A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeş-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3 Intézet	Magyar Matematika és Informatika Intézet	
1.4 Szakterület	Matematika, Matematika-Informatika	
1.5 Képzési szint	Alap	
1.6 Szak / Képesítés	Szaktárgy	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Komplex Analízis	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.4 Tanulmányi év	2	2.5 Félév	1	2.6. Értékelés módja	vizsga	2.7 Tantárgy típusa	kötelező	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	2	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	28	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	38	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	7	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	36	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	7	
Vizsgák	6	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	94	
3.8 A félév össz-óraszáma	150	
3.9 Kreditszám	6 (M)
5 (MI)	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Az egy- és többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának ismerete.	
4.2 Kompetenciabeli	•	Az általános differenciál- és integrálszámítás ismerete.	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Részvétel a tanszék oktatási munkájának szervezésében és lebonyolításában.
•	Összesen 50 perc szükséges az előadás lebonyolításához.
•	Az előadó tanár jelenléte kötelező.
•	Az előadások a képzési folyamat szerves részét képezik, így az Egyetem a hallgatóktól elvárja, (de nem kötelezi) az azokon való részvételt.
•	Az előadáshoz szükséges oktatási segédanyagok biztosítása.
•	Optimális munkafeltételek megteremtése.	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	A szemináriumokon való jelenlét kötelező.
•	A vizsgán való részvétel feltétele az, hogy a diák a három felmérőből mind a hárman megjelenjen.
•	Az írásbeli dolgozatnál a diákok nem használhatnak semmiféle segédanyagot.
•	A felmérők eredményeinek közzététele a felmérő dolgozat megírásától számítva egy héten belül történik, a megfellebbezett felmérők újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.
•	Az írásbeli vizsga eredményét a dolgozatok kijavítása után ugyanazon a napon közöljük, a megfellebbezett dolgozat újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.	
6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	•	ismerje a komplex sík topológiájához kapcsolódó alapfogalmak
•	ismerje a holomorf függvények elméletének megértése, a komplex integrálok és a holomorf függvények hatványsorba való fejtésének
•	ismerje a komplex integrálok kiszámítását, és ezeket alkalmazza valós integrálok kiszámításánál és valós analízisben
•	ismerje a komplex analízis egyes sajátos módszereinek elsajátítása, a matematika más szakterületein való alkalmazási lehetőségekkel, illetve fizikában és technikában.	
Transzverzális kompetenciák 	•	Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 14, vagy 15-ös változatait. Ez a program alkalmazható a konformis leképezések megjelenítésére, hatványsorokba való fejtésére, a reziduumok és a komplex integrálok kiszámítására.	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	A tantárgy célja alapismeretek elsajátítása az egyváltozós komplex függvények elméletében, ugyanakkor ezen elméleti tudnivalók egyes alkalmazásainak bemutatása.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései	A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek:
•	a komplex sík topológiájához kapcsolódó alapfogalmak ismerete
•	a holomorf függvények elméletének megértése, a komplex integrálok és a holomorf függvények hatványsorba való fejtésének ismerete
•	ismerje a komplex integrálok kiszámítását, és ezeket alkalmazza valós integrálok kiszámításánál és valós analízisben
•	a komplex analízis egyes sajátos módszereinek elsajátítása, a matematika más szakterületein való alkalmazási lehetőségekkel, illetve fizikában és technikában.	

8. A tantárgy tartalma

8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
Komplex számok. A komplex számtest, a komplex sík. A komplex sík metrikus-topológikus szerkezete. Komplex függvény, határérték, folytonosság. A kiterjesztett komplex számsík. A sztereografikus projekció.	Magyarázat, bizonyítás 	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 1-14 oldal	
Holomorf függvények. Valós változójú komplex függvények deriválása. Komplex függvény R-differenciálja. Komplex függvény deriváltja: Cauchy-Riemann feltételek.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 23-32 oldal	
Holomorf függvények. A derivált geometriai interpretációja. Egész függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 33-44 oldal	
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 44-56 oldal	
Komplex függvények integrálása. Az utak homotópikus elmélete.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 65-73 oldal	
A komplex integrál. Cauchy integráltétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 81-94 oldal	
Cauchy képletei a korongra. A Cauchy képletei néhány következménye.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 94-108 oldal	
Holomorf függvényekbol alkotott sorozatok: Weierstrass tétele. Függvénysorok. Hatványsorok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 121-129 oldal	
Holomorf függvények analitikussága. Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 129-135 oldal	
Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Laurent-sorok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 135-145 oldal	
Izolált szinguláris pontok. Meromorf függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 145-154 oldal	
A reziduumok tétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 163-167 oldal	
A reziduumok tételének alkalmazása trigonometrikus és néhány improprius integrálok kiszámítására.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 167-174 oldal	
A reziduumok tételének alkalmazása néhány improprius integrálok kiszámítására.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010, 174-182 oldal	

Könyvészet
1. Petre Hamburg, Petru Mocanu, Nicolae Negoescu: Analiză matematică (Funcţii complexe), Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1982.
2. Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010
3. Petru Mocanu: Functii complexe, Cluj-Napoca, Lit. Univ. Cluj, 1972. 
4. Octav Mayer: Teoria funcţiilor de o variabilă complexă (vol. I, II), Bucureşti, Editura Academiei Române, 1981-1990.
5. J. B Conway: Functions of one complex variable II, Graduate Texts in Mathematics, 159, New York, Springer Verlag, 1996.
6. Gheorghe Călugareanu: Elemente de teoria funcţiilor de o variabilă complexă, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1963.
7. Dumitru Gaşpar, Nicolae Suciu: Analiză complexă, Bucuresti, Editura Academiei Române, 1999	

8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
Komplex számok. Komplex függvény, határérték, folytonosság.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 1-29 oldal	
Valós változójú komplex függvények deriválása. Komplex függvény deriváltja: Cauchy-Riemann feltételek.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 29-40 oldal	
Egész függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 40-56 oldal	
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 57-79 oldal	
Komplex függvények integrálása.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 79-95 oldal	
A komplex integrál. Cauchy integráltétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 96-116 oldal	
Cauchy képletei a korongra. Alkalmazások.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 116-132 oldal	
Hatványsorok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 133-157 oldal	
Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 180-190 oldal	
Laurent-sorok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 157-174 oldal	
Izolált szinguláris pontok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 174-180 oldal	
A reziduumok tétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 191-228 oldal	
A reziduumok tételének alkalmazása trigonometrikus és néhány improprius integrálok kiszámítására.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 228-246 oldal	
A reziduumok tételének alkalmazása néhány improprius integrálok kiszámítására.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007, 246-262 oldal	

Könyvészet
1. Teodor Bulboacă, Németh Sándor: Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2010
2. Teodor Bulboacă, Júlia Salamon: Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2007
3. Steven Krantz: Handbook of complex variables, Boston, Basel, Berlin: Birkhauser Verlag, 1999.
4. L. Volkovysky, G. Lunts, I. Aramanovich: Problems in the theory of functions of a complex variables, Moskow: Mir Publishers, 1977.
5. M. Evgrafov, K. Bejanov, Y. Sidorov, M. Fedoruk, M. Chabounine: Recueil de problemes sur la théorie des fonctions analytiques, Moscou: Editions Mir, 1974.	

9. Az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásainak összhangba hozása a tantárgy tartalmával.
•	A hallgatóknak lehetőségük nyílik arra, hogy az előadások során szerzett ismereteket felhasználva, részt vegyenek tudományos rendezvényeken, és bekapcsolódjanak a szak tematikájához kapcsolódó kutatásokba.
•	A szak tanszékei oktató- és kutatómunkájuk révén intenzív kapcsolatban állnak e szakterületen számos neves külföldi tanszékével, és a  tanterv szoros összhangban van a nemzetközi sztenderdekkel.
•	A tantárgy tartalma a szakmai egyesületek elvárásainak is megfelelnek.
•	A szakmai egyesületek segítik a tehetséggondozó műhelyek munkáját is, lehetővé teszik a szakmai anyagok cseréjét, a tehetségek érvényesülésének segítését, a tehetségek felkarolását, felkutatását és az ezzel foglalkozó szervezetek tevékenységének összehangolását.	

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Három dolgozatok: értelmezések, bizonyítások
	Írásbeli dolgozat	25%	
	Végleges vizsga: 60% feladat megoldási készség és 40% elméleti ismeretek	Írásbeli vizsga	25%	
10.5 Szeminárium / Labor	Három dolgozatok: feladatok megoldásai

- az első felmérő az 1. és 2-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a második felmérő a 2-dik, 3-dik és 4-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a harmadik felmérő a 4-dik és 5-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában	Írásbeli dolgozat	25%	
	Végleges vizsga: 60% feladat megoldási készség és 40% elméleti ismeretek	Írásbeli vizsga	25%	

10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	a komplex sík topológiájához kapcsolódó alap alapfogalmak ismerete
•	a holomorf függvények alap elméletének megértése, a komplex integrálok és a holomorf függvények hatványsorba való fejtésének ismerete
•	a komplex integrálok alap kiszámítását, és ezeket alkalmazza valós integrálok kiszámításánál és valós analízisben ismerete
•	a komplex analízis egyes sajátos módszereinek alap elsajátítása, a matematika más szakterületein való alkalmazási lehetőségekkel, illetve fizikában és technikában ismerete.	

Kitöltés dátuma: 2012, Szeptember 14
Előadás felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă		Szeminárium felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă
Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató