A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeş-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3 Intézet	Magyar Matematika és Informatika Intézet	
1.4 Szakterület	Matematika, Matematika-Informatika	
1.5 Képzési szint	Alap	
1.6 Szak / Képesítés	Szaktárgy	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Analitikus Függvények Geometriai Elmélete	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.4 Tanulmányi év	2	2.5 Félév	2	2.6. Értékelés módja	kollokvium	2.7 Tantárgy típusa	opcionális	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	3	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	1	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	42	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	14	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	38	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	7	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	36	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	7	
Vizsgák	6	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	94	
3.8 A félév össz-óraszáma	150	
3.9 Kreditszám	5 (M)
4 (MI)	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	A Komplex Analízis alapkurzus fogalmak ismerete.	
4.2 Kompetenciabeli	•	Az általános differenciál- és integrálszámítás ismerete.	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Részvétel a tanszék oktatási munkájának szervezésében és lebonyolításában.
•	Összesen 50 perc szükséges az előadás lebonyolításához.
•	Az előadó tanár jelenléte kötelező.
•	Az előadások a képzési folyamat szerves részét képezik, így az Egyetem a hallgatóktól elvárja, (de nem kötelezi) az azokon való részvételt.
•	Az előadáshoz szükséges oktatási segédanyagok biztosítása.
•	Optimális munkafeltételek megteremtése.	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	A szemináriumokon való jelenlét kötelező.
•	A kollokviumon való részvétel feltétele az, hogy a diák a három felmérőből mind a hárman megjelenjen.
•	A felmérő dolgozatnál a diákok nem használhatnak semmiféle segédanyagot.
•	A felmérők eredményeinek közzététele a felmérő dolgozat megírásától számítva egy héten belül történik, a megfellebbezett felmérők újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.
•	A kollokvium eredményét a dolgozatok kijavítása után ugyanazon a napon közöljük, a megfellebbezett dolgozat újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.	
6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	1. Ismerje a lineáris törttranszformációkat: többértékű függvények, Schwarz, illetve Poisson képlete (2 előadás)
2. Ismerje a többértékű függvény egyértékű ágai: az út adott pontra vonatkozó indexe, Cauchy képletei zárt görbére. (2 előadás)
3. Ismerje a holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Schwarz-féle lemma. (1 előadás)
4. Ismerje a meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával: Cauchy zérushelyekkel és pólusokkal kapcsolatos tétele, az argumentum változásának elve, Rouché tétele, a tartomány megtartásának elve. (3 előadás)
5. Ismerje a konformis leképezéseket: egyrétű függvények, sajátos tulajdonságú holmorffüggvény-halmazok, Montel tétele, Vitali tétele, Pompeiu tétele, majdnem konvex függvények, Hurwitz tétele, a konformis leképezés problémája, a Riemann-féle tétel, konformitási sugár. (4 előadás)
6. Ismerje az egységsugarú korongban egyrétű függvények tulajdonságjaj: az S függvényosztály. (2 előadás)	
Transzverzális kompetenciák 	•	Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 14, vagy 15-ös változatait.	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	A tantárgy célja mélyebb ismeretek elsajátítása az egyváltozós komplexfüggvények elméletében, ugyanakkor ezen elméleti tudnivalók elmélyítése különböző gyakorlati alkalmazásokon keresztül.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései	A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek:
(a) a holomorf és meromorf függvényekkel kapcsolatos elméleti tudnivalók mélyebb ismerete megértése, a többértékű függvények egyértékű ágainak integrálása, és általánosított hatványsorba való fejtésének ismerete
(b) ismerje a nehezebb összetett integrálok kiszámítását, és ezeket alkalmazza valós integrálok kiszámításánál és valós analízisben
(c) az egyrétű függvények elméletének ismerete, ugyanakkor ismerje a konformis leképezéseket a sajátos alkalmazásokkal együtt
(d) annak felfedezése, hogy különleges módszerekkel nehéz feladatok is könnyen megoldhatóak.	

