Lehrveranstaltungsbeschreibung
1. Angaben zum Programm
1.1 Hochschuleinrichtung	Babes-Bolyai Universität	
1.2 Fakultät 	Mathematik und Informatik	
1.3 Department	Mathematik	
1.4 Fachgebiet	Computermathematik	
1.5 Studienform	Bachelor	
1.6 Studiengang / Qualifikation	Mathematik	

2. Angaben zum Studienfach
2.1 LV-Bezeichnung	Optimierungsverfahren	
2.2 Lehrverantwortlicher – Vorlesung	Dr. Brigitte E. Breckner	
2.3 Lehrverantwortlicher – Seminar	Dr. Brigitte E. Breckner	
2.4 Studienjahr	3	2.5 Semester	6	2.6. Prüfungsform	P	2.7 Art der LV	Pflichtfach	

3. Geschätzter Workload in Stunden
3.1 SWS	3	3.2 von denen: Vorlesung	2	3.3 Seminar/Übung	1	
3.4 Gesamte Stundenanzahl im Lehrplan	36	3.5 von denen:  Vorlesung	24	3.6 Seminar/Übung	12	
Verteilung der Studienzeit:	Std.	
Studium nach Handbüchern, Kursbuch, Bibliographie und Mitschriften	30	
Zusätzliche Vorbereitung in der Bibliothek, auf elektronischen Fachplattformen und durch Feldforschung	30	
Vorbereitung von Seminaren/Übungen, Präsentationen, Referaten, Portfolios und Essays	30	
Tutorien	16	
Prüfungen	8	
Andere Tätigkeiten: ..................		
3.7 Gesamtstundenanzahl Selbststudium	114	
3.8 Gesamtstundenanzahl / Semester	150	
3.9 Leistungspunkte	6	

4. Voraussetzungen (falls zutreffend)
4.1 curricular	•	Lineare Algebra, Analysis im R^n	
4.2 kompetenzbezogen	•		

5. Bedingungen (falls zutreffend)
5.1 zur Durchführung der Vorlesung	•		
5.2  zur Durchführung des Seminars / der Übung	•		

6. Spezifische erworbene Kompetenzen
Berufliche Kompetenzen	•	das Erlangen der Fertigkeit, die Mathematik zum Lösen konkreter Probleme einzusetzen,
•	das Aneignen der algorithmischen Vorgehensweise.  
	
Transversale Kompetenzen	•	Die Optimierungsverfahren sind ein unentbehrliches Tool zur Lösung zahlreicher Probleme aus  den Bereichen der Wirstschaft, des Finanzwesens, des Militärwesens, der Soziologie,  der Psychologie usw.

7. Ziele (entsprechend der erworbenen Kompetenzen)
7.1 Allgemeine Ziele der Lehrveranstaltung	•	Die Vorlesung bietet eine Einführung in das Gebiet der Optimierungsverfahren mit Schwerpunkt im Studium der linearen Optimierungsaufgaben.	
7.2 Spezifische  Ziele der Lehrveranstaltung

	•	das Erlangen der Fertigkeit, mathematische Modelle für konkrete Probleme zu bilden,
•	das Erlernen von Algorithmen zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben. 	

