A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeş-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3  Intézet	Magyar Matematika és Informatika	
1.4 Szakterület	Matematika	
1.5 Képzési szint	Mesterképzés	
1.6 Szak / Képesítés	Matematika didaktika	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Módszertani észrevételek az elemi analízisben I	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Finta Zoltán	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	Finta Zoltán	
2.4 Tanulmányi év	4	2.5 Félév	1	2.6. Értékelés módja	vizsga	2.7 Tantárgy típusa	kötelező	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	3	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	1	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	42	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	14	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	30	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	31	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	46	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	7	
Vizsgák	19	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	133	
3.8 A félév össz-óraszáma	175	
3.9 Kreditszám	7	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Matematikai analízis 1	
4.2 Kompetenciabeli	•	Matematikai gondolkodás, modellezés, problémamegoldás	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Megfelelő infrastruktúrával ellátott előadóterem	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	Megfelelő infrastruktúrával ellátott szeminárium terem	

6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	•	Olyan elméleti és alkalmazott matematikai ismeretek megszerzése, melyek nélkülözhetetlenek egy jövendőbeli matematika szakos tanár számára. Ugyanakkor a tantárgy során bemutatott hibás feladatmegoldások, példák és ellenpéldák azt hivatottak szolgálni, hogy megelőzzük a tartalmi hibák előfordulását a középiskolai matematiaki analízis oktatásában.	
Transzverzális kompetenciák 	•	A matematikai gondolkodás hasznosítása más műveltségterületeken, például a problémamegoldás, érvelés és kommunikáció szerepeltetésével.	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	Elméleti és alkalmazott matematikai ismeretek megszerzése	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései

	•	A bemutatásra kerülő fontosabb fejezetek a következők:  valós számsorozatok,  valós számsorok,  folytonos függvények, deriválható függvények, konvex függvények,  primitív függvények,  Darboux –tulajdonságú  függvények.

8. A tantárgy tartalma
8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1)  Valós számokkal kapcsolatos tulajdonságok:  alsó korlát, felső korlát, legkisebb elem, legnagyobb elem, minimális elem, maximális elem, infimum, szuprémum;  környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, F_{σ} típusú halmaz, G_{δ} típusú halmaz, sűrű halmazok, Dirichlet-tétel, Kronecker-tétel 	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 13-46]
[könyvészet;oldalak]	
2) Valós számsorozatok: fundamentális sorozatok, rekurrens sorozatok;  Töplitz-tétel, Stolz-Cesaro-tétel, Lalescu-sorozat	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 46-71]
	
3) Valós számsorok:  Kummer-féle kritérium és következményei;  számsorok és számsorozatok közötti  kapcsolat  (Kronecker-lemma)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 76-102]	
4)  Véges és végtelen halmazok:  megszámlálható halmazok,  kardinális számok,  Cantor-Bernstein-tétel,  Cantor-halmaz	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 22-27]
	
5)  Függvények határértéke és folytonossága:  a határérték jellemzése a Heine-kritériummal illetve a Cauchy-kritériummal;  a folytonosság  jellemzése nyílt halmazokkal (zárt halmazokkal);  szakadási pontok (az  f : R \to R függvény  szakadási pontjainak halmaza F_{σ} típusú;  nem létezik olyan f : R \to R  függvény, amely folytonos minden racionális pontban és szakadásos minden irracionális pontban)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 22-27]
	
6)  Egyenletesen folytonos függvények:  az egyenletes folytonosság jellemzése sorozatokkal illetve függvények határértékével;  az egyenletes folytonosság elégséges feltételei	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[3; 42-49],  [7, I; 188-190],
[10; 41]  	
7)  Deriválható függvényekkel kapcsolatos tulajdonságok:       a folytonosság és deriválhatóság kapcsolata, bal és jobb oldali deriváltak;  példa olyan folytonos f : R \to R függvényre, amely egyetlen pontban sem deriválható  (Van der Waerden példája, K. Weierstrass példája),  Banach-tétel (a deriválható függvények halmaza első kategóriájú)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 191-201],  [8; 107-116]
	
8)  A differenciálszámítás alapvető tételei:  Fermat- tétel, Rolle-tétel, Cauchy-tétel, Lagrange-tétel;  Taylor-képlet,       L’Hospital-szabály	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 202-224]	
9)  A differenciálszámítás alapvető tételei: a közép-értéktételek egységesített formája (lásd: Páles Zs.,  A unified form of the classical mean  value theorems,  WSSIAA,  3(1994), 493-500)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I, 251-255]
	
10) Konvex függvények:  konvexitás és folytonosság kapcsolata, Jensen-konvexitás és kapcsolata a konvexitással;  példa olyan Jensen-konvex függvényre, amely nem konvex	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[8; 94-107], [7, I; 226-232]	
11) Konvex függvények:  konvexitás és deriválhatóság kapcsolata (a konvexitás jellemzése az elsőrendű         deriváltfüggvénnyel;  a konvexitás jellemzése a másod-rendű deriváltfüggvénnyel)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[8; 94-107],  [7, I; 226-232]	
12) Algebrai egyenletek megoldása analízis eszközökkel: grafikus módszer, Rolle-sorozat, húr módszer, érintő  módszer (vagy Newton-féle módszer), a kontrakció elve (vagy Banach-féle fixpont tétel)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[7, I; 457-477]	
13) Darboux-tulajdonságú függvények:  a Darboux-tulajdonság és folytonosság kapcsolata,  Darboux-tulajdonságú függvények szakadási  pontjai, Lebesgue példája  Darboux-tulajdonságú és sehol sem folytonos függvényre	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[9],  [7, I; 120-122] 
	
14) Darboux-tulajdonságú függvények:  a Darboux-tulajdonság és deriválhatóság kapcsolata,  a Darboux-tulajdonság és primitív függvények kapcsolata, a Darboux-tulajdonság és két függvény összege, szorzata illetve           hányadosa közötti kapcsolat	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[9],  [7, I; 120-122]	
Könyvészet

1)  Balázs M. -  Hatházi A. :  Matematika,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
2)  Balázs M. :  Matematika analízis,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
3)  Crăciun C.V. :  Analiză matematică (Materiale pentru perfecţionarea profesorilor de liceu),  Universitatea din     
      Bucureşti, Facultatea de Matematică, Bucureşti, 1992.
4)  Crăciun C.V. : Contraexemple în analiza matematică,  Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică, 
      Bucureşti, 1989.
5)  Crăciun C.V. : Teoreme de medie din analiza matematică,  Universitatea  din Bucureşti,  Facultatea  de  
      Matematică,  Bucureşti, 1986.
6)  Gelbaum B.R. – Olmsted J.M.H. :  Contraexemple în analiză,  Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1973.
7)  Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial şi integral,  vol. I-II, Editura Ştiinţifică şi  Enciclopedică,  Bucureşti, 1985.
8)  Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial, Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică,  Bucureşti,  1983.

9)  Sireţchi Gh. :  Funcţii cu proprietatea Darboux, Universitatea din Bucureşti, Facultatea  de  Matematică,  Bucureşti,  
      1986.
10)  Rădulescu  S. – Rădulescu  M. :  Teoreme şi probleme de analiză matemaitică, Editura  Didactică  şi  Pedagogică,  
        Bucureşti, 1982.
	
8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1)  Valós számokkal kapcsolatos tulajdonságok:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 13-18, 31-34]	
2) Valós számsorozatok: gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 34-115]
	
3) Valós számsorok: gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 116-143],  [4; 17-27]
	
4)  Véges és végtelen halmazok: gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 18-22]
	
5)  Függvények határértéke és folytonossága:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 185-223],  [4; 29-36]
	
6)  Egyenletesen folytonos függvények :  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 234-243],  [3; 50-69]
	
7)  Deriválható függvényekkel kapcsolatos tulajdonságok:        gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 37-47],  [3; 87-106],  [7, II; 244-267]
	
8)  A differenciálszámítás alapvető tételei:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 267-306],  [5]
	
9)  A differenciálszámítás alapvető tételei:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 267-306],  [5]
	
10) Konvex függvények:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 307-315]
	
11) Konvex függvények:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, II; 307-315]
	
12) Algebrai egyenletek megoldása analízis eszközökkel: gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7, I; 457-477]	
13) Darboux-tulajdonságú függvények:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[9],  [7, II; 157-159]
	
14) Darboux-tulajdonságú függvények:  gyakorlatok és feladatok	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[9],  [7, II; 157-159]	
Könyvészet	

1)  Balázs M. -  Hatházi A. :  Matematika,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
2)  Balázs M. :  Matematika analízis,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
3)  Crăciun C.V. :  Analiză matematică (Materiale pentru perfecţionarea profesorilor de liceu),  Universitatea din     
      Bucureşti, Facultatea de Matematică, Bucureşti, 1992.
4)  Crăciun C.V. : Contraexemple în analiza matematică,  Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică, 
      Bucureşti, 1989.
5)  Crăciun C.V. : Teoreme de medie din analiza matematică,  Universitatea  din Bucureşti,  Facultatea  de  
      Matematică,  Bucureşti, 1986.
6)  Gelbaum B.R. – Olmsted J.M.H. :  Contraexemple în analiză,  Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1973.
7)  Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial şi integral,  vol. I-II, Editura Ştiinţifică şi  Enciclopedică,  Bucureşti, 1985.
8)  Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial, Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică,  Bucureşti,  1983.

9)  Sireţchi Gh. :  Funcţii cu proprietatea Darboux, Universitatea din Bucureşti, Facultatea  de  Matematică,  Bucureşti,  
      1986.
10)  Rădulescu  S. – Rădulescu  M. :  Teoreme şi probleme de analiză matemaitică, Editura  Didactică  şi  Pedagogică,  
        Bucureşti, 1982.

9. A tárgy tartalmának összhangba hozása az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásaival.
•	A mesterképzésben szereplő Módszerteni észrevételek az elemi  analízisben  tantárgy birtokában az egyetemi hallgató – a várható szakirányokat is figyelembe véve – alkalmas: felelősségteljes állás betöltésére, önálló döntéshozatalra, tevékenysége minőségtudattal történő végzésére; továbbképzések segítségével új kompetenciák elsajátítására.

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Szummatív (összegező, lezáró) értékelés	Írásbeli vizsga	50%	
10.5 Szeminárium / Labor	Formatív (formáló, folyamatos) értékelés	1 módszertani dolgozat bemutatása	50%	
10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	 Az előadáson és szemináriumon való aktív részvétel.

Kitöltés dátuma			Előadás felelőse			Szeminárium felelőse
2012. szeptember 14.			...............................			...................................

Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató	
..........................						Dr. Szenkovits Ferenc, egyet. docens
..........................