fişa disciplinei
1. Date despre program
1.1 Instituţia de învăţământ superior	Universitatea „Babeş-Bolyai” Cluj-Napoca	
1.2 Facultatea	Facultatea de Matematică si Informatică	
1.3 Departamentul	Departamentul de Matematică	
1.4 Domeniul de studii	Matematică	
1.5 Ciclul de studii	Licenţă	
1.6 Programul de studiu / Calificarea	Matematică + Matematică Informatică	

2. Date despre disciplină
2.1 Denumirea disciplinei	Analiză matematică 3 (Calcul integral în R^n)	
2.2 Titularul activităţilor de curs	Conf. Univ. Dr. Adrian Diaconu	
2.3 Titularul activităţilor de seminar	Conf. Univ. Dr. Adrian Diaconu	
2.4 Anul de studiu	2	2.5 Semestrul	1	2.6. Tipul de evaluare	colocviu	2.7 Regimul disciplinei	obligatorie	

3. Timpul total estimat (ore pe semestru al activităţilor didactice)
3.1 Număr de ore pe săptămână	4	Din care: 3.2 curs	2	3.3 seminar/laborator	2	
3.4 Total ore din planul de învăţământ	56	Din care: 3.5 curs	28	3.6 seminar/laborator	28	
Distribuţia fondului de timp:	ore	
Studiul după manual, suport de curs, bibliografie şi notiţe	30	
Documentare suplimentară în bibliotecă, pe platformele electronice de specialitate şi pe teren	10	
Pregătire seminarii/laboratoare, teme, referate, portofolii şi eseuri	20	
Tutoriat	14	
Examinări 	20	
Alte activităţi: ..................		
3.7 Total ore studiu individual	94	
3.8 Total ore pe semestru	150	
3.9 Numărul de credite	6	

4. Precondiţii (acolo unde este cazul)
4.1 de curriculum	•	Analiză Matemaică 1 (Analiza pe R)
•	Analiză Matematică 2 (Calcul diferenţial în R^n)	
4.2 de competenţe	•	Gândire matematică, modelare, problematizare	
5. Condiţii (acolo unde este cazul)
5.1 De desfăşurare a cursului	•	Sală de curs cu infrastructură adecvată	
5.2  De desfăşurare a seminarului/laboratorului	•	Sală de seminar cu infrastructură adecvată	

6. Competenţele specifice acumulate
Competenţe profesionale	•	Abilitatea de a înţelege şi de a opera cu conceptele matematice.
•	Abilitatea de a înţelege şi a aborda rezolvarea unor probleme de natură matematică.
•	Abilitatea de a formula şi comunica oral şi în scris idei şi concepte matematice.	
Competenţe transversale	•	Abilitatea de crea competenţe în legatura cu noţiunea de funcţie cu variaţie mărginită şi de integrală Riemann-Stieltjes a unei funcţii în raport cu altă funcţie. Cunoaşterea unor criterii de integrabilitate.
•	 Abilitatea de crea competenţe în legatură cu noţiunea de integrală pe un arc de  curbă, modul de calcul a unei astfel de integrale, noţiunea de primitivă a unei funcţii vectoriale, existenţa acesteia şi legătura cu integrala pe un arc de curbă.
•	Abilitatea de a crea competenţe în legătură cu măsura Jordan a unei mulţimi din R^n, definiţia integrabilităţii Riemann a unei funcţii reale de n variabile reale şi modul de calcul a unei astfel de integrale în cazul a două şi trei variabile.
•	Abilitatea de a crea competenţe în legătură cu noţiunea de integrală pe o porţiune de suprafaţă şi calculul unei astfel de integrale.	

7. Obiectivele disciplinei (reieşind din grila competenţelor acumulate)
7.1 Obiectivul general al disciplinei	 Aprofundarea unor cunostiinte clasice de calcul integral pentru functii de mai multe variabile.	
7.2 Obiectivele specifice

	•	Prezentarea noţiunii de funcţie cu variaţie mărginită şi de integrală Riemann-Stieltjes a unei funcţii în raport cu altă funcţie. Cunoaşterea unor criterii de integrabilitate. Calculul unei astfel de integrale.
•	 Prezentarea noţiunii de integrală pe un arc de  curbă, modul de calcul a unei astfel de integrale, noţiunea de primitivă a unei funcţii vectoriale, existenţa acesteia şi legătura cu integrala pe un arc de curbă.
•	Prezentarea noţiunii de măsură Jordan a unei mulţimi din R^n, definiţia integrabilităţii Riemann a unei funcţii reale de n variabile reale şi modul de calcul a unei astfel de integrale în cazul a două şi trei variabile.
•	Prezentarea noţiunii de integrală pe o porţiune de suprafaţă şi calculul unei astfel de integrale.	

8. Conţinuturi
8.1 Curs	Metode de predare	Observaţii	
Cursul 1. Functii cu variatie marginita cu valori în Rn. Aditivitatea fata de interval a variatiei totale pentru astfel de functii. Functii vectoriale derivabile si de clasa C1. Relatii asupra acestor tipuri de functii vectoriale. Clase de functii cu variatie marginita cu stabilirea unor relatii de incluziune. Expresia integrala a unui drum de clasa C1 (enuntul si demonstratia teoremei de baza).	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 2. Functii reale cu variatie marginita. Clasa 
       functiilor monotone. Teorema lui Jordan.      
       Integrabilitatea si integrala Riemann-Stieltjes a   
       unei functii în raport cu o alta. Sume integrale cu  
       unele proprietati ale lor. Definitia integrabilitatii si 
       a integralei Riemann-Stieltjes si unele proprietati 
       importante.
	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 3. Sumele Darboux-Stieltjes. Proprietati. 
      Caracterizarea Integrabilitatii Riemann-Stieltjes cu 
      ajutorul sumelor Darboux-Stieltjes (teorema lui 
      Darboux). Criterii de integrabilitate Riemann-
      Stieltjes. Reducerea integralei Riemann-Stieltjes la 
      o integrala Riemann in anumite situatii.
	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 4. Comportarea variatiei totale a unei functii, precum si a integrabilitatii si integralei Riemann-Stieltjes in raport cu operatie de compunere a functiilor. Arce de curba parametrizabile. Drum reprezentetiv a unui arc de curba. Drumuri echivalente si antiechivalente. Teorema potivit careia oricare doua drumuri reprezentative ale unui arc de curba sunt fie echivalente fie antiechivalente.	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 5.  Definirea celor doua tipuri de integrale pe arce de curba prametrizabile, respectiv pe arce parametrizabile si orientate, din functii reale de m variabile reale ca integrale Riemann-Stietjes. Formule de calcul, în cazuri particulare pentru diferite tipuri de integrale, prin reducere la integrale Riemann.	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 6. Forme diferentiale liniare si integrarea lor pe drumuri. Formula de calcul pentru integrala unei forme diferentiale liniare într-un caz particular, prin reducerea la o integrala Riemann. Functii vectoriale definite pe domenii din Rn care admit primitive. Calculul integralei pe un drum a unei forme diferentiale liniare în cazul în care functia vectoriala generatoare admite primitive (o generalizare a formulei lui Leibnitz-Newton). 	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 7. Expresia primitivei unei functii vectoriale. Conditii necesare si suficiente de existenta a primitivei unei functii vectoriale. Independenta de drum a integralei formei diferentiale cand functia vectoriala generatoare admite primitive. 	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 8. Sume integrale Riemann si definitia integrabilitatii unei functii de 2 variabile definite pe un interval bidimensional. Teorema lui Fubini de transformare a integralei duble in integrale iterate in cazul functiilor de 2 variabile definite pe un interval bidimensional. Aditivitatea fata de interval a integralei in cazul functiilor reale de 2 variabile reale. Extinderea definitiei integrabilitatii  si integralei la functii reale de m variabile reale definite pe intervale din Rm. Trecerea in acest caz la integrale iterate. Cazul integralei triple. Diferite formule de calcul.	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul  9.  Definitia integrabilitatii si integralei a unei functii definite pe multimi marginite di Rm. Calculul integralei duble in cazul in care domeniul de integrare din R2 este o multime simpla in raport cu una din variabile. Generalizarea pentru m variabile. Cazul integralei triple pe o multime simpla in raport cu una din variabile.	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 10. Sumele lui Darboux ale unei functii marginite definite pe un interval din Rm. Caracterizarea integrabilitatii cu ajutorul sumelor lui Darboux in acest caz. Exprimarea integrabilitatii Riemann prin egalitatea dintre integrala inferioara si cea superioara. Multimi masurabile Jordan. Definitie cu ajutorul functiei caracteristice si conditii echivalente. Multimi elementare si rolul lor in definirea masurabilitatii Jordan a unei multimi.	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 11. Multimi de masura Jordan nula. Operatii cu multimi masurabile Jordan. Aditivitatea fata de multime a calitatii de multime masurabila Jordan si a masurii Jordan.	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 12. Exprimari ale integrabilitatii Riemann pe o multime masurabila Jordan cu ajutorul sumelor Riemann si a sumelor lui Darboux. Integrabilitatea functiilor continue si consecinte  Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann. Aditivitatea fata de domeniul de integrare a integralei Riemann.	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 13. Multimi care admit o parametrizare de suprafata. Integrale de primul tip pe o multime cu parametrizare de suprafata.  Formula de calcul in cazul unel functii continue in raport cu o parametrizare de clasa C1. Formule de calcul in cazuri particulare. 	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Cursul 14. Forme diferentiale de ordinul 2 si integrarea lor pe pânze parametrizate. Varietati orientate de ordinul 2 în R3. Integrala unei forme diferentiale de ordinul 2 în R3 pe o varietate orientate din R3 de acelasi ordin. Portiuni simple si portiuni orientate de suprafata si pânze parametrice reprezentative ale acestora. Integrale pe aceste suporturi. Teoremele lui Green, Stokes si Gauss-Ostrogradski pentru legaturile dintre diferitele tipuri de integrale.
	Expunere, conversaţie, demonstraţie didactică, problematizare.		
Bibliografie
[1] BALAZS M.: Analiza matematica, III si IV, Universitate, Cluj-Napoca, 1983,1984.
[2] BALAZS M., KOLUMBAN I.: Matematikai analizis, Dacia Konivkyado, Kolozsvar-Napoca, 1978.
[3] BOBOC N.: Analiza matematica, II, Universitate, Bucuresti, 1993.
[4] COBZAS ST.: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa universitara clujeana, Cluj-Napoca, 1997.
[5] COLOJOARA I.: Analiza matematica, Ed. did. si ped., Bucuresti, 1983.
[6] SIKORSKI R.: Advanced Calculus, PWN-Polish Scientific Publishiers, Warsawa, 1969.
[7] WALTER W.: ANALYSIS I, Zweite Aufl. Berlin, Springer-Verlag,1990.
[8] ***: Analiza matematica, II, Ed. did. si pedag., Bucuresti, 1980.
[9] HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis.Teil 2. 9. Auflage. Stuttgart: B. G. Teubner, 1995.

[10]  G. M. FIHTENHOLZ, Calculul diferenţial şi integral, vol II (1964)-III (1965), Editura Tehnică, Bucureşti (traducere din limba rusă).
[11]  M. NICOLESCU, Analiză matematică, (3 volume), I(1957), II(1958), III(1960), Edituara tehnică, Bucureşti.
[12] N. BOBOC, Analiză matematică, Univ. Bucureşti, 1988.
[13] M. MEGAN, Analiză matematică,vol.1-2. Mirton, Timişoara, 1999.
[14] W. RUDIN, Principles of mathematical analysis, Mc Graw New York 1967.
	
8.2 Seminar/laborator	Metode de predare	Observaţii	
Seminarul 1. Exemple de drumuri rectificabile si nerectificabile în R. Efectuarea demonstratiilor unor rezultate enuntate la curs.	Conversaţie şi problematizare.		
Seminarul 2. Exercitii privind calculul varatiei totale ale unor functii cu valori în R2 si R3 (a lungimii unor drumuri în R2 si R3 când acestea sunt date printr-o parametrizare). Completari la curs prin efectuarea unor demonstratii lasate pentru la seminar.	Conversaţie şi problematizare.		
Seminarul 3. Obtinerea unor formule de calcul în cazul în care drumul din R2 are ca imagine graficul unei functii. Cazul în care drumul are ca imagine un arc de curba care are ecuatia în coordonate polare. 	Conversaţie şi problematizare.	Din [15] exercitiile 3.8- 3.11 si 3.18-3.36 (pag. 76 - 77).	
Seminarul 4. Exemple de cazuri de integrabilitate Riemann-Stieltjes si cazuri de neintegrabilitate. Calculul unor integrale Riemann-Stieltjes.	Conversaţie şi problematizare.		
Seminarul 5. Exercitii privind calculul unor integrale de diferite tipuri pe drumuri. Formule de calcul în cazurile particulare semnalate si în seminarul anterioar. 	Conversaţie şi problematizare.	Din [15] exercitiile 3.37 – 3.87 (pag. 78 – 81).	
Seminarul 6. Exercitii privind calulul integralelor unor forme diferentiale liniare. Exercitii privind verificara faptului ca anumite functii vectoriale admit primitive, determinarea acestor primitive si calculul unor integrale pe drumuri din forme diferentiale liniare cu ajutorul functiilor generatoare a formelor diferentiale liniare de integrat.	Conversaţie şi problematizare.	Din [15] exercitiile 3.90-3.115 (pag.81-82).	
Seminarul 7.  Continuarea exemplificarilor de tipul    
      celor din seminarul antetrior. 	Conversaţie şi problematizare.		
Seminarul  8. Exercitii privind calculul unor integrale duble pe intervalle bidimensionale.
Seminarul 9. Calculul unor integrale din functii reale de 2 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor functii reale de doua variabile reale.
Seminarul 10. Calculul unor integrale din functii reale de 3 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor functii reale de trei variabile reale. 
Seminarul 11. Schimbarea de variabila în integrala dubla. Schimbari de variabila remarcabile. 
Seminarul 12. Schimbarea de variabila în integrala tripla. Schimbari de variabila remarcabile. 
Seminarul 13. Exercitii privind calculul integralelor de primul tip a unei functii definite pe o pânza parametrizata clasica. 
 Seminarul 14. Exercitii privind calculul integralelor de al doilea tip a unei functii definite pe o pânza parametrizata clasica în raport cu aria determinata de aceasta. Exercitii privind teoremele lui Green, Stokes si Gauss-Ostrogradski pentru legaturile dintre diferitele tipuri de integrale. 	Conversaţie şi problematizare.

Conversaţie şi problematizare.

Conversaţie şi problematizare.

Conversaţie şi problematizare.

Conversaţie şi problematizare.

Conversaţie şi problematizare.

Conversaţie şi problematizare.	

Din [15] exercitiile 4.79-4.87 pag 95-96 si exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99. 

Din [15] exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99. 

Din [15] exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99.

 Din [15] exercitiile 5.36-5.57. pag.109-111. 

Din [15] exercitiile 5.9-5.35. pag.108-109. 

Bibliografie.

[15] L. DRAGUSIN, C. DRAGUSIN, C. RADU : Calcul integral & Ecuaţii duferenţiale, Exerciţii şi probleme, Editura DU STYLE, 1996.
 	
[16] BUCUR G., CAMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, III, Editura tehnica, Bucuresti, 1967.

[17] DEMIDOVICI B.P.: Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica, Ed. tehnica, Bucuresti, 1956.
[18] N. DONCIU, D. FLONDOR, GH. SIMIONESCU, Algebră şi analiză matematică (2 volume), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.
[19] G. POLYA, G. SYEGÖ, Aufgaben und Lehrsätzeaus der Analysis (2 volume), 1932.
[20] S. RĂDULESCU, M. RĂDULESCU, Teoreme şi probleme de analiză matematică.	

9. Coroborarea conţinuturilor disciplinei cu aşteptările reprezentanţilor comunităţii epistemice, asociaţiilor profesionale şi angajatori reprezentativi din domeniul aferent programului
•	 Tematica acestui curs (Analiză matematică 3 , Calcul integral în R^n) este prevăzută în programul de studii al tuturor universităţilor importante din România şi din lume. Ea constitue o parte indispensabilă a pregătirii viitorilor profesori de matematică, a viitorilor cercetători în domeniul matematicii  cât şi al celor care activeayă în alte domenii care aplică nemijlocit metodele matematicii. 

10. Evaluare
Tip activitate	10.1 Criterii de evaluare	10.2 metode de evaluare	10.3 Pondere din nota finală	
10.4 Curs	- cunoaşterea noţiunilor şi a rezultatelor de bază;	Lucrare scrisă la sfârşitul semestrului.	75 %	
	- posibilitatea de a efectua  demonstraţiia unor rezulta-te teoretice;			
10.5 Seminar/laborator	- aplicarea rezultatelor teo-retice de bază de la curs la rezolvarea unor probleme concrete. 	Participarea activă la semi-narii şi evaluarea pe parcurs.	25 %	
				
10.6 Standard minim de performanţă	
•	Obţinerea mediei 5 (într-o scară de la 1 la 10)  în urma lucrării scrise şi a examinării orale precum şi a activităţii la seminarii din timpul anului.	

Data completării		Semnătura titularului de curs		Semnătura titularului de seminar
..........................	       Conf. Univ. Dr. Adrian Diaconu          Conf. Univ. Dr. Adrian Diaconu 

Data avizării în departament			           Semnătura directorului de departament	
...........................................					…............................