel licenţă) la Facultatea de Matematică şi Informatică – 2017 şi coincide cu programa de bacalaureat în vigoare mai puțin conținuturile referitoare la Matematici financiare, clasa a X-a.

Versiunea pentru imprimantă în format PDF

CLASA a IX-a

Mulţimi şi elemente de logică matematică

  • Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale
  • Propoziţie, predicat, cuantificatori
  • Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate); raţionament prin reducere la absurd
  • Inducţia matematică

Şiruri

  • Modalităţi de a defini un şir, şiruri mărginite, şiruri monotone
  • Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii
  • Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n\ge 3

Funcţii; lecturi grafice

  • Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte din plan de forma x=m sau y=m, cu m\in \mathbb{R}
  • Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii
  • Funcţii numerice (F=\{f:D\to \mathbb{R}, D\subseteq \mathbb{R}); reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma f(x)=g(x), (\le,<,>,\ge); proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate/imparitate, simetria graficului faţă de drepte de forma x=m, m\in \mathbb{R}, periodicitate
  • Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

Funcţia de gradul I

  • Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=ax+b, unde a,b\in \mathbb{R}, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0
  • Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f(x_1)-f(x_2) (sau prin studierea semnului raportului \displaystyle\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}, x_1,x_2\in \mathbb{R}, x_1\ne x_2)
  • Inecuaţii de forma ax+b\le 0 (<,>,\ge) studiate pe \mathbb{R} sau pe intervale de numere reale
  • Poziţia relativă a două drepte, sisteme de ecuaţii de tipul \left\{\begin{array}{lll} ax+by=c\\ mx+ny=p \end{array}\right., a,b,c,m,n,p numere reale
  • Sisteme de inecuaţii de gradul I

Funcţia de gradul al II-lea

  • Reprezentarea grafică a funcţiei f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=ax^2+bx+c, cu a,b,c\in \mathbb{R} şi a\ne 0 intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, simetria faţă de drepte de forma x=m, cu m\in \mathbb{R}
  • Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma \left\{\begin{array}{lll} x+y=s\\ xy=p \end{array}\right., cu s,p\in \mathbb{R}

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

  • Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f(x_1)-f(x_2) sau prin rata creşterii/ descreşterii: \displaystyle\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}, x_1,x_2\in \mathbb{R}, x_1\ne x_2, punct de extrem, vârful parabolei
  • Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul funcţiei, inecuaţii de forma ax^2+bx+c\le 0 (\ge,<,>), a,b,c\in \mathbb{R}, a\ne 0, studiate pe \mathbb{R} sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axa Oy)
  • Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma \left\{\begin{array}{lll} mx+n=y\\ ax^2+bx+c=y \end{array}\right., a,b,c,m,n\in \mathbb{R}

Vectori în plan

  • Segment orientat, vectori, vectori coliniari
  • Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană

  • Vectorul de poziţie al unui punct
  • Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)
  • Vectorul de poziţie a centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)
  • Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

Elemente de trigonometrie

  • Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: \sin :[0,2\pi ]\to [-1,1], \cos:[0,2\pi ]\to [-1,1], {\rm tg}:[0,\pi ]\setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi }{2}\right\}\to \mathbb{R}, {\rm ctg}:(0,\pi )\to \mathbb{R}
  • Definirea funcţiilor trigonometrice: \sin:\mathbb{R}\to [-1,1], \cos:\mathbb{R}\to [-1,1], {\rm tg}:\mathbb{R}\setminus D\to \mathbb{R}, cu D=\left\{\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}, {\rm ctg}:\mathbb{R}\setminus D\to \mathbb{R}, cu D=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}
  • Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: \sin(a+b), \sin(a-b), \cos(a+b), \cos(a-b), \sin 2a, \cos 2a, \sin a+\sin b, \sin a-\sin b, \cos a+\cos b, \cos a-\cos b (transformarea sumei în produs)

Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

  • Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic
  • Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare
  • Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

CLASA a X-a

Mulţimi de numere

  • Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi reale ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale
  • Radical de ordin n (n\in \mathbb{N} şi n\ge 2) dintr-un număr, proprietăţi ale radicalilor
  • Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare
  • Mulţimea \mathbb{C}. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real
  • Rezolvarea în \mathbb{C} a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate

Funcţii şi ecuaţii

  • Funcţia putere cu exponent natural: f:\mathbb{R}\to D, f(x)=x^n, n\in \mathbb{N}, n\ge 2 şi funcţia radical: f:D\to \mathbb{R}, f(x)=\sqrt [n]{x}, n\in \mathbb{N} şi n\ge 2, unde D=[0,+\infty ) pentru n par şi D=\mathbb{R} pentru n impar
  • Funcţia exponenţială: f:\mathbb{R}\to (0,+\infty ), f(x)=a^x, a\in (0,+\infty ), a\ne 1 şi funcţia logaritmică: f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}, f(x)=\log_a x, a\in (0,+\infty ), a\ne 1
  • Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă
  • Funcţii trigonometrice directe şi inverse
  • Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:
    1. Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3
    2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice
    3. Ecuaţii trigonometrice: \sin x=a, \cos x=a, a\in [-1,1], {\rm tg}\, x=a, {\rm ctg}\, x=a, a\in \mathbb{R}, \sin f(x)=\sin g(x), \cos f(x)=\cos g(x), {\rm tg}\, f(x)={\rm tg}\, g(x), {\rm ctg}\, f(x)={\rm ctg}\, g(x)

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f(x) = 0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate.

Metode de numărare

  • Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor f:A\to B, unde A şi B sunt mulţimi finite
  • Permutări
    • numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente
    • numărul funcţiilor bijective f:A\to B, unde A şi B sunt mulţimi finite
  • Aranjamente
    • numărul submulţimilor ordonate cu câte k elemente fiecare, k\le n, care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite
    • numărul funcţiilor injective f:A\to B, unde A şi B sunt mulţimi finite
  • Combinări – numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0\le k\le n, ale unei mulţimi finite cu n Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente
  • Binomul lui Newton

Geometrie

  • Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan
  • Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinate de două puncte distincte
  • Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanţe şi a unor arii

CLASA a XI-a

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Permutări

  • Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi
  • Inversiuni, semnul unei permutări

Matrice

  • Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice
  • Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi

Determinanţi

  • Determinant de ordin n, proprietăţi

Sisteme de ecuaţii liniare

  • Matrice inversabile din {\mathcal M}_n(\mathbb{C}), n\le 4
  • Ecuaţii matriceale
  • Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice
  • Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouché, metoda Gauss
  • Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcţii

  • Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile +\infty şi -\infty
  • Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse
  • Limita unui şir utilizând vecinătăţi, şiruri convergente
  • Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui Weierstrass. Exemple semnificative: (a^n)_n, (n^a)_n, \left(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n\right)_n (fără demonstraţie), numărul e; limita şirului \left((1+u_n)^\frac{1}{u_n}\right)_n, u_n\to 0, u_n\ne 0, pentru orice număr natural n
  • Operaţii cu şiruri care au limită
  • Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale
  • Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii: \displaystyle\frac{0}{0}, \displaystyle\frac{\infty }{\infty }, \infty -\infty , 0\cdot \infty , 1^\infty , \infty ^0, 0^0
  • Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice

Continuitate

  • Continuitatea unei funcţii într-un punct al domeniului de definiţie, funcţii continue, interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe dreapta reală pentru funcţiile studiate, operaţii cu funcţii continue
  • Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale, studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în \mathbb{R}

Derivabilitate

  • Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate
  • Funcţii derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcţii într-un punct
  • Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: monotonia funcţiilor, puncte de extrem
  • Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune

Reprezentarea grafică a funcţiilor

  • Reprezentarea grafică a funcţiilor
  • Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de soluţii ale unei ecuaţii
  • Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă)
  • Regulile lui l’Hospital

CLASA a XII-a

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

  • Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), tabla operaţiei, parte stabilă
  • Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n
  • Subgrup
  • Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui element
  • Morfism, izomorfism de grupuri

Inele şi corpuri

  • Inel, exemple: inele numerice (\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}), \mathbb{Z}_n, inele de matrice, inele de funcţii reale
  • Corp, exemple: corpuri numerice (\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}), \mathbb{Z}_p, p prim
  • Morfisme de inele şi de corpuri

Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ (\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Z}_p, p prim)

  • Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)
  • Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X-a, schema lui Horner
  • Divizibilitatea polinoamelor teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili
  • Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète
  • Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, ecuaţii binome, ecuaţii bipătrate, ecuaţii reciproce

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

  • Probleme care conduc la noţiunea de integrală

Primitive (antiderivate)

  • Primitivele unei funcţii definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcţii, proprietăţi ale integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale

Integrala definită

  • Diziviuni ale unui interval [a,b], norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume Riemann, interpretare geometrică. Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un interval [a,b]
  • Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare
  • Formula Leibniz-Newton
  • Integrabilitatea funcţiilor continue, teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue
  • Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma \displaystyle\int_a^b \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}dx, grad Q\le 4 prin metoda descompunerii în fracţii simple

Aplicaţii ale integralei definite

  • Aria unei suprafeţe plane
  • Volumul unui corp de rotaţie
  • Calculul unor limite de şiruri folosind integrala definită

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.