A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeş-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3 Intézet	Magyar Matematika és Informatika Intézet	
1.4 Szakterület	Matematika, Matematika-Informatika	
1.5 Képzési szint	Alap	
1.6 Szak / Képesítés	Szaktárgy	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Valós Analízis	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	Teodor Bulboacă	
2.4 Tanulmányi év	2	2.5 Félév	2	2.6. Értékelés módja	kollokvium	2.7 Tantárgy típusa	kötelező	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	2	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	28	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	38	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	7	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	36	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	7	
Vizsgák	6	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	94	
3.8 A félév össz-óraszáma	150	
3.9 Kreditszám	6 (M)
5 (MI)	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Az egy- és többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának ismerete.	
4.2 Kompetenciabeli	•	Az általános differenciál- és integrálszámítás ismerete.	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Részvétel a tanszék oktatási munkájának szervezésében és lebonyolításában.
•	Összesen 50 perc szükséges az előadás lebonyolításához.
•	Az előadó tanár jelenléte kötelező.
•	Az előadások a képzési folyamat szerves részét képezik, így az Egyetem a hallgatóktól elvárja, (de nem kötelezi) az azokon való részvételt.
•	Az előadáshoz szükséges oktatási segédanyagok biztosítása.
•	Optimális munkafeltételek megteremtése.	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	A szemináriumokon való jelenlét kötelező.
•	A kollokviumon való részvétel feltétele az, hogy a diák a három felmérőből mind a hárman megjelenjen.
•	A felmérő dolgozatnál a diákok nem használhatnak semmiféle segédanyagot.
•	A felmérők eredményeinek közzététele a felmérő dolgozat megírásától számítva egy héten belül történik, a megfellebbezett felmérők újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.
•	A kollokvium eredményét a dolgozatok kijavítása után ugyanazon a napon közöljük, a megfellebbezett dolgozat újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.	
6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	•	Ismerje az általános topológia elemeit (5 előadás):
- A metrikus tér nyílt halmazai (ismétlés). A topológia Haussdorf-féle axiómai. A topológia bázisa, szubbázisa, pont környezetszűrője.
- A topológikus tér zárt részhalmazai. Halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontja és határa. A topológikus tér altére. Topológikus terek direkt szorzata.
- Számossági és szétválasztási axiómák. Folytonos függvények.
- Kompakt halmazok Teljesség és kompaktság a metrikus térben.
- Összefüggő halmazok.
•	Ismerje a mértékelmélet elemeit (5 előadás):
- Nevezetes halmazcsaládok: halmazgyűrű, halmazalgebra, szigma-gyűrű, szigma-algebra. Additív halmazfüggvény és mérték, a mérték tulajdonságai.
- Külső mérték. Halmazgyűrűben értelmezett mértékhez rendelt mérték, ennek relatív szigma-additivitása.
- Elemi halmazok az euklideszi térben, elemi halmazok térfogata. A Lebesgue-féle külső mérték. Halmaz Lebesgue-mérhetősége.
- Külső mértékhez rendelt mértéktér. Lebesgue-mérhető halmazok az euklideszi térben.
- Mérhető függvények. Műveletek mérhető függvényekkel. Lépcsős függvények.
•	Ismerje az integrálelmélet elemeit (4 előadás):
- Nem-negatív lépcsős függvény és nem-negatív mérhető függvény mérték szerinti integrálja.
- Határátmenet az integráljel alatt. A monoton konvergencia Beppo Levi tétele, a Fatou-féle lemma.
- Mérhető függvény mérték szerinti integrálja és tulajdonságai. A Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel.
- A Riemann-és a Lebesgue-integrál kapcsolata. A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele.	
Transzverzális kompetenciák 	•	Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 14, vagy 15-ös változatait.	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	A valós analízis célja felvértezni a másodévesek hallgatót azokkal az ismeretekkel, amelyek egy matematika diplomával rendelkező végzősnek az analízis huszadik századi vívmányairól tudnia kell, valamint előkészíteni az alapokat olyan tantárgyak számára, mint a valószínűség-számítás, a funkcionálanalízis, vagy a differenciál-egyenletek.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései	A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek, ennek érdekében a kurzus három fő fejezete:
•	az általános topológia
•	a mértékelmélet
•	az integrálelmélet.
A végső cél a Lebesgue-féle integrál értelmezése és tulajdonságainak vizsgálata. Ez lehetővé teszi a fogalom alkalmazását a fent felsorolt matematikai diszciplínák tanításánál. Előadás közben a diákok ellenőrizendő feladatokat kapnak, amelyeke közül a nehezebbeket – más feladatok kíséretében – a szemináriumon megoldanak.	

