A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeş-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3 Intézet	Magyar Matematika és Informatika Intézet	
1.4 Szakterület	Didaktikai Matematika	
1.5 Képzési szint	Mesteri	
1.6 Szak / Képesítés	Szaktárgy	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Komplex Számok és Alkalmazások a Geometriában 	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.4 Tanulmányi év	2	2.5 Félév	2	2.6. Értékelés módja	vizsga	2.7 Tantárgy típusa	kötelező	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	2	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	28	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	38	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	7	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	36	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	7	
Vizsgák	6	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	94	
3.8 A félév össz-óraszáma	150	
3.9 Kreditszám	8	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Az általános Komplex Analízis ismerete.	
4.2 Kompetenciabeli	•	Az általános differenciál- és integrálszámítás ismerete.	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Részvétel a tanszék oktatási munkájának szervezésében és lebonyolításában.
•	Összesen 50 perc szükséges az előadás lebonyolításához.
•	Az előadó tanár jelenléte kötelező.
•	Az előadások a képzési folyamat szerves részét képezik, így az Egyetem a hallgatóktól elvárja, (de nem kötelezi) az azokon való részvételt.
•	Az előadáshoz szükséges oktatási segédanyagok biztosítása.
•	Optimális munkafeltételek megteremtése.	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	A szemináriumokon való jelenlét kötelező.
•	A vizsgán való részvétel feltétele az, hogy a diák a három felmérőből mind a hárman megjelenjen.
•	Az írásbeli dolgozatnál a diákok nem használhatnak semmiféle segédanyagot.
•	A felmérők eredményeinek közzététele a felmérő dolgozat megírásától számítva egy héten belül történik, a megfellebbezett felmérők újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.
•	Az írásbeli vizsga eredményét a dolgozatok kijavítása után ugyanazon a napon közöljük, a megfellebbezett dolgozat újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.	
6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	•	Ismerje a komplex számok tulajdonságai.
•	Ismerje a szintetikus és analitikus mértan a komplex síkban.
•	Ismerje a homografikus függvények: kiegészítések.
•	Ismerje a nem Euklideszi geometriai modellek.
•	Ismerje a konformis leképezések.
•	Analitikus függvények mértani elméletének elemei ismerete.	
Transzverzális kompetenciák 	•	Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 14, vagy 15-ös változatait. Ez a program alkalmazható a konformis leképezések megjelenítésére, hatványsorokba való fejtésére, a reziduumok és a komplex integrálok kiszámítására.	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	Az egyváltozós komplexfüggvények elméletével kapcsolatos új alapismeretek elsajátítása, és ezen ismeretek alkalmazási lehetőségeinek a bemutatása.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései	A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek:
•	A végzősök módszertani kompetenciájának fejlesztése a fontosabb komplex analízis feladatok megoldásában, illetve a nehezebb, tantárgyverseny szintű feladatok megoldásában.
•	Különböző megoldási módszerek ismertetése és alkalmazása bizonyos feladatok esetén.	

8. A tantárgy tartalma

8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
Komplex számok geometriai tulajdonságai. Geometrikus transzformációk	Magyarázat, bizonyítás 	Könyvészet: 1, 27 oldal	
Komplex számok alkalmazásai geometriában. Ptolemeos, Pompeiu, Angheluţă, és D. V. Ionescu tételei	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 27-46 oldal	
Analitikus mértan a komplex síkban	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 46-54 oldal	
Körbe beirt sokszögek tulajdonságai. Az Euler-féle kör, általánosítások	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 62-70 oldal	
Lineáris törttranszformáciok. Értelmezések, tulajdonságok	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 71-82 oldal, 
3, 35-38 oldal, 7, 72-81 oldal	
Nevezetes törttranszformáció halmazok. A törttranszformáciok osztályozása	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 82-93 oldal	
Egy nem Euklideszi geometriai modell (Lobacevski-Poincaré). Incidens és rendszeri axiómák	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 94-98 oldal, 
3, 44-45 oldal	
Kongruencia axiómák, Folytonosság axiómák és párhuzamosok axiómái	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 98-107 oldal, 
1, 107-113 oldal	
A kör. Az elliptikus és parabolikus függvények tulajdonságai a Poincare modellben. Az általánosítót Schwarz-féle lemma	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 120-127 oldal	
Sajátos tulajdonságú holomorffüggvény-halmazok; Montel tétele. Egyrétű függvények – legfontosabb tulajdonságok. Hurvitz tétele	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 3, 139-146 oldal	
A konformis leképezés problémája. A Riemann-féle tétel. Nevezetes konformis leképezések	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 3, 146-152 oldal, 7, 49-55 oldal	
Analitikus függvények mértani elméletének elemei I	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 129-148 oldal	
Analitikus függvények mértani elméletének elemei II	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 3, 1-12 oldal	
Analitikus függvények mértani elméletének elemei III	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 5, 13-18 oldal	

