A tantárgy adatlapja
•	A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeș-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3  Intézet	Magyar Matematika és Informatika	
1.4 Szakterület	Matematika	
1.5 Képzési szint	Alap	
1.6 Szak / Képesítés	Matematika, Matematika-informatika és Informatika	

•	A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Optimalizációs technikák			
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Prof. Dr. Kassay Gábor			
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	Nagy Erika			
2.4 Tanulmányi év	3	2.5 Félév	6	2.6 Értékelés módja	vizsga	2.7 Tantárgy típusa	Kötelező (informatikusoknak opcionális) –szak	

•	Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	3	Melyből: 3.2 Előadás	2	3.3 Szeminárium/Labor	1	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	36	Melyből: 3.5 Előadás 	24	3.6 Szeminárium/Labor	12	
A tanulmányi idő elosztása:	óra			
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	30			
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	5			
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	20			
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	5			
Vizsgák	6			
Más tevékenységek: ..................				
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	66			
3.8 A félév össz-óraszáma	102 			
3.9 Kreditszám	6 (M, MI); 5 (I) 			

•	Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Nincsen	
4.2 Kompetenciabeli	•	Matematikai analízis alapismeretei	

•	Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Táblával és videoprojektorral felszerelt előadó	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	Táblával és videoprojektorral felszerelt szemináriumi terem	

•	Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	•	Konvex optimalizálási feladatok, valamint lineáris optimalizálási feladatok megoldási készségének elsajátítása	
Transzverzális kompetenciák 	•	Gyakorlati feladatok (például a közgazdaságtan területéről származó) modellezési készsége	

•	A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	Optimalizálási feladatok megismerése és egyes problémák megoldási módszerének elsajátítása.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései

	•	Szimplex és dual szimplex módszer elsajátítása. Speciális konvex optimalizálási feladatok megoldása. 	

•	A tantárgy tartalma
8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
•	Optimalizálsi feladat: alapfogalmak. Modellezés. 	Előadás	[1], [5], [9]	
•	A konvex analízis elemei n dimenziós euklideszi terekben: komvex halmazok, poliéderek.	Előadás	[1], [5], [9], [10]	
•	A konvex analízis elemei n dimenziós euklideszi terekben: konvex függvények és tulajdonságaik, konvex függvények szélsőérték pontjainak tulajdonságai.	Előadás	[1], [5], [9]	
•	Alternatíva tételek.	Előadás	[1], [5], [9]	
•	A lineáris optimalizálási feladat megfogalmazása; gazdasági értelemzés; geometriai értelmezés; egy lineáris optimializálási feladat megoldásainak létezései/nem létezései tulajdonságai.	Előadás	[1], [5], [9]	
•	A lineáris optimalizálási feladat grafikus megoldási módszere. A szimplex módszer:  egy megengedett megoldás meghatározásának lépése.	Előadás	[1], [5], [9]	
•	A szimplex módszer: egy optimális megoldás meghatározásának lépése. A szimplex módszer módosítása olyan lineáris optimalizálási feladatokra, melyek semi-canonica alapkban vannak megadva (a feladat megkötései között lehetnek egyenlőségek és olyan változók melyekre nincs megadva nemnegativitási feltétel).	Előadás	[1], [5], [9]	
•	Dualitás a lineáris optimalizálásban: duális lineáris optimalizálási feladat; gyenge dualitás tétele; erős dualitás tétele 	Előadás	[1], [5], [9]	
•	A duális szimplex algoritmusa.	Előadás	[1], [5], [9]	
•	A játékelmélet elemei: mátrix játékok; egy mátrix játék kifizetési mátrixa; egy mátrix játék nyeregpontja; a min-max és max-min strtégiák;  tiszta stratégiák mátrix játék esetén; stratékiák kifejezése tiszta stratégiák segítségével.	Előadás	[1], [5], [9]	
•	Mátrix játékok megoldása lineáris optimizálási feladatokra való visszavezetés segítségével.	Előadás	[1], [5], [9]	
•	Konvex függvények szésőértékeinek szükséges és elégséges feltételei. 	Előadás	[1], [5], [9]	
			
