fişa disciplinei
1. Date despre program
1.1 Instituţia de învăţământ superior	Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca	
1.2 Facultatea	Facultatea de Matematică şi Informatică	
1.3 Departamentul	Departamentul de Matematică	
1.4 Domeniul de studii	Matematică 	
1.5 Ciclul de studii	Licenţă	
1.6 Programul de studiu / Calificarea	Matematică, Matematică-Informatică 	

2. Date despre disciplină
2.1 Denumirea disciplinei	Analiză reală	
2.2 Titularul activităţilor de curs	Conf. dr. Valeriu ANISIU	
2.3 Titularul activităţilor de seminar	Conf. dr. Valeriu ANISIU	
2.4 Anul de studiu	2	2.5 Semestrul	4	2.6. Tipul de evaluare	C	2.7 Regimul disciplinei	Obligatorie	

3. Timpul total estimat (ore pe semestru al activităţilor didactice)
3.1 Număr de ore pe săptămână	4	Din care: 3.2 curs	2	3.3 seminar/laborator	2 sem	
3.4 Total ore din planul de învăţământ	56	Din care: 3.5 curs	28	3.6 seminar/laborator	28 	
Distribuţia fondului de timp:	ore	
Studiul după manual, suport de curs, bibliografie şi notiţe	20	
Documentare suplimentară în bibliotecă, pe platformele electronice de specialitate şi pe teren	10	
Pregătire seminarii/laboratoare, teme, referate, portofolii şi eseuri	14	
Tutoriat	4	
Examinări 	4	
Alte activităţi: ..................	0	
3.7 Total ore studiu individual	52	
3.8 Total ore pe semestru	108	
3.9 Numărul de credite	5	

4. Precondiţii (acolo unde este cazul)
4.1 de curriculum	•	Analizã matematică (Calcul diferenţial în Rn, calcul integral în Rn); 	
4.2 de competenţe	•	Sunt utile competenţe de raţionamente logice şi de utilizare a cunoştinţelor de curriculum precizate mai sus	

5. Condiţii (acolo unde este cazul)
5.1 De desfăşurare a cursului	•	Sală de curs dotatã cu tablă/videoproiector	
5.2  De desfăşurare a seminarului/laboratorului	•	Sală de seminar dotatã cu tablă/videoproiector	

6. Competenţele specifice acumulate
Competenţe profesionale	•	Abilitatea de a înţelege şi a aborda rezolvarea unor probleme de matematică şi informatică.
•	Abilitatea de a formula şi comunica oral şi în scris idei şi concepte din analiza reală.
•	Cunoaşterea conceptelor de bază din topologie şi teoria măsurii. 
•	Aprofundarea noţiunilor fundamentale din topologie şi teoria măsurii care nu au fost întâlnite în cursurile anterioare pe cazuri particulare.
•	Abilitatea de a utiliza diferite metode specifice ale analizei reale în abordarea unor probleme  din alte ramuri ale matematicii (combinatorică, analiza complexã, analiza funcţională, geometria diferenţială)..	
Competenţe transversale	•	Studentul trebuie sã aibã capacitatea de a aplica noţiunile studiate şi de a modela matematic probleme concrete ce intervin în diverse domenii ale matematicii şi informaticii.
•	Abilitatea de a lucra în echipã, depunând o muncã adecvatã.
•	Abilitatea de a comunica oral şi în scris, prin respectarea normelor de eticã şi deontologie profesionalã.
•	Identificarea opotunitãţilor de formare continuã şi de valorificare eficientã a resurselor şi tehnicilor de învãţare pentru propria dezvoltare.   	

7. Obiectivele disciplinei (reieşind din grila competenţelor acumulate)
7.1 Obiectivul general al disciplinei	•	Cunoaşterea, însuşirea şi aprofundarea noţiunilor şi rezultatelor fundamentale din topologie şi teoria măsurii.
•	Evidenţierea faptului că însuşirea acestor rezultate permit extinderea şi înţelegerea mai profundă a analizei matematice studiate în semestrele precedente şi deschid calea spre discipline noi: analiza funcţională, geometrie diferenţială, acesAplicarea noţiunilor însuşite la studiul unor probleme speciale din analiza complexã, ecuaţii cu derivate parţiale, etc. 	
7.2 Obiectivele specifice

	Cursul conţine două părţi. În prima parte sunt parcurse elementele de topologie generală (spaţiu topologic, limite, continuitate, axiomele de separare, compactitate, conexitate, spaţii metrice, spaţii Baire, prelungirea funcţiilor continue).
 În partea a doua este expusă teoria măsurii şi integrării în spaţii abstracte dar cu accent asupra măsurii şi integralei Lebesgue în Rn. Sunt prezentate construcţiile clasice şi sunt demonstrate rezultatele fundamentale. La sfârşitul cursului studentul trebuie să înţeleagă faptul că noţiunile însuşite sunt extensii importante ale cunoştinţelor anterioare şi constituie fundamentul matematicii moderne, urmând a fi folosite în cursurile următoare.	