8. A tantárgy tartalma

8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.	Magyarázat, bizonyítás 	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 44-53 oldal	
Schwarz, illetve Poisson képlete.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 108-110 oldal	
Többértékű függvény egyértékű ágai.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 53-55 és 98-100 oldal	
Az út adott pontra vonatkozó indexe. Cauchy képletei zárt görbére.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 100-106 oldal	
Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Schwarz-féle lemma.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 135-140 oldal	
Meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 163-165 és 182-185 oldal	
Az argumentum változásának elve.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 185-186 oldal	
Rouché tétele. A tartomány megtartásának elve.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 186-189 oldal	
Konformis leképezések. Sajátos tulajdonságú holmorffüggvény-halmazok. Montel tétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 199-203 oldal	
Vitali tétele. Egyrétű függvények. Pompeiu tétele. Majdnem konvex függvények. Hurwitz tétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 203-208 oldal	
A konformis leképezés problémája. A Riemann-féle tétel.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 208-213 oldal	
Konformitási sugár.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 213-216 oldal	
Egységsugarú korongban egyrétű függvények tulajdonságjaj.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Petru Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 1-8 oldal	
Az S függvényosztály.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Petru Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 8-16 oldal	

Könyvészet
1. Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2010.
2. Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2007.
3. Petre Hamburg, Petru Mocanu, Nicolae Negoescu: Analiză matematică (Funcţii complexe), Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1982.
4. Teodor Bulboacă, Petru Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003.	

8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 53-78 oldal	
Komplex függvények integrálása.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 82-107 oldal	
Többértékű függvény egyértékű ágai.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 117-128 oldal	
Komplex függvények integrálása. Improprius integrálok I.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 128 és 237-247 oldal	
Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Schwarz-féle lemma.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 180-190 oldal	
Improprius integrálok II.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 247-257 oldal	
Meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával I.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 262-266 oldal	
Meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával II.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 266-276 oldal	
Konformis leképezések I.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 277-282 oldal	
Konformis leképezések II.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 283-287 oldal	
Konformis leképezések III.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă – Salamon, Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 287-294 oldal	
Konformis leképezések IV.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 295-302 oldal	
Egyrétű függvények I.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Petru Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 21-22 oldal	
Egyrétű függvények II.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Petru Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 21-22 oldal	

Könyvészet
1. Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2010.
2. Teodor Bulboacă, Salamon Júlia: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2007.
3. Petre Hamburg, Petru Mocanu, Nicolae Negoescu: Analiză matematică (Funcţii complexe), Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1982.
4. Teodor Bulboacă, Petru Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003.	

9. Az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásainak összhangba hozása a tantárgy tartalmával.
•	A hallgatóknak lehetőségük nyílik arra, hogy az előadások során szerzett ismereteket felhasználva, részt vegyenek tudományos rendezvényeken, és bekapcsolódjanak a szak tematikájához kapcsolódó kutatásokba.
•	A szak tanszékei oktató- és kutatómunkájuk révén intenzív kapcsolatban állnak e szakterületen számos neves külföldi tanszékével, és a  tanterv szoros összhangban van a nemzetközi sztenderdekkel.
•	A tantárgy tartalma a szakmai egyesületek elvárásainak is megfelelnek.
A szakmai egyesületek segítik a tehetséggondozó műhelyek munkáját is, lehetővé teszik a szakmai anyagok cseréjét, a tehetségek érvényesülésének segítését, a tehetségek felkarolását, felkutatását és az ezzel foglalkozó szervezetek tevékenységének összehangolását.	

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Három dolgozatok: értelmezések, bizonyítások	Írásbeli dolgozat	25%	
	Végleges kollokvium: 40% feladat megoldási készség és 60% elméleti ismeretek	Írásbeli kollokvium	25%	
10.5 Szeminárium / Labor	Három dolgozatok: feladatok megoldásai

(a) az első felmérő az 1. és 2-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
(b) a második felmérő a 2-dik és 3-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
(c) a harmadik felmérő a 3-dik és 4-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában	Írásbeli dolgozat	25%	
	A végső jegy az (a), (b) és (c) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.	Írásbeli kollokvium	25%	

10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	a lineáris törttranszformációkat ismerete
•	a többértékű függvény egyértékű ágai ismerete
•	a holomorf függvények modulusának maximuma ismerete
•	a meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával ismerete
•	a konformis leképezéseket ismerete
•	az egységsugarú korongban egyrétű függvények tulajdonságjaj ismerete	

Kitöltés dátuma: 2012, Szeptember 14
Előadás felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă		Szeminárium felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă
Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató