A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeș-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3  Intézet	Magyar Matematika és Informatika	
1.4 Szakterület	Informatika	
1.5 Képzési szint	Alap	
1.6 Szak / Képesítés	Informatika	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Dinamikus rendszerek	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	András Szilárd	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	András Szilárd	
2.4 Tanulmányi év	1	2.5 Félév	2	2.6. Értékelés módja	Vizsga	2.7 Tantárgy típusa	Kötelező - alap	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	1/1	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	14-14	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	35	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	21	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portofóliók, referátumok, esszék kidolgozása	24	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	6	
Vizsgák	8	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	94	
3.8 A félév össz-óraszáma	150	
3.9 Kreditszám	6	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Matematikai analízis, differenciál, integrálszámítási ismeretek, lineáris algebra	
4.2 Kompetenciabeli	•	Lineáris algebrai fogalmak (bázis, lineáris függetlenség) kezelése
•	A differenciál és integrálszámításhoz kapcsolódó kompetenciák funkcionális működése	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Táblával, video projektorral felszerelt tanterem	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	Táblával, video projektorral felszerelt tanterem, táblával és video projektorral felszerelt labor, a gépeken Matlab	

6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák

Szakmai kompetenciák	•	Egyszerű rekurziók esetén az általános tag megsejtése, a sejtés igazolása
•	Lineáris rekurziók, rekurzió rendszerek megoldásának előállítása
•	Egzakt módon megoldható differenciálegyenletek megoldásának előállítása
•	Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek megoldásának előállítása
•	Valós problémák modellezése rekurziókkal és differenciálegyenletekkel, a megoldások numerikus előállítása	
Transzverzális kompetenciák 	•	Különböző területekről (fizika, kémia, biológia, szociológia) származó problémák modellezése, a modellek alapján szimulációk készítése	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	A dinamikus rendszerek elméletének, problémáinak, módszereinek ismertetése, dinamikus rendszerek szimulációja	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései

	Bevezetés (modellezési példák, alapfogalmak, dinamikus rendszerek szimulációja)
I. rész: Diszkrét és folytonos dinamikus rendszerek (rekurziók és differenciálegyenletek, lineáris rekurziók és lineáris differenciálegyenletek, létezési tételek, peremérték feladatok)
II. rész: Kvalitatív elemzés (stabilitáselmélet, invariáns halmazok, határciklusok, Poincare leképezés, bifurkációk)
III. rész: Numerikus módszerek (közelítő megoldások, numerikus stabilitás, szukcesszív approximációk, kaotikus rendszerek)	

8. A tantárgy tartalma
8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
I. Diszkrét dinamikus rendszerek, munkaerőpiac modellje, alapfogalmak	Előadás, számítógépes vizualizációk		
II. Elsőrendű rekurziók vizsgálata, a logisztikus leképezés bifurkációs pontjai			
III. Lineáris rekurziók megoldása			
IV. Állandó együtthatójú lineáris rekurziók megoldása			
V. Álladó együtthatójú lineáris rekurzió rendszerek			
VI. A stabilitás vizsgálata, perturbált rendszerek stabilitása			
VII. Modellezési feladatok és alkalmazások			
VIII. Differenciálegyenletes modellek, populációk dinamikája, Lotka-Volterra modellek			
IX. Egzakt módon megoldható differenciálegyenletek			
X. Numerikus módszerek, dinamikus rendszerek szimulációja			
XI. Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek			
XII. Állandó együtthatójú differenciálegyenletek és rendszerek megoldásának előállítása			
XIII. Gyógyszerek adagolásának modellezése és szimulációja			
XIV. A stabilitás vizsgálata, perturbált rendszerek			
Könyvészet
1. Davis Jon H., Differential Equations with MAPLE: an Interactive Approach, Birkhäuser, 2001.
2. Enns R. H., McGuire G., Nonlinear Physics with Maple for Scientists and Engineers, Birkhäuser, 1997.
3. Hairer E., Numerical Geometric Integration, Internet course, 1999, http://www.unige.ch/math/folks/hairer/polycop.html
4. Lynch S., Dynamical Systems with Applications using MATLAB, Birkhäuser, 2004.
5. Rus I.A., Ecuatii diferentiale, ecuatii integrale si sisteme dinamice, Transilvania Press, 1996.
6. Trif D., Metode numerice in teoria sistemelor dinamice, Transilvania Press, 1997.
7. András Szilárd: Dinamikus rendszerek, Editura didactica si pedagogica, 2008
8. Gerald Tesch: Ordinary differential equations and dynamical systems, free ebook, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/teaching/index.html
9. E.R. Scheinerman: Invitation to dynamical systems, Prentice Hall, 1995
10. Saber Elaydi: Introduction to difference equations, Springer, 2005	
8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1. Rekurzív sorozatok	Feladatmegoldás		
2. A pókháló módszer, egyensúlypontok stabilitása	Feladatmegoldás		
3. Lineáris rekurziók	Feladatmegoldás,
Számítógépes vizualizáció		
4. Inhomogén lineáris rekurziók	Feladatmegoldás		
5. Direkt úton megoldható differenciálegyenletek	Feladatmegoldás		
6. Lineáris differenciálegyenletek	Feladatmegoldás		
7. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek	Feladatmegoldás		
1. Fraktálok generálása iterált függvényrendszerekkel	Számítógépes programozás, szimuláció		
2. A pókháló módszer			
3. A munkaerőpiac modellezése			
4. SIRS típusú modellek			
5. Gyógyszeradagolás modellezése			
6. Poncelet konfigurációk			
7. Lotka Volterra típusú rendszerek			
Könyvészet
1. Lynch S., Dynamical Systems with Applications using MATLAB, Birkhäuser, 2004.
2. Trif D., Metode numerice in teoria sistemelor dinamice, Transilvania Press, 1997.
3. András Szilárd: Dinamikus rendszerek, Editura didactica si pedagogica, 2008
4. M.L.Krasnov, A.I.Kiselyor, G.I.Makarenko: A book of  problems in ordinary differential equations, Mir Publishers Moscow, 1981.
5. Ray Redheffer: Differential equations. Theory and applications. Jones and Bartlett Publishers, Boston 1991.	

9. A tárgy tartalmának összhangba hozása az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásaival.
•	 A tanulmányozott alapproblémák megoldásának előállítása számítógép segítségével
•	Vizualizációk, szimulációk készítése a tanulmányozott problémákhoz
•	Programozás Matlabban	

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Alapfogalmak pontos ismerete	Írásbeli és szóbeli vizsga	50%	
	Modellek, jelenségek, jellegzetes példák ismerete			
10.5 Szeminárium / Labor	Feladatok helyes megoldása	Egy zárthelyi dolgozat (az 5. és a 10. szeminárium után)	20%	
	Laborvizsga	Házi feladatok ellenőrzése, laborvizsga	30%	
10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	 A zárthelyi dolgozaton el kell érni a 6-os jegyet, a laborvizsgán a 7-est és az írásbeli vizsgán az 5-öst
•	Ha valaki nem vesz részt a zárthelyin (vagy nem szeretné azt beszámítani a végső jegybe), akkor szóbelizhet a teljes anyagból villámkérdéses módszerrel.	

Kitöltés dátuma			Előadás felelőse			Szeminárium felelőse
..2012. 09.20.....							 		
Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató	
..........................						Dr. Szenkovits Ferenc, egyet. docens
..........................