Könyvészet
1. G. S. Sălăgean, Geometria planului complex, Promedia-Plus, Cluj-Napoca, 1997
2. P. T. Mocanu, T. Bulboacă, G. S. Sălăgean, Teoria geometrică a funcţiilor univalente, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, Ed. I, 1999, Ed. II, 2006.
3. P. Hamburg, P. T. Mocanu, N. Negoescu, Analiză matematică (Funcţii complexe), Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1982
4. R. Deaux, Introduction to the Geometry of Complex Numbers. Dover, 2008
5. T. Andreescu, D. Andrica, Complex Numbers from A to … Z, Birkhauser, Boston, 2006
6. S. G. Krantz, Geometric Function Theory, Birkhauser, 2006
7. P. T. Mocanu, Funcţii complexe, Partea I, Lito. Universitaţii Cluj, 1972
8. R. Shakarchi, Problems and Solutions for Complex Analysis, Springer, 1999
9. M. Evgrafov, K. Bobejnov, Y. Sidorov, Recueil de problemes sur la theorie des functions analytiques, Edition Mir, Moscou, 1974	

8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
Feladatok komplex számokkal I	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 16-24 oldal	
Feladatok komplex számokkal II	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 5, 1-46 oldal	
Feladatok komplex számokkal III	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 5, 47-86 oldal	
Feladatok komplex számokkal IV	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 6, 1 fejezet	
Analitikus mértani feladatok I	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 55-58 oldal	
Analitikus mértani feladatok II	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 1, 58-62 oldal	
Diák versenyinél adott feladatok I	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 5, 161-181 oldal	
Diák versenyinél adott feladatok II	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 5, 181-201 oldal	
Diák versenyinél adott feladatok III	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 5, 201-221 oldal	
Diák versenyinél adott feladatok IV	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 5, 221-246 oldal	
Lineáris törttranszformáciok – feladatok I	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 9, 299-305 oldal	
Lineáris törttranszformáciok – feladatok II	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 8., 7 fejezet	
Egyrétű függvények I	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 3, 19 oldal, 
7, 203-204 oldal	
Egyrétű függvények II	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: 9, 294-298 oldal	

Könyvészet
1. G. S. Sălăgean, Geometria planului complex, Promedia-Plus, Cluj-Napoca, 1997
2. P. T. Mocanu, T. Bulboacă, G. S. Sălăgean, Teoria geometrică a funcţiilor univalente, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, Ed. I, 1999, Ed. II, 2006.
3. P. Hamburg, P. T. Mocanu, N. Negoescu, Analiză matematică (Funcţii complexe), Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1982
4. R. Deaux, Introduction to the Geometry of Complex Numbers. Dover, 2008
5. T. Andreescu, D. Andrica, Complex Numbers from A to … Z, Birkhauser, Boston, 2006
6. S. G. Krantz, Geometric Function Theory, Birkhauser, 2006
7. P. T. Mocanu, Funcţii complexe, Partea I, Lito. Universitaţii Cluj, 1972
8. R. Shakarchi, Problems and Solutions for Complex Analysis, Springer, 1999
9. M. Evgrafov, K. Bobejnov, Y. Sidorov, Recueil de problemes sur la theorie des functions analytiques, Edition Mir, Moscou, 1974	

9. Az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásainak összhangba hozása a tantárgy tartalmával.
•	A hallgatóknak lehetőségük nyílik arra, hogy az előadások során szerzett ismereteket felhasználva, részt vegyenek tudományos rendezvényeken, és bekapcsolódjanak a szak tematikájához kapcsolódó kutatásokba.
•	A szak tanszékei oktató- és kutatómunkájuk révén intenzív kapcsolatban állnak e szakterületen számos neves külföldi tanszékével, és a tanterv szoros összhangban van a nemzetközi sztenderdekkel.
•	A tantárgy tartalma a szakmai egyesületek elvárásainak is megfelelnek.
•	A szakmai egyesületek segítik a tehetséggondozó műhelyek munkáját is, lehetővé teszik a szakmai anyagok cseréjét, a tehetségek érvényesülésének segítését, a tehetségek felkarolását, felkutatását és az ezzel foglalkozó szervezetek tevékenységének összehangolását.	

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Ellenőrző dolgozat írása az első 7 kurzus és szeminárium anyagából 30%, szeminárium 20%, vizsga 50%.
Minden hallgató egy referátumot készít.	Írásbeli dolgozat	25%	
	Végleges vizsga: a megmaradt kurzusokból, 60% feladat megoldási készség és 40% elméleti ismeretek	Írásbeli vizsga	25%	
10.5 Szeminárium / Labor	Ellenőrző dolgozat írása az első 7 kurzus és szeminárium anyagából 30%, szeminárium 20%, vizsga 50%.
Minden hallgató egy referátumot készít.	Írásbeli dolgozat	25%	
	Végleges vizsga: a megmaradt szemináriumokból, 60% feladat megoldási készség és 40% elméleti ismeretek	Írásbeli vizsga	25%	

10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	a komplex számok tulajdonságai ismerete.
•	a szintetikus és analitikus mértan a komplex síkban ismerete.
•	a homografikus függvények: kiegészítések ismerete.
•	a nem Euklideszi geometriai modellek ismerete.
•	a konformis leképezések ismerete.
•	az analitikus függvények mértani elméletének elemei ismerete.	

Kitöltés dátuma: 2012, Szeptember 14
Előadás felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă		Szeminárium felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă
Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató