A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeș-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3  Intézet	Magyar Matematika és Informatika	
1.4 Szakterület	Matematika	
1.5 Képzési szint	Alap	
1.6 Szak / Képesítés	Matematika	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Matematikai modellezés	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	András Szilárd	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	András Szilárd	
2.4 Tanulmányi év	3	2.5 Félév	6	2.6. Értékelés módja	Vizsga	2.7 Tantárgy típusa	Választható – kiegészítő	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	2/0	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	28	
A tanulmányi idő elosztása:	Óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	35	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	21	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portfóliók, referátumok, esszék kidolgozása	24	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	6	
Vizsgák	8	
Más tevékenységek: esettanulmány	25	
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	119	
3.8 A félév össz-óraszáma	175	
3.9 Kreditszám	7	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Középiskolai tananyag, Matematikai analízis, közönséges és parciális differenciálegyenletek	
4.2 Kompetenciabeli	•	A közönséges differenciálegyenletek megoldási módszereinek alkalmazási készsége funkcionális működőképes kell legyen
•	Az integrálszámításhoz kapcsolódó kompetenciák funkcionális működése	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Táblával, video projektorral felszerelt, átrendezhető tanterem	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	Táblával, video projektorral felszerelt, átrendezhető tanterem	

6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák

Szakmai kompetenciák	•	Az általános és középiskolában tanított matematikai tartalom modellezésre alapozott bevezetése
•	Az alapvető modellek tanulmányozása (rekurziók, differenciálegyenletek vagy egyéb eszközök segítségével)	
Transzverzális kompetenciák 	•	Más tantárgyakból (fizika, kémia, biológia) származó feladatok matematikai modellezése	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	Bevezetés a matematikai modellezésbe a tudomány különböző területein (fizika, kémia, biológia, stb.). Dinamikus rendszerek vizsgálatához szükséges alapvető fogalmak elsajátítása. Szimulációk készítésének szabályai és buktatói	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései
	- az általános- és középiskolában tanított tananyag áttekintése a modellezés szempontjából	

8. A tantárgy tartalma
8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
I. A matematikai modellezés folyamata
 1. Bevezetés: Fontos szakaszok a matematika történetében
 2. A matematika és alkalmazásainak viszonya
 3. A matematikai modellezés lépései
 4. Gyakorlati problémák átírásából származó matematikai modellek	Előadás, számítógépes vizualizációk		
II. Dinamikus rendszerek
 1. A dinamikus rendszer fogalma
 2. Differencia egyenletek által generált dinamikus rendszerek
 3. Egyensúlyi állapotok, stabilitás			
III. Diszkrét matematikai modellek			
IV. Lineáris differencia egyenletek, az állandó együtthatós egyenletek megoldása			
V. Állandó együtthatós rendszerek megoldása			
VI. A logisztikus egyenlet, diszkrét populációs modellek			
VII. Populációk dinamikája			
VIII 1. Folytonos dinamikus rendszerek
 2. Autonóm rendszerek, a megoldások stabilitása
 3. Alapmodellek (Malthus, Verhulst, begyűjtéses modellek)			
IX. Több fajra vonatkozó populációs modellek (ragadozó-zsákmány, kompetitív viszony, szimbiózis)			
X. Járványok terjedésének matematikai modelljei
 1. SIR, SIRS típusú modellek
 2. Betegségek terjedésének modellezése			
XI. Vérképződés modellezése			
XII. Matematikai modellezés az általános iskolában I. - aritmetika			
XIII. Matematikai modellezés az általános iskolában I. – racionális számok bevezetése			
XIV. Matematikai modellezés a középiskolában I. – A Pascal triéder			
Könyvészet
1. RUS, IOAN A. - IANCU, CRACIUN: Modelare matematica, Editura Transilvania, Cluj-Napoca,  2000
2. IANCU, CRACIUN: Modelare matematica. Teme speciale. Ed. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2002
3. MURRAY,J.D.: Mathematical biology, Springer-Verlag, Berlin,1989.    
4. FOWLER, A.C.: Mathematical models in applied sciences, Cambridge University Press, 1989.
5. AGARWAL, R.P., Difference equations and inequalities, 2nd Edition, Theory, Methods and Applications, Marcel Dekker Inc. 2000
6. ARROWSMITH, Dynamical systems, Differential equations, maps and chaotic behaviour, Chapmann and Hall, 1992
7. ANDRÁS SZILÁRD: Dinamikus rendszerek, Editura didactica si pedagogica, 2008
8. LOUIS G. BIRTA, GILBERT ARBEZ: Modelling and Simulation, Springer, 2007
9. D.R. SCHIER, K.T. WALLENIUS: Applied multidisciplinary modeling, 
10. NINO BOCCARA: Modelling complex systems, Springer, 2004
11. E. HOLZBECHER: Environmental modeling with Matlab, Springer, 2007	
8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1. Hídépítés – függőhíd, láncgörbe alakú híd, moduláris híd	Csoportos projekt		
2. Differenciálegyenletek közelítő megoldása általános és középiskolában	Egyéni munka		
3. Differenciálegyenletek közelítő megoldása általános és középiskolában	Egyéni munka		
4. Differenciálegyenletek közelítő megoldása általános és középiskolában	Egyéni munka		
5. Szimbolikus számolást előkészítő számítógépes játék tervezése	Projekt		
6. Racionális számok bevezetése 	Kooperatív tevékenység		
7. Pascal triéder építése	Csoportos projekt		

9. A tárgy tartalmának összhangba hozása az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásaival.
•	A matematikai modellezés matematikai tartalmának és a megfelelő didaktikai eszköztárának összehangolása. 	

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Alapfogalmak pontos ismerete	Szóbeli vizsga	40%	
	Bizonyítások ismerete			
10.5 Szeminárium / Labor	Feladatok helyes megoldása	Írásbeli vizsga	30%	
	Szemináriumi tevékenység	Házi feladatok, táblánál megoldott feladatok, projektek	30%	
10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	A szóbeli vizsgán el kell érni legalább a 7-est
•	Ha valaki nem vesz részt legalább 11 előadáson és 11 szemináriumon, akkor a teljes anyagból villámkérdéses módszerrel szóbelizik.	

Kitöltés dátuma			Előadás felelőse			Szeminárium felelőse
..2012. 09.20.....							 		
Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató	
..........................						Dr. Szenkovits Ferenc, egyet. docens
..........................