8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
•	Olyan valós feladatok bemutatása, melyek matematikai modellje optimalizációs feladat.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Poliéderek tulajdonságávla kapcsolatos feladatok megoldása.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Adott függvény konvexitási tulajdonságainak meghatározássával kapcsolatok feladatok megoldása.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Konvex függvények tulajdonságainak meghatározásával kapcsolatok feladatok megoldása.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Olyan valós problémák bemutatása, melyek modellje egy sajátos lineáris optimalizálási feladat (tervezési feladat, szállítási feladat). Prezentarea unor probleme concrete al caror model este o problema de optimizare liniara particulara (problema dietei, troblema de transport dupa criteriu cost)	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Adott lineáris optimalizálási feladat megoldása grafikus módszer segítségével.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Kanonikus alakban megadott lineáris optimalizálási feladat megoldása a szimplex algoritmus segítségével.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Szemi-kanonikus alakban megadott lineáris optimalizálási feladat megoldása a szimplex algoritmus segítségével.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Kanonikus alakban megadott lineáris optimalizálási feladat megoldása a duális szimplex algoritmus segítségével.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Valós példák a mátrix játék esetén; alsó és felső értékek meghatározása.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Adott mátrix játék megoldása.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
•	Konvex függvények minimum pontjainak létezésével kapcsolatos feladatok megoldása.	Feladatok megoldása	[4], [6]	
			
8.3 Projekt	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
•	Egy valós helyzet leírása, mely egy optimalizálási feladatra vezethető vissza; a matematikai modell megszerkesztése; egy megoldási módszer bemutatása.	Feladatok megoldása		
Könyvészet	
•	1. BLAGA, L., LUPSA, L.: Elemente de programare liniara. Risoprint, Cluj-Napoca, 2003.
•	2. BRECKNER, B.E.: De la poliedre la jocuri matriceale. O introducere in optimizarea liniara. EFES,  Cluj-Napoca, 2007.
•	3. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de analiza convexa in R^n. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2003.
•	4. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de cercetare operationala, EFES, Cluj-Napoca, 2006.
•	5. BRECKNER, W.W.: Cercetare operationala. Cluj-Napoca, Universitatea Babes-Bolyai, Fac. de Matematica, 1981.
•	6. BRECKNER, W.W., DUCA, D.: Culegere de probleme de cercetare operationala. Cluj-Napoca, Universitatea, Fac. de Matematica, 1983.
•	7. DOMSCHKE, W., DREXL, A.: Einfuhrung in Operations Research. 3. Aufl. Berlin, Springer-Verlag, 1995.
•	8. DOMSCHKE, W., DREXL, A., SCHILDT, B., SCHOLL, A., VOSS, S.: Uebungsbuch Operations Research. 2. Aufl. Berlin, Springer-Verlag, 1997.
•	9. LUPSA, L., BLAGA, L.: Cercetare operationala. Tehnici de optimizare I. Cluj-Napoca, Ed. Mega, 2010.
•	10. PREKOPA, A.: Lineáris programozás. Bolyai Társulat, Budapest, 1968.			

•	A tantárgy tartalmának összhangba hozása az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásaival.
•	 A tantárgy tartalma megegyezik az egyetemi oktatásban a fontosabb egyetemeken oktatott optimalizációs technikák tárgy hagyományos tartalmával.	

•	Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Alapfogalmak és alaptételek ismerete	Írásbeli és szóbeli vizsga	70 %	
10.5 Szeminárium / Projekt	Feladatmegoldások helyessége, aktivitás	Szemináriumi tevékenység	20 %	
	Projekt elkészítése		10%	
10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	Konvex és lineáris optimalizálási feladatok megoldása	

Kitöltés dátuma
2012. szept. 8.
			Előadás felelőse			Szeminárium felelőse
			...............................			...................................

Az intézeti jóváhagyás dátuma		Intézetigazgató,
2012. szept. 28.				Dr. Szenkovits Ferenc, egyet. docens
.........................