8. A tantárgy tartalma

8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
A metrikus tér nyílt halmazai (ismétlés). A topológia Haussdorf-féle axiómai. A topológia bázisa, szubbázisa, pont környezetszűrője.	Magyarázat, bizonyítás 	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 1-5 oldal	
A topológikus tér zárt részhalmazai. Halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontja és határa. A topológikus tér altére. Topológikus terek direkt szorzata.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 5-9 oldal	
Számossági és szétválasztási axiómák. Folytonos függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 9-13 oldal	
Kompakt halmazok Teljesség és kompaktság a metrikus térben.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 13-19 oldal	
Összefüggő halmazok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 19-22 oldal	
Nevezetes halmazcsaládok: halmazgyűrű, halmazalgebra, szigma-gyűrű, szigma-algebra. Additív halmazfüggvény és mérték, a mérték tulajdonságai.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 23-30 oldal	
Külső mérték. Halmazgyűrűben értelmezett mértékhez rendelt mérték, ennek relatív szigma-additivitása.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 30-33 oldal	
Elemi halmazok az euklideszi térben, elemi halmazok térfogata. A Lebesgue-féle külső mérték. Halmaz Lebesgue-mérhetősége.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 33-38 oldal	
Külső mértékhez rendelt mértéktér. Lebesgue-mérhető halmazok az euklideszi térben.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 38-46 oldal	
Mérhető függvények. Műveletek mérhető függvényekkel. Lépcsős függvények.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 51-62 oldal	
Nem-negatív lépcsős függvény és nem-negatív mérhető függvény mérték szerinti integrálja.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 70-75 oldal	
Határátmenet az integráljel alatt. A monoton konvergencia Beppo Levi tétele, a Fatou-féle lemma.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 75-85 oldal	
Mérhető függvény mérték szerinti integrálja és tulajdonságai. A Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 85-92 oldal	
A Riemann-és a Lebesgue-integrál kapcsolata. A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 93-97 oldal	

Könyvészet
1. Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004
2. V. Anisiu: Topologie şi teoria măsurii, Universitatea "Babeş-Bolyai", Cluj-Napoca, 1995.
3. C. Crăciun: Lecţii de analiză matematică, Universitatea Bucureşti, 1982.
4. C. Crăciun: Exerciţii şi probleme de analiză matematică, Universitatea Bucureşti, 1984.	

8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
Halmaz számossága. Megszámlálható halmazok. A kontinuum-számosság. Megszámlálható halmaz részhalmazai családjának számossága. Halmazok egyesítése, keresztmetszete függvény általi képe és ősképe.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Metrikus terek. Az aritmetikus tér euklideszi, Csebisev-féle és Fréchet-féle metrikája. Ekvivalens metrikák származtatta topológiák megegyezése.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Bázis, szubbázis. Példák a metrikus és az euklideszi térben. Rács, szűrő, környezetszűrő, környezetbázis. Példák általános topológikus térben és metrikus térben.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Halmazelméleti műveletekkel kapcsolatos feladatok: halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontjainak halmaza és határa képzésének művelete.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Számossági axiómák közötti kapcsolatok. A szétválasztási axiómák ekvivalens jellemzése és a közöttük lévő kapcsolatok vizsgálata.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Folytonos függvényekkel kapcsolatos feladatok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Kompaktsággal és összefüggőséggel kapcsolatos feladatok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Nevezetes halmazcsaládokkal kapcsolatos feladatok. Ekvivalens definíciók.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
A félgyűrű fogalma. Félgyűrűk direkt szorzata félgyűrű. A valós tengely szakaszai által származtatott gyűrűk és félgyűrűk. A Borel-féle halmaztest.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Mértékterekkel kapcsolatos feladatok. A számlálási mérték. Az egy pontban koncentrált mérték. A Poincaré-féle formula.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Lebesgue-mérhetőség a valós tengelyen. A Cantor-féle halmaz. A Cantor-féle függvény.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Vitali példája nem Lebesgue-mérhető halmazra. Lépcsős függvényekkel és mérhető függvényekkel kapcsolatos feladatok.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
Határátmenet integráljel alatt. Példák annak szemléltetésére, hogy egyszerű esetekben a határátmenet nem vihető be az integráljel alá.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	
A majdnem mindenhóli konvergenciával kapcsolatos feladatok. Példák Lebesgue-integrálható függvényekre, amelyek nem Riemann-integrálhatók. Minden korlátos derivált függvény Lebesgue-integrálható.	Magyarázat, bizonyítás	Könyvészet: Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	

Könyvészet
1. Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004
2. V. Anisiu: Topologie şi teoria măsurii, Universitatea "Babeş-Bolyai", Cluj-Napoca, 1995.
3. C. Crăciun: Exerciţii şi probleme de analiză matematică, Universitatea Bucureşti, 1984.	

9. Az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásainak összhangba hozása a tantárgy tartalmával.
•	A hallgatóknak lehetőségük nyílik arra, hogy az előadások során szerzett ismereteket felhasználva, részt vegyenek tudományos rendezvényeken, és bekapcsolódjanak a szak tematikájához kapcsolódó kutatásokba.
•	A szak tanszékei oktató- és kutatómunkájuk révén intenzív kapcsolatban állnak e szakterületen számos neves külföldi tanszékével, és a  tanterv szoros összhangban van a nemzetközi sztenderdekkel.
•	A tantárgy tartalma a szakmai egyesületek elvárásainak is megfelelnek.
A szakmai egyesületek segítik a tehetséggondozó műhelyek munkáját is, lehetővé teszik a szakmai anyagok cseréjét, a tehetségek érvényesülésének segítését, a tehetségek felkarolását, felkutatását és az ezzel foglalkozó szervezetek tevékenységének összehangolását.	

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Három dolgozatok: értelmezések, bizonyítások	Írásbeli dolgozat	25%	
	Végleges kollokvium: 40% feladat megoldási készség és 60% elméleti ismeretek	Írásbeli kollokvium	25%	
10.5 Szeminárium / Labor	Három dolgozatok: feladatok megoldásai

(a) az első felmérő az 1. fejezetbeli - Általános topológia - elméleti ismeretek és feladatokat foglalja magában
(b) a második felmérő a 2-dik fejezetbeli – Mértékelmélet - elméleti ismeretek és feladatokat foglalja magában
(c) a harmadik felmérő a 3-dik fejezetbeli elméleti – Integrálelmélet - ismeretek és feladatokat foglalja magában	Írásbeli dolgozat	25%	
	A végső jegy az (a), (b) és (c) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.	Írásbeli kollokvium	25%	

10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	az általános topológia elemeit alap ismerete
•	a mértékelmélet elemeit alap ismerete
•	az integrálelmélet elemeit alap ismerete	

Kitöltés dátuma: 2012, Szeptember 14
Előadás felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă		Szeminárium felelőse: Prof. Dr. Teodor Bulboacă
Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató