fişa disciplinei
1. Date despre program
1.1 Instituţia de învăţământ superior	Universitatea Babes-Bolyai Cluj-Napoca	
1.2 Facultatea	Facultatea de Matematica si Informatica	
1.3 Departamentul	Departamentul de matematica	
1.4 Domeniul de studii	Matematica	
1.5 Ciclul de studii	Licenta	
1.6 Programul de studiu / Calificarea	Matematica + Matematica informatica	

2. Date despre disciplină
2.1 Denumirea disciplinei	Functii convexe	
2.2 Titularul activităţilor de curs	Trif Tiberiu-Vasile	
2.3 Titularul activităţilor de seminar	Trif Tiberiu-Vasile	
2.4 Anul de studiu	2	2.5 Semestrul	4	2.6. Tipul de evaluare	colocviu	2.7 Regimul disciplinei	optionala	

3. Timpul total estimat (ore pe semestru al activităţilor didactice)
3.1 Număr de ore pe săptămână	3	Din care: 3.2 curs	2	3.3 seminar/laborator	1	
3.4 Total ore din planul de învăţământ	42	Din care: 3.5 curs	28	3.6 seminar/laborator	14	
Distribuţia fondului de timp:	ore	
Studiul după manual, suport de curs, bibliografie şi notiţe	30	
Documentare suplimentară în bibliotecă, pe platformele electronice de specialitate şi pe teren	10	
Pregătire seminarii/laboratoare, teme, referate, portofolii şi eseuri	20	
Tutoriat	8	
Examinări 	15	
Alte activităţi: ..................		
3.7 Total ore studiu individual	83	
3.8 Total ore pe semestru	125	
3.9 Numărul de credite	5	

4. Precondiţii (acolo unde este cazul)
4.1 de curriculum	•	Analiza matematica 1 (Analiza pe R)
•	Analiza matematica 2 (Calcul diferential in R^n)	
4.2 de competenţe	•	Gandire matematica, modelare, problematizare	

5. Condiţii (acolo unde este cazul)
5.1 De desfăşurare a cursului	•	Sala de curs cu infrastructura adecvata	
5.2  De desfăşurare a seminarului/laboratorului	•	Sala de seminar cu infrastructura adecvata	

6. Competenţele specifice acumulate
Competenţe
profesionale	•	Abilitatea de a intelege si de a opera cu concepte matematice
•	Abilitatea de a intelege si a aborda rezolvarea unor probleme de natura matematica
•	Abilitatea de a formula si a comunica in oral si in scris idei si concepte matematice	
Competenţe transversale	•	Abilitatea de a demonstra unele inegalitati concrete cu metode specifice functiilor convexe
•	Abilitatea de a rezolva probleme concrete de optimizare convexa
•	Realizarea unei introduceri in Analiza convexa, disciplina care se preda studentilor de la master	

7. Obiectivele disciplinei (reieşind din grila competenţelor acumulate)
7.1 Obiectivul general al disciplinei	•	Prezentarea unor notiuni si rezultate de baza referitoare la functiile convexe	
7.2 Obiectivele specifice
	•	Prezentarea diverselor teoreme de caracterizare a functiilor convexe, pe baza carora studentul va fi capabil sa demonstreze ca o functie data este convexa sau nu
•	Prezentarea proprietatilor specifice fundamentale ale functiilor convexe
•	Aplicarea inegalitatilor specifice functiilor convexe la demonstrarea unor inegalitati concrete
•	Rezolvarea unor probleme concrete de optimizare convexa	

8. Conţinuturi
8.1 Curs	Metode de predare	Observaţii	
1. Funcţii convexe de o variabilă reală: definiţia modernă a convexităţii, caracterizări ale funcţiilor reale de o variabilă reală şi proprietăţi de regularitate ale acestora (derivabilitate laterală, continuitate, lipschitzianeitate).	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 93 – 102
[9], pp. 3 – 7	
2. Funcţii convexe de o variabilă reală: caracterizarea acestora folosind existenţa dreptei suport, inegalitatea Hermite-Hadamard, caracterizări ale convexităţii folosind derivatele laterale de ordinul întâi şi derivata a doua, legătura cu funcţiile armonice.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 102 – 103
       pp. 107 – 108
       pp. 136 – 139
[9], pp. 11 – 12 	
3. Medii şi inegalităţi între ele: medii cvasiaritmetice ponderate şi compararea acestora, mediile Hölder ponderate şi compararea lor, inegalităţi de tip Rado-Popoviciu.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 115 – 122	
4. Extinderi ale noţiunii de funcţie convexă: funcţii Jensen-convexe, funcţii logaritmic-convexe şi funcţii multiplicativ-convexe.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 124 – 132
[9], pp. 218 – 223	
5. Funcţii convexe pe spaţii vectoriale: definiţie, caracterizări, exemple (funcţii afine, funcţii subliniare, funcţii indicatoare, forme pătratice, funcţii suport).	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 72 – 79	
6+7. Continuitatea funcţiilor convexe pe spaţii normate: funcţii semicontinue, caracterizarea semicontinuităţii cu ajutorul şirurilor, limitele inferioară şi superioară ale unei funcţii într-un punct şi legătura lor cu semicontinuitatea, legătura dintre continuitate, lipschitzianeitate şi mărginirea locală în cazul funcţiilor convexe definite pe spaţii normate, continuitatea funcţiilor convexe pe spaţii normate finit dimensionale, legătura dintre continuitate şi semicontinuitatea inferioară în cazul funcţiilor convexe definite pe spaţii Banach.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 24 – 29
       pp. 147 – 153
[7], pp. 119 – 123
[9], pp. 91 – 94	
8. Derivabilitatea după direcţii şi subdiferenţiabilitatea algebrică a funcţiilor convexe definite pe spaţii vectoriale: derivate laterale după o direcţie şi proprietăţi ale acestora, subgradienţi algebrici şi caracterizarea lor, subdiferenţiabilita-tea algebrică a funcţiilor convexe.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 154 – 159	
9. Subdiferenţiabilitatea funcţiilor convexe pe spaţii normate: definiţia subgradienţilor şi a subdiferenţialei, legătura subdiferenţialei cu semicontinuitatea funcţiei şi cu subdiferenţiala algebrică, interiorul relativ, subdiferenţiabilita-tea funcţiilor convexe în punctele relativ interioare domeniului efectiv.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 159 – 163	
10. Funcţii convexe diferenţiabile de mai multe variabile reale: legătura dintre diferenţiabilitate şi derivabilitatea laterală, legătura dintre gradient şi subdiferenţială, caracterizări ale funcţiilor convexe diferenţiabile şi respectiv de două ori diferenţiabile.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[4], pp. 163 – 174
[7], pp. 135 – 145
[9], pp. 97 – 103	
11. Probleme de optimizare convexă: formularea problemelor de optimizare convexă, puncte admisibile, soluţii optime, funcţia lui Lagrange, condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[1], pp. 43 – 45
[4], pp. 193 – 197
[7], pp. 145 – 152
[9], pp. 171 – 176	
12+13. Conjugata şi biconjugata Fenchel pentru o funcţie de mai multe variabile reale: definiţia conjugatei Fenchel, inegalitatea lui Fenchel-Young, teorema de dualitate a lui Fenchel, definiţia biconjugatei Fenchel, funcţii convexe închise şi caracterizări ale acestora, egalitatea unei funcţii convexe închise cu biconjugata sa, determinarea conjugatelor şi biconjugatelor unor funcţii concrete.	Expunere, conversatie, demonstratie didactica problematizare	[1], pp. 49 – 63
       pp. 76 – 87
[4], pp. 198 – 208	
14. Verificarea problemelor lăsate temă, discutarea lucrărilor de control, stabilirea notelor finale.	Conversatie		
Bibliografie
 1. BORWEIN J. M., LEWIS A. S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Theory and Examples. CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag, 2000.
 2. BRECKNER B. E., POPOVICI N.: Convexity and Optimization. An Introduction. Editura Fundaţiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006.
  3. BRECKNER W. W.: Introducere in teoria problemelor de optimizare convexa cu restrictii. Editura Dacia, Cluj, 1974.
  4. BRECKNER W. W., TRIF T.: Convex Functions and Related Functional Equations. Selected Topics. Cluj University Press, Cluj-Napoca, 2008.
  5. HIRIART-URRUTY J. B., LEMARECHAL C.: Convex Analysis and Minimization Algorithms. Springer-Verlag, 1993.
  6. KUCZMA M.: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa-Krakow-Katowice, 1985.
  7. NICULESCU C. P., PERSSON L.-E.: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach. Springer-Verlag, New York, 2006.
  8. PRECUPANU T.: Spatii liniare topologice si elemente de analiza convexa. Editura Academiei Romane, Bucuresti, 1992.
  9. ROBERTS A. W., VARBERG D. E.: Convex Functions. Academic Press, 1973.
10. ROCKAFELLAR R. T.: Convex Analysis. Princeton University Press, 1970.	
8.2 Seminar / laborator	Metode de predare	Observaţii	
1+2. Studiul convexităţii unor funcţii concrete, aplicaţii ale inegalităţii lui Jensen la stabilirea unor inegalităţi, inegalitatea dintre media geometrică şi cea aritmetică dedusă ca şi consecinţă a convexităţii.	Conversatie, problematizare	[2], pp. 104 – 107
[4], pp. 189 – 191	
3+4. Aplicaţii ale inegalităţii Hermite-Hadamard (inegalităţile dintre mediile geometrică, logaritmică şi aritmetică, formula lui Stirling), caracterizarea convexităţii cu ajutorul inegalităţii Hermite-Hadamard.	Conversatie, problematizare	[2], pp. 137 – 139
[3], pp. 73 – 74	
5+6. Inegalităţi de tip Ky Fan, teorema de majorare a lui Hardy-Littlewood-Pólya şi aplicaţii ale acesteia (inegalităţile lui Popoviciu şi Petrović).	Conversatie, problematizare	[2], pp. 121 – 122
       pp. 109 – 115	
7+8. Convexitatea logaritmică a funcţiei gamma, teorema lui Bohr-Mollerup, convexitatea multiplicativă a funcţiei gamma.	Conversatie, problematizare	[2], pp. 126 – 129
[3], pp. 68 – 71	
9+10. Funcţii Jensen-convexe vs. funcţii convexe pe spaţii normate, teoreme de tip Bernstein-Doetsch.	Conversatie, problematizare	[4], pp. 211 – 216	
11+12. Determinarea subdiferenţialelor unor funcţii concrete pe spaţii normate, studiul convexităţii unor funcţii concrete de mai multe variabile reale.	Conversatie, problematizare	[2], pp. 172 – 176	
13+14. Rezolvarea unor probleme concrete de optimizare convexă.	Conversatie, problematizare	[1], pp. 43 – 45
[2], p. 197	
Bibliografie
1.	BORWEIN J. M., LEWIS A. S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Theory and Examples. CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag, 2000.
2.	BRECKNER W. W., TRIF T.: Convex Functions and Related Functional Equations. Selected Topics. Cluj University Press, Cluj-Napoca, 2008.
3.	NICULESCU C. P., PERSSON L.-E.: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach. Springer-Verlag, New York, 2006.
4.	ROBERTS A. W., VARBERG D. E.: Convex Functions. Academic Press, 1973.	

9. Coroborarea conţinuturilor disciplinei cu aşteptările reprezentanţilor comunităţii epistemice, asociaţiilor profesionale şi angajatori reprezentativi din domeniul aferent programului
•	Metoda functiilor convexe este un instrument deosebit de important, care il va ajuta pe viitorul profesor de matematica in demonstrarea unor inegalitati concrete
•	Cunostintele de optimizare convexa ii vor fi de folos viitorului absolvent care va lucra intr-o companie de software	

10. Evaluare
Tip activitate	10.1 Criterii de evaluare	10.2 metode de evaluare	10.3 Pondere din nota finală	
10.4 Curs	- cunoasterea notiunilor si a rezultatelor de baza
- aplicarea rezultatelor teoretice de baza la rezolvarea unor probleme concrete	

Trei lucrari de control pe parcursul semestrului	

75%	
10.5 Seminar/laborator	- rezolvarea unor probleme concrete cu ajutorul rezultatelor teoretice de la curs	Rezolvarea unor probleme pe parcursul semestrului	
25%	
10.6 Standard minim de performanţă	
•	Participarea activa la cursuri si seminarii	

Data completării		  Titular de curs		               Titular de seminar
26 septembrie 2012		Conf. dr. Trif Tiberiu-Vasile		Conf. dr. Trif Tiberiu-Vasile

Data avizării în departament			                          Director de departament	
...........................................					Prof. dr, Agratini Octavian