8. Conţinuturi
8.1 Curs	Metode de predare	Observaţii	
1. Spaţii topologice, vecinătăţi, aderenţă, interior, frontieră	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
2 Bază, subbază, topologie generată, subspaţiu, spaţiu produs, convergenţă şi continuitate.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
3. Axiome de separare (T1,T2), spaţii metrice, completitudine.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
4. Compactitate în spaţii topologice şi în spaţii metrice.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
5. Prelungirea funcţiilor continue. Spaţii Baire.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative. 		
6.  Conexitate, conexitate prin arce, conexitate locală, aplicaţii.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
7. Dreapta reală încheiată, limite extreme. Clasificarea spaţiilor topologice. 	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
8. Algebre şi σ-algebre. Măsură.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
9. Măsură exterioară, măsură exterioară Lebesgue în spaţiul Euclidian.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
10. Construcţia măsurii Lebesgue. Regularitate.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
11. Funcţii măsurabile şi funcţii etajate. Convergenţă a.p.t.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
12. Integrala Lebesgue a funcţiilor etajate şi măsurable nenegative.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
13. Integrala Lebesgue generală.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
14. Aplicaţii. Legătura cu integrala Riemann.	Prelegere, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative.		
Bibliografie
 [1]. V. Anisiu: Topologie si teoria masurii. Universitatea "Babes-Bolyai", Cluj-Napoca, 1995.
[2]. C. Crăciun : Lecţii de analiză matematică. Universitatea Bucureşti, 1982.
[3]. C. Crăciun : Exerciţii şi probleme de analiză matematică. Universitatea Bucureşti 1984.
[4]. C. George: Exercises in integration. Springer, New York, 1984 
[5]. J. Kelley: General topology. Van Nostrand, Princeton, 1950.
[6]. P. Kree: Integration et theorie de la mesure. Une approche geometrique. Ellipses, Paris, 1997
[7]. W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw Hill, New York, 1988 (exista traducere in limba romana)
[8] G.B. Folland: Real Analysis. Modern Techniques and their applications. Wiley, 1999
 	
8.2 Seminar / laborator	Metode de predare	Observaţii	
1. Spaţii topologice, vecinătăţi, aderenţă, interior, frontieră.	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.	Toate seminariile sunt structurate pe două ore. Tema este identică cu cea a cursului aferent.	
2. Bază, subbază, topologie generată, subspaţiu, spaţiu produs, convergenţă şi continuitate.	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
3. Axiome de separare (T1,T2), spaţii metrice, completitudine. 
	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
4. Compactitate în spaţii topologice şi în spaţii metrice. 
	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
5. Prelungirea funcţiilor continue. Spaţii Baire.
	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
6. Conexitate, conexitate prin arce, conexitate locală, aplicaţii.
	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
7. Dreapta reală încheiată, limite extreme. Clasificarea spaţiilor topologice.	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
8. Algebre şi σ-algebre. Măsură.	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
9. Măsură exterioară, măsură exterioară Lebesgue în Rm .	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
10. Construcţia măsurii Lebesgue. Regularitate.	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
11. Funcţii măsurabile şi funcţii etajate. Convergenţă a.p.t. 	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
12. Integrala Lebesgue a funcţiilor etajate şi măsurable nenegative.
	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
13. Integrala Lebesgue generală.
	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
14. Aplicaţii. Legătura cu integrala Riemann.	Rezolvare de probleme şi dezbaterea soluţiilor. Prezentarea temelor/referatelor propuse. Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.		
Bibliografie
[1]. V. Anisiu - Topologie si teoria masurii. Universitatea "Babes-Bolyai", Cluj-Napoca, 1995.
[2] L. Lipschutz – Teory and Problems of General Topology. Schaum's Outline, McGraw Hill 1968
[3] M. R. Spiegel - Real variables-Lebesgue and measure theory. Schaum's Outline, McGraw Hill 1990
[4]. C. Crăciun - Exerciţii şi probleme de analiză matematică. Universitatea Bucureşti 1984.
[5]. C. George - Exercises in integration. Springer, New York, 1984 
[6]. W. Rudin - Real and complex analysis, McGraw Hill, New York, 1988 (exista traducere in limba romana)
[7] G.B. Folland - Real Analysis. Modern Techniques and their applications. Wiley, 1999

9. Coroborarea conţinuturilor disciplinei cu aşteptările reprezentanţilor comunităţii epistemice, asociaţiilor profesionale şi angajatori reprezentativi din domeniul aferent programului
•	 Tematica acestui curs este în concordanţă cu ceea ce este prevăzut în programul de studii la nivel licenţă al celor mai importante universităţi din ţarã şi străinătate. Această disciplină este esenţială în pregătirea viitorilor profesori şi cercetători în matematică/informatică/matematica aplicată, precum şi a celor care utilizează diverse metode şi tehnici matematice moderne în alte domenii.	

10. Evaluare
Tip activitate	10.1 Criterii de evaluare	10.2 metode de evaluare	10.3 Pondere din nota finală	
10.4 Curs	Cunoaşterea noţiunilor şi a rezultatelor de bază.	Lucrare scrisã la final de semestru.	70%	
	Posibilitatea de a justifica prin demonstraţie rezultatele teoretice.			
10.5 Seminar/laborator	Capacitatea de a aplica rezultatele dobândite la curs la rezolvarea unor probleme. 	Evaluarea activitãţii studenţilor din timpul semestrului (lucrare de control) şi participarea activã la seminar.      	30%	
	Prezenţa la ore: conform cerinţelor generale ale facultãţii.			
10.6 Standard minim de performanţă	
•	 Obţinerea notei 5 (într-o scară de la 1 la 10)  în urma lucrării scrise la final de semestru precum şi a activităţii la seminarii din timpul semestrului.	

Data completării		  Titular de curs		               Titular de seminar
25.09.2012		             Conf. dr. Valeriu ANISIU	               Conf. dr. Valeriu ANISIU	
Data avizării în departament			                                    Director de departament	
...........................................					      Prof. dr. Octavian AGRATINI