A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeş-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3  Intézet	Magyar Matematika és Informatika	
1.4 Szakterület	Matematika	
1.5 Képzési szint	Alapképzés	
1.6 Szak / Képesítés	Matematika / Matematika-informatika	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Matematikai analízis 3 (Integrálszámítás az R^{n} térben)	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Finta Zoltán	
2.3 A szemináriumért felelős tanár  neve	Finta Zoltán	
2.4 Tanulmányi év	2	2.5 Félév	3	2.6. Értékelés  módja	Kollokvium	2.7 Tantárgy típusa	kötelező	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	2	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	28	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	30	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	11	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	26	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	7	
Vizsgák	20	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	94	
3.8 A félév össz-óraszáma	150	
3.9 Kreditszám	6	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Matematikai analízis 2	
4.2 Kompetenciabeli	•	Matematikai gondolkodás, modellezés, problémamegoldás	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Megfelelő infrastruktúrával ellátott előadóterem	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	Megfelelő infrastruktúrával ellátott szemináriumterem	

6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	•	A képzés célja olyan elméleti és alkalmazott matematikai ismeretek átadása, melyek képessé teszik az egyetemi hallgatókat arra, hogy alapszíntű matematikai ismereteiket műszaki, gazdasági, statisztikai és számítógépes területen alkalmazzák, továbbá hogy tanulmányaikat a képzés második ciklusában folytassák.	
Transzverzális kompetenciák 	•	A matematikai gondolkodás hasznosítása más műveltségterületeken, például a problémamegoldás, érvelés és kommunikáció szerepeltetésével.	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	Elméleti és alkalmazott matematikai ismeretek megszerzése.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései

	•	Fontosabb típusintegrálok bevezetése és tanulmányozása:  elsőfajú vonalintegrál, másodfajú  vonalintegrál, többváltozós valós függvények Riemann integrálja, elsőfajú felületi integrál,  másodfajú felületi integrál.

8. A tantárgy tartalma
8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1) Utak, görbék az R^{p} térben. Műveletek utakkal. Rektifikálható utak. Ívhossz függvény és kifejezése sima út esetén. Elsőfajú vonalintegrál	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 108-111, 219-221] [könyvészet;oldalak]
	
2) Sima út  hosszának meghatározása.  Konex halmazok az
R^{n} térben.  Konex halmazok jellemzése sima utak által.   
	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 103-106]

3)  Másodfajú vonalintegrál. Az úttól való függetlenség, a primitiv függvény meghatározása	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 221-230]
	
4)  Jordan mérhető halmazok az R^{n} térben. Jordan-nullamértekű halmazok	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 231-235]
	
5)   Többváltozós valós függvények Riemann-integrálja. Darboux-összegek, az integrálhatóság  Darboux-féle kritériuma	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 236-243]
	
6)   A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma. Az integrál additivitása. Fubini-tétel	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 243-248]
	
7)   Green-képlet és alkalmazásai 	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 249-257]	
8)  Változócsere tétele többváltozós valós függvények esetén	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 249-257]
	
9)  Felületek az R^{3} térben. Sima felület területének meghatározása	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 259-265]	
10)  Elsőfajú felületi integrál. Írányított felületek. Peremes felület és annak iranyítása. Másodfajú felületi integrál	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 265-268]	
11)  Gauss-Osztrogradszkij-féle képlet. Stokes-féle képlet	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 269-275]	
12)  Paramétertől függő integrálok  (határátmenet az integráljel alatt; deriválás az integráljel alatt;  integrálás  az integráljel alatt)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 204-211]	
13)  Paramétertől függő improprius integrálok (határátmenet az integráljel alatt; deriválas az   integráljel alatt;  integrálás az integráljel alatt)	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 211-218]
	
14)  Az Euler-féle Beta  és  Gamma függvények. Fontosabb tulajdonságok	Előadás, bemutatás, szemléltetés	[1; 211-218]
	
Könyvészet

1) BALÁZS M.:  Matematikai analízis, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2000.
2) BALÁZS M., KOLUMBÁN J.:  Matematikai analízis, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1978.
3) BUCUR GH., CAMPU E., GĂINĂ S.:  Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral, III,
     Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
4) CHIRIŢĂ S.:  Probleme de matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică,  Bucureşti, 1989.
5)  DEMIDOVICI B.P.:  Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică, Editura  Tehnică, Bucureşti, 1956.
6)  FINTA Z.: Matematikai analízis II,  Kolozsvári  Egyetemi Kiadó, Kolozsvár, 2007.
7)  FLONDOR D., DONCIU N.:  Algebră şi analiză matematică – culegere de probleme,
     Editura Didactică şi Pedagogică,  Bucureşti, 1979.  
8)  MIHU C.- IAMBOR  I.P.:  Curbe plane, Editura  Tehnică, Bucureşti, 1989.
9)  MOCICA GH.:  Probleme de funcţii speciale, Editura Didactică şi Pedagogică,  Bucureşti, 1988.
	
8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1) Fontosabb utak és görbék	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[8] [könyvészet]
	
2)  Fontosabb utak és görbék	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[8] [könyvészet]

3)  Elsőfajú és másodfajú vonalintegrálok kiszámítása. Primitív függvény meghatározása

4)  Fontosabb integrálási módszerek	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés

Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 234-242] [könyvészet;oldalak]

[4; 201-223]

	
5)   Fontosabb integrálási módszerek	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 201-223]
	
6)   A Fubini tétel alkalmazása	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 243-258, 265-273]
	
7)   Green-képlet és alkalmazásai	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 243-258]
	
8)   Kettős és hármas integrálok kiszámítása a változócsere tételével	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 243-258, 265-273]
	
9)  Kettős és hármas integrálok kiszámítása a változócsere tételével	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 243-258, 265-273]	
10)  Elsőfajú és másodfajú felületi  integrálok kiszámítása	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 258-265]
	
11)  Alkalmazások a Gauss-Osztrogradszkij-féle képletre és a Stokes-féle képletre	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[4; 245-273]
	
12)   Paramétertől függő integrálok kiszámítása	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7; 46-54]	
13)  Paramétertől függő improprius integrálok kiszámítása	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[7; 46-54]	
14)  Az Euler-féle integrálok tulajdonságai	Megbeszélés, vita, kérdezve kifejtés	[9; 7-33]	

9. A tárgy tartalmának összhangba hozása az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásaival.
•	Az alapképzésben szereplő Matematikai analízis 3 tantárgy birtokában az egyetemi hallgató – a várható szakirányokat is figyelembe véve – alkalmas:  felelősségteljes állás betöltésére, önálló döntéshozatalra, tevékenysége minőségtudattal történő végzésére; továbbképzések segítségével új kompetenciák elsajátítására.

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Szummatív (összegező, lezáró) értékelés	Írásbeli vizsga	75%	
10.5 Szeminárium / Labor	Formatív (formáló, folyamatos) értékelés	Feladatlapok, házi dolgozatok megbeszélése	25%	
10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
 Az előadáson és szemináriumon való aktív részvétel.

Kitöltés dátuma			Előadás felelőse			Szeminárium felelőse
2012. szeptember 14.                         ...........................			...................................

Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató	
..........................						Dr. Szenkovits Ferenc, egyet. docens
..........................