A tantárgy adatlapja
1. A képzési program adatai
1.1 Felsőoktatási intézmény	Babeș-Bolyai Tudományegyetem	
1.2 Kar 	Matematika és Informatika	
1.3  Intézet	Magyar Matematika és Informatika	
1.4 Szakterület	Matematika	
1.5 Képzési szint	Alap	
1.6 Szak / Képesítés	Matematika és Matematika-informatika 	

2. A tantárgy adatai
2.1 A tantárgy neve	Közönséges differenciálegyenletek	
2.2 Az előadásért felelős tanár neve	András Szilárd	
2.3 A szemináriumért felelős tanár neve	András Szilárd	
2.4 Tanulmányi év	1	2.5 Félév	2	2.6. Értékelés módja	Vizsga	2.7 Tantárgy típusa	Kötelező - alap	

3. Teljes becsült idő (az oktatási tevékenység féléves óraszáma)
3.1 Heti óraszám	4	melyből: 3.2 előadás	2	3.3 szeminárium/labor	1/1	
3.4 Tantervben szereplő össz-óraszám	56	melyből: 3.5 előadás	28	3.6 szeminárium/labor	14-14	
A tanulmányi idő elosztása:	óra	
A tankönyv, a jegyzet, a szakirodalom vagy saját jegyzetek tanulmányozása	21	
Könyvtárban, elektronikus adatbázisokban vagy terepen való további tájékozódás	14	
Szemináriumok / laborok, házi feladatok, portfóliók, referátumok, esszék kidolgozása	21	
Egyéni készségfejlesztés (tutorálás)	7	
Vizsgák	6	
Más tevékenységek: ..................		
3.7 Egyéni munka össz-óraszáma	69	
3.8 A félév össz-óraszáma	125	
3.9 Kreditszám	5	

4. Előfeltételek (ha vannak)
4.1 Tantervi	•	Matematikai analízis, differenciál és integrál számítás	
4.2 Kompetenciabeli	•	A differenciál és integrálszámításhoz kapcsolódó kompetenciák, számolási készség funkcionális működése	

5. Feltételek (ha vannak)
5.1 Az előadás lebonyolításának feltételei	•	Táblával, video projektorral felszerelt tanterem	
5.2 A szeminárium / labor lebonyolításának feltételei	•	Táblával, video projektorral felszerelt tanterem, táblával rendelkező laborterem, a gépeken telepített Matlab	

6. Elsajátítandó jellemző kompetenciák

Szakmai kompetenciák	•	Egzakt módon megoldható egyenletek megoldási módszereinek funkcionálisan működő szintre való fejlesztése
•	Közönséges differenciálegyenletek vizsgálata elméleti szempontból (létezés, egyértelműség, adatoktól való függés, deriválhatóság, stabilitás)
•	Operatoriális szemléletmód a különböző problémák vizsgálatára	
Transzverzális kompetenciák 	•	Modellezési feladatok, kontextusok ismerete olyan esetekben, amikor a jelenségek differenciálegyenletekkel vagy rendszerekkel írhatók le (fizika, kémia, biológia, szociológia, stb.)	

7. A tantárgy célkitűzései (az elsajátítandó jellemző kompetenciák alapján)
7.1 A tantárgy általános célkitűzése	•	Bevezetés a differenciálegyenletek elméletének alapvető fogalmainak, problémáinak és jelenségeinek tanulmányozásába.	
7.2 A tantárgy sajátos célkitűzései

	1. Alapfogalmak: a megoldás fogalma, egyenletek osztályozása, magasabbrendű egyenletek visszavezetése elsőrendű rendszerre, a Cauchy feladat 
2. Differenciálegyenletekhez vezető modellek: radioaktív bomlás, populációk dinamikája, mozgástörvények, ingamozgás
3. Egzakt módon megoldható differenciálegyenletek: szétválasztható egyenletek, homogén egyenletek, elsőrendű lineáris egyenletek, Ricatti egyenletek, Lagrange és Clairaut egyenletek, magasabbrendű egyenletek
4. A Cauchy feladat és a vele ekvivalens Volterra-féle integrálegyenlet, a Gronwall egyenlőtlenség; létezési tételek, a megoldás függése az adatoktól, a szukcesszív approximációk módszere, extremális megoldások
5. n-ed rendű lineáris differenciálegyenletek: a megoldáshalmaz struktírája, alapmegoldások, a konstans variálásának módszere, állandó együtthatójú egyenletek
6. Elsőrendű  lineáris differenciálegyenlet rendszerek: a megoldáshalmaz struktúrája, fundamentális megoldásmátrix, a konstans variálása, állandó együtthatójú rendszerek. 
7. Differenciálegyenletek által generált dinamikus rendszerek vizsgálata, fázistér, pályák 
8. Stabilitáselmélet, lineáris rendszerek stabilitása, perturbált rendszerek stabilitása.	

8. A tantárgy tartalma
8.1 Előadás	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
I. Modellezési feladatok, a differenciálegyenlet fogalma, példák, a megoldás fogalma, a Cauchy feladat, egyenletek osztályozása	Előadás, számítógépes vizualizációk		
II. Differenciálegyenletes modellek, populációk dinamikája, radioaktív bomlás, mozgásegyenletek, ingamozgás			
III. Megoldható differenciálegyenletek: szétválasztható egyenletek, homogén egyenletek, elsőrendű lineáris egyenletek, Bernoulli-egyenletek, Ricatti-egyenletek,			
IV. Megoldható differenciálegyenletek: Lagrange és Clairaut egyenletek, magasabbrendű egyenletek			
V. A Cauchy feladat és a vele ekvivalens Volterra-féle integrálegyenlet, a Gronwall egyenlőtlenség; létezési tételek, a megoldás függése az adatoktól, a szukcesszív approximációk módszere			
VI. n-ed rendű lineáris differenciálegyenletek: a megoldáshalmaz struktírája, alapmegoldások, a konstans variálásának módszere			
VII. Állandó együtthatójú n-ed rendű egyenletek			
VIII. Inhomogén állandó együtthatójú egyenletek, a szuperpozició elve			
IX. Mátrix argumentumú függvények, az exponenciális függvény			
X. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet rendszerek: a megoldáshalmaz struktúrája, fundamentális megoldásmátrix,			
XI. A konstans variálása egyenletrendszerek esetén, állandó együtthatójú rendszerek.			
XII. Inhomogén állandó együtthatójú rendszerek			
XIII. Stabilitáselmélet, lineáris rendszerek stabilitása, perturbált rendszerek stabilitása.			
XIV. A gyógyszeradagolás matematikai modellezése			
Könyvészet
1. I.A. RUS, Ecuatii diferentiale, ecuatii integrale si sisteme dinamice, Transilvania Press, Cluj, 1996.
2. P. PAVEL, I.A. RUS, Ecuatii diferentiale si integrale, Ed. Did. Ped., Bucuresti, 1975.
3. V. BARBU, Ecuatii diferentiale, Ed. Junimea, Iasi, 1985.
4. D.V. IONESCU, Ecuatii diferentiale si integrale, Ed. Did. Ped., Bucuresti, 1972.
5. L. PERKO, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, New York, 2001. 
6. G. MOROSANU, Ecuatii diferentiale. Aplicatii, Ed. Acad., Bucuresti, 1990.
7. ANDRÁS SZILÁRD: Dinamikus rendszerek, Editura Didactica si pedagogica, 2008
8. SIMON L. PÉTER, TÓTH JÁNOS, Differenciálegyenletek, Typotex, 2005
9. J.C. ROBINSON,  An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
10. Hatvani László, Pintér Ferenc: Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon Kiadó, 1997
11. W.E. Boyce, R. Di Prima: Elementary differential equations, John Wiley and sons, 2000	
8.2 Szeminárium / Labor	Didaktikai módszerek	Megjegyzések	
1. Szétválasztható egyenletek, homogén egyenletek	Feladatmegoldás		
2. Elsőrendű lineáris egyenletek	Feladatmegoldás		
3. Bernoulli, Ricatti egyenletek, alkalmazások	Feladatmegoldás,
Számítógépes vizualizáció		
4. Egzakt egyenletek, az integrálfaktor módszere	Feladatmegoldás		
5. Parametrikusan megoldható egyenletek, Sophus Lie módszere	Feladatmegoldás		
6. Magasabbrendű egyenletek 	Feladatmegoldás		
7. Integrálegyenletek, szukcesszív iterációk, sorbafejtés	Feladatmegoldás		
8. Lineáris egyenletek	Feladatmegoldás		
9. Inhomogén lineáris egyenletek	Feladatmegoldás		
10. Lineáris rendszerek	Feladatmegoldás		
11. Inhomogén lináris rendszerek	Feladatmegoldás		
12. Metrikák, létezési tételek	Feladatmegoldás		
13. A megoldások tulajdonságainak vizsgálata (létezés, egyértelműség, deriválhatóság)	Feladatmegoldás
Számítógépes szimulációk		
14. Stabilitás vizsgálata	Számítógépes szimulációk		
Könyvészet
1.	G. MICULA, P. PAVEL, Ecuatii diferentiale si integrale prin exercitii si probleme, Ed. Dacia, Cluj, 1989.
2.	Constantin Tudosie: Probleme de ecuaţii diferenţiale, Ed. Dacia, Cluj Napoca 1990.
3.	G. Moroşanu: Ecuaţii diferenţiale. Aplicaţii, Editura Academiei 1989.
4.	M. Ghermãnescu: Culegere de probleme de ecuaţii diferenţiale, Ed. did. şi ped., 1963.
5.	Ioan Filimon, Mircea V. Soare: Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în mecanica construcţiilor, Ed. Tehnicã 1983.
6.	M.L.Krasnov, A.I.Kiselyor, G.I.Makarenko: A book of  problems in ordinary differential equations, Mir Publishers Moscow, 1981.
7.	Ray Redheffer: Differential equations. Theory and applications. Jones and Bartlett Publishers, Boston 1991.
8.	D. S. Mitrinović, P. Vasič: Diferentijalne i integralne jednacine, 1988	

9. A tárgy tartalmának összhangba hozása az episztemikus közösségek képviselői, a szakmai egyesületek és a szakterület reprezentatív munkáltatói elvárásaival.
•	 Modellezési feladatok tárgyalása
•	Szimulációk készítése, matematikai szoftverek használata	

10. Értékelés
Tevékenység típusa	10.1 Értékelési kritériumok	10.2 Értékelési módszerek	10.3 Aránya a végső jegyben	
10.4 Előadás 	Alapfogalmak pontos ismerete	Írásbeli és szóbeli vizsga	50%	
	Bizonyítások ismerete			
10.5 Szeminárium / Labor	Feladatok helyes megoldása	Két zárthelyi dolgozat (az 5. és a 10. szeminárium után)	20%+20%	
	Szemináriumi tevékenység	Házi feladatok, táblánál megoldