A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeş-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika Kar	
1.3  Intézet	Magyar Matematika és Informatika  Int	
1.4 Szakterület	Geometria	
1.5 Képzési szint	Alapképzés	
1.6 Szak / Képesítés	Matematika/ Matematika és Informatika	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	 Affin geometria	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	Varga György Csaba	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	Varga György Csaba	
2.4 Tanulmányi év	I	2.5 Félév	II.	2.6. Értékelés módja	Vizsga	2.7 Tantárgy típusa	 kötelező –alap	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	2	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	28	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	14	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	7 	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portfóliók, referátumok, esszék kidolgozása	28	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	14	
Vizsgák	6	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	     69	
3.8 A félév ősz-óraszáma	   125	
3.9 Kreditszám	    5(M) ill. (MI)	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Nincsen	
4.2 Kompetenciabeli	•	Lineáris algebra, analitikus geometria, csoportelmélet elemei	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Táblával és videoprojektorral felszerelt előadó	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	Táblával és videoprojektorral felszerelt előadó	

6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák
Szakmai kompetenciák	•	Az n-dimenziós tér affin struktukturájának megismerése
•	Az affin transzformációk szerkezetének megértése és az affin csoport hatásának megértése
•	A konvex geometria elemeinek az elsajátítása
•	 Másodrendű hiperfelületek kanonikus alakra való hozása
•	A projektív geometria néhány elemének elsajátítása	
Transzverzális kompetenciák 	•	A lineáris és konvex programozási feladatoknál való alkalmazás
•	A geometriák csoportelméleti szempontból való megközelítése
•	Modellek szerkesztése nem-euklideszi geometriákra 	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	Az előadás célja, hogy a hallgatókkal közölje azokat az ismereteket, amely segíti az át térest a háromdimenziós affin tér geometriájáról az N-dimenziós  affin tér geometriájára. Az előadás egy időben egy rövid bevezető a projektív terek geometriájába. Ezek az ismeretek hozzájárulnak, hogy a hallgatók könnyebben elsajátítsák a differenciálható sokaságok elméletét.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései

	•	Azon ismeretek elsajátítása, amelyek szükségesek a lineáris és konvex programozáshoz
•	 A különböző geometriák csoport elméleti osztályozása
•	A hiperbolikus geometria kétpalástú N-dimenziós hiperboloid modellje
•	A projektív geometria alkalmazása az ábrázoló geometriában    	

8. A tantárgy tartalma
8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1. A lineáris tér affin strukturája:  
- hálóelméleti tulajdonságok
     - a dimenzió tétele	

      Előadás	[1],[6]	
2.   Az  általános affin tér
     - affin részterek
     - affin és descartesi koordináta rendszerek

      Előadás	[3], [5]	
3.   - affin transzformációk és affinitások
       - affin endomorfizmusok	
       Előadás	[3], [5], [8]	
 4.   Valós affin terek
     - szakasz és félegyenes
     - konvex halmazok
     - Radon és Helly tétele	

       Előadás	[2], [3], [8]	
 5.   - A valós lineáris tér irányítása
       - A valós affin tér irányítása	
       Előadás	[5], [6]	
6.  - Bilineáris formák
 - egy bilineáris formához rendelt négyzetes forma
 - merőlegesség egy bilineáris formára nézve 	

       Előadás	[1], [6]	
7. - Affin euklideszi terek 
       - merőleges affin részterek
       - két affin résztér közötti távolság 	

        Előadás	[3], [5], [8]	
8.  - Az affin euklideszi tér izometria csoprtja
     - az SO(n)- csoport	
         Előadás	[1], [8]	
9.  - Másodrendű hiperfelületek az affin térben
         - egy lineáris résztérrel való metszet 
         - aszimptotikus irányok és aszimptoták	

          Előadás	[4], [8]	
10. Az érintő hipersík egy másodrendű felülethez
   - A másodrendű hiperfelületek kanonikus alakra való hozás	

         Előadás	[4], [6], [8]	
11. - A projektív tér 
     - Az affin tér beágyazása egy projektív térbe	
         Előadás	[1], [6], [8]	
12.   - Projektív koordináta rendszerek
        - Egy projektív tér lefedése affin terekkel	
         Előadás	[4], [6], [8]	
13.   - Projektív morfizmusok
        - A dualitás elve