8. Inhalt
8.1 Vorlesung	Lehr- und Lernmethode	Anmerkungen	
1.	Einführung in das Gebiet. (Grundlegende Begriffe im Operations Research; die Etappen eines Planungsprozesses im Operations Research; mathematische Modelle:  Beispiele für konkrete Probleme aus der Praxis, die zu Optimierungsaufgaben führen;  die wichtigsten Kapitel des Operations Research).	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
2.	Lineare Optimierung im Rn (Definition der Optimierungsaufgaben im Rn; Hyperebenen, Halbräume und Polyeder im Rn; Definition der linearen Optimierungsaufgaben im Rn; die graphische Methode zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben im R2).	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
3.	Konvexe Analysis im n-dimensionalen euklidischen Raum (konvexe Mengen; konvexe Hülle; Kegel; Rezessionskegel einer Menge; der Darstellungssatz für Polyeder und seine Folgerungen für das Studium linearer Optimierungsaufgaben: die Charakterisierung der Lösbarkeit/Unlösbarkeit  linearer Optimierungsaufgaben).	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
4.	Konvexe Analysis im n-dimensionalen euklidischen Raum (Extremalpunkte konvexer Mengen und deren Charakterisierung; Charakterisierung der Extremalpunkte der Polyeder;  Charakterisierung der spitzen Polyeder; Seiten der Polyeder, Beschreibung der Lösungsmenge einer linearen Optimierungsaufgabe;  Beweis der Existenz einer Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe,  die gleichzeitig auch  ein Extremalpunkt des Zulässigkeitsbereiches der betreffenden Aufgabe ist) .  	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
5.	Lineare Optimierung im Rn (lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme: die Alternativsätze von Farkas, Motzkin, Gordan und Gale; Definition der linearen Optimierungsaufgabe in kanonischer Form; Charakterisierung der Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe in kanonischer Form).	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
6.	Lineare Optimierung im Rn (die theoretische Grundlage für den Simplex-Algorithmus zur Lösung  linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form: die Optimalitätsbeding, die Unbeschränktsheitsbedingung, die Begründung des Iterationsschrittes im Simplex- Algorithmus; Aufzählung der einzelnen Iterationsschritte des Simplex-Algorithmus).	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
7.	Lineare Optimierung im Rn (die Endlichkeit des Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form; Methoden zur Gewährleistung der Endlichkeit des Simplex-Algorithmus; ein kurzer geschichtlicher Überblick zum Simplex-Algorithmus; die Dualität der linearen Optimierungsaufgaben: das Bestimmen des Dualproblems einer linearen Optimierungsaufgabe; das Dualproblem einer linearen Optimierungsaufgabe in kanonischer Form) .	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
8.	Lineare Optimierung im  Rn (die Dualität der linearen Optimierungsaufgaben: der schwache und  der starke  Dualitätssatz; das Lösen des Dualproblems einer linearen Optimierungsaufgabe in kanonischer Form).  	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
9.	Anwendungen der linearen Optimierung in der Spieltheorie (einleitende Begriffe; Matrixspiele: Definition, das Reduzierungsprinzip, die Klassifikation der Matrixspiele)	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
10.	 Anwendungen der linearen Optimierung in der Spieltheorie (Strategien bei Matrixspielen: Maximin- und Minimaxstrategien, der Zusammenhang zwischen diesen Strategien und den Lösungen bestimmter linearer Optimierungsaufgaben, die Definition der Lösung eines Matrixspieles)	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
11.	Anwendungen der linearen Optimierung in der Spieltheorie (das Lösen der Matrixspiele mit Sattelpunkt; das Lösen der Matrixspiele ohne Sattelpunkt durch Zurückführung auf lineare Optimierungsaufgaben: der Fall, wenn der Wert des Spieles  positiv ist)	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
12.	 Anwendungen der linearen Optimierung in der Spieltheorie (das Lösen der Matrixspiele ohne Sattelpunkt durch Zurückführung auf lineare Optimierungsaufgaben: der Fall, wenn der Wert des Spieles  nicht positiv ist)	Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung		
Literatur
1. BORGWARDT, K. H.: Optimierung, Operations Research, Spieltheorie. Birkhaeuser, Basel, 2001.
2. BRECKNER, B.E.: De la poliedre la jocuri matriceale. O introducere in optimizarea liniara. EFES, Cluj-Napoca, 2007.
3. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de analiza convexa in Rn. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2003.
4.  BRECKNER, B.E.,  POPOVICI, N.: Probleme de cercetare operationala. EFES, Cluj-Napoca, 2006.
5. BRECKNER, W.W.: Cercetare operationala. Universitatea "Babes-Bolyai", Fac. de Matematica, Cluj-Napoca, 1981.
6. BRECKNER, W.W., DUCA, D.: Culegere de probleme de cercetare operationala. Universitatea "Babes-Bolyai, Fac. de Matematica, Cluj-Napoca, 1983.
7. DOMSCHKE, W., DREXL, A.: Einfuehrung in Operations Research.  Springer-Verlag, Berlin, 2005..
8. DOMSCHKE, W., DREXL, A., KLEIN, R., SCHOLL, A., VOSS, S.: Uebungen und Fallbeispiele zum Operations Research. Springer-Verlag, Berlin, 2005.
	
8.2 Seminar / Übung	Lehr- und Lernmethode	Anmerkungen	
1. Bestimmen mathematischer Modelle	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
2. Aufgaben zu Polydern bzw. zur graphischen Methode zur Lösung linear Optimierungsaufgaben im R2	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
3. Lösen von Aufgaben zu konvexen Mengen und Polyedern	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
4. Lösen von Aufgaben zu konvexen Mengen und Polyedern	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
5. Lösen von Aufgaben zu den Eigenschaften der Lösungsmenge einer linearen Optimierungsaufgabe und zu den Alternativsätzen von Farkas, Motzkin, Gordan und Gale.	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
6. Der Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form (Simplex-Tabellen, das Lösen von Aufgaben mit Hilfe dieses Verfahrens).	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
7. Der Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form (das Lösen von Aufgaben mit Hilfe dieses Verfahrens).	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
8. Der Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form und die Dualität der linearen Optimierungsaufgaben (das Lösen der Dualen einer linearen Optimierungsaufgaben in kanonischer Form mit Hilfe der Eintragungen aus der letzten Simplex-Tabelle).	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
9. Matrixspiele (das Reduzierungsprinzip, die Klassifikation der Matrixspiele)	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
10. Matrixspiele ((Strategien bei Matrixspielen)	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
11. Das Lösen der Matrixspiele durch Zurückführung auf lineare Optimierungsaufgaben	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
12. Das Lösen der Matrixspiele durch Zurückführung auf lineare Optimierungsaufgaben	Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen		
Literatur	

1. BORGWARDT, K. H.: Optimierung, Operations Research, Spieltheorie. Birkhaeuser, Basel, 2001.
2. BRECKNER, B.E.: De la poliedre la jocuri matriceale. O introducere in optimizarea liniara. EFES, Cluj-Napoca, 2007.
3. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de analiza convexa in Rn. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2003.
4.  BRECKNER, B.E.,  POPOVICI, N.: Probleme de cercetare operationala. EFES, Cluj-Napoca, 2006.
5. BRECKNER, W.W.: Cercetare operationala. Universitatea "Babes-Bolyai", Fac. de Matematica, Cluj-Napoca, 1981.
6. BRECKNER, W.W., DUCA, D.: Culegere de probleme de cercetare operationala. Universitatea "Babes-Bolyai, Fac. de Matematica, Cluj-Napoca, 1983.
7. DOMSCHKE, W., DREXL, A.: Einfuehrung in Operations Research.  Springer-Verlag, Berlin, 2005..
8. DOMSCHKE, W., DREXL, A., KLEIN, R., SCHOLL, A., VOSS, S.: Uebungen und Fallbeispiele zum Operations Research. Springer-Verlag, Berlin, 2005.	

9. Verbindung der Inhalte mit den Erwartungen der Wissensgemeinschaft, der Berufsverbände und der für den Fachbereich repräsentativen Arbeitgeber
•	Optimierungsverfahren bilden ein unentbehrliches Werkzeug für das Operations Research, dieses Teilgebiet der angewandten Mathematik, das als Wissenschaft der Planungsmethoden und Entscheidungshilfen (im wirtschaftlichen, technischen, militäarischen usw. Bereich) bezeichnet werden kann. 	

10. Prüfungsform
Veranstaltungsart	10.1 Evaluationskriterien	10.2 Evaluationsmethoden	10.3 Anteil an der Gesamtnote	
10.4 Vorlesung 	Die Endprüfung besteht aus einer schriftlichen Klausur. Es wird vor allem die Fertigkeit geprüft, die in den  Vorlesungen und  Übungen erworbenen Kenntnisse  für das Lösen von Aufgaben (sowohl theoretischer, als auch rechnerischer Natur)  einzusetzen. Ausserdem muss jeder Student Ende des Semesters  ein Projekt abgeben. Das Thema des Projektes beinhaltet die Beschreibung  einer konkreten Optimierungsaufgabe (und ihres mathematischen Modells), die man aufgrund einer Recherche in der Wirtschaft (z.B. bei einer Firma) ausfindig gemacht hat. 	Prüfung		
				
10.5 Seminar / Übung				
			Die Gesamtnote für diese Disziplin wird nach der Formel G := (4x+ y)/5 berechnet, wobei x die in der Endprüfung und y die für das Projekt erzielten Noten bezeichnen.	
10.6 Minimale Leistungsstandards	
•	 Note 5 auf einer Skala von 1 bis 10.

Ausgefüllt am:			Vorlesungsverantwortlicher		Seminarverantwortlicher 
27.09.2012		                         Dr. Brigitte E. Breckner	             Dr. Brigitte E. Breckner

Genehmigt im Department am:				Departmentleiter	
..........................				            Univ. Prof. Dr. Agratini Octavian