          Előadás	[1], [4], [6], [8]	
14.    - Pappus axiomája
         - Pappus féle síkok	
          Előadás	[6], [8]	
Könyvészet
1. Gh. Galbură, F. Radó, Geometrie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
2.  R. Miron, Geometrie analitică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1976.
3. V.T. Baziljev, K.I. Dunyicsev, V.P. Ivanyickaja, Geometria I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.
4. V.T. Baziljev, K.I. Dunyicsev, V.P. Ivanyickaja, Geometria II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.
5. Bădescu, L., Lecţii de geometrie, Editura Universităţii din Bucureşti, 1999.
6. Craioveanu, M., Albu, I.D., Geometrie afină şi euclidiană, Editura Facla, Timişoara, 1982
7.  Huschitt, M., Culegere de probleme de geometrie sintetică şi proiectivă, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971
8. Popescu, I.P., Geometrie afină şi euclidiană, Editura Facla, Timişoara, 1984
	
8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1. - Egy tetszőleges p-sík egyenlete 
    - a dimenzió tetelének néhány alkalmazása
     - két tetszőleges sík egymáshoz viszonyított  
       helyzete	
Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[1],[5],[6]	
2. -Példák általános affin terekre
    - affin koordináta transzformációk
	
Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[2],[5]	
3. - Affin transzformációk és affinitásokkal  
kapcsolatos feladatok
-	affin endomorfizmusok invariáns résztereinek meghatározása
	
Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[1], [5], [6]	
4. - Poliéderek
    - lineáris programozás, Farkas lemma	
Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[3], [5]	
5.  Radon és Helly tételeinek néhány alkalmazása	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[1], [5]	
6. - A négyzetes formák kanonikus alakra való hozása
    - Sylvester inercia tétele	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[4], [5]	
7.  Az N-dimenziós paralelipipedon és szimplexszel kapcsolatos feladatok	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[5]	
8.  -Egy pont távolsága egy affin résztértől
    - két affin résztér közötti távolság
	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[5], [6]	
9. Másodrendű hiperfelületek általános alakja - aszimptotikus irányok és aszimptoták meghatározása
	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[2], [5]	
10. Egy másodrendű felület érintő hipersíkja és érintő kúpja 	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[4],[5]	
11. Egy másodrendű felület szinguláris és reguláris pontjai	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[5], [6]	
12. - Másodrendű felületek elliptikus, hiperbolikus és parabolikus pontokkal
  - kanonikus alakra való hozás	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[4],[5], [6]	
13.  Desargues és Pappus tételének néhány alkalmazása	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[2], [5]	
14.  Pappus-féle síkok	Feladatok megoldása,
problematizálás, beszélgetés	[2], [5], [6]	
1. V.T. Baziljev, K.I. Dunyicsev, V.P. Ivanyickaja, Geometria I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.
2. V.T. Baziljev, K.I. Dunyicsev, V.P. Ivanyickaja, Geometria II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.
3. Bădescu, L., Lecţii de geometrie, Editura Universităţii din Bucureşti, 1999.
4. Craioveanu, M., Albu, I.D., Geometrie afină şi euclidiană, Editura Facla, Timişoara, 1982
5.  Huschitt, M., Culegere de probleme de geometrie sintetică şi proiectivă, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971
6. Popescu, I.P., Geometrie afină şi euclidiană, Editura Facla, Timişoara, 1984	

9. Az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásainak összhangba hozása a tantárgy tartalmával.
•	 A tantárgy tartalma megegyezik az egyetemi oktatásban a fontosabb egyetemeken oktatott affin geometria hagyományos tartalmával.
•	A lineáris és konvex programozás geometriai alapjainak jobb megismerését segíti elő.
•	A nem-euklideszi geometriák modelljeinek szerkesztésében segít, amely a relativitáselmélet jobb megértéséhez vezet.

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső   jegyben	
10.4 Előadás 	Alapfogalmak és alaptételek ismerete	 Félév végi írásbeli vizsga	        20%	
		Előadási tevékenység	 	        15 %	
10.5 Szeminárium / Labor	Feladatmegoldások helyessége	Félév végi írásbeli vizsga	        30%	
		Szemináriumi tevékenység	        35 %	
10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	 Az affin geometria legalapvetőbb fogalmainak ismerete.
•	Tudjon megoldani egyszerűbb feladatokat minden fejezetből	

Kitöltés dátuma			Előadás felelőse			Szeminárium felelőse
2012 szeptember 24		         Varga György Csaba			Varga György Csaba
Az intézeti jóváhagyás dátuma	                                                               Intézetigazgató	
    ..........................						                         Szenkovits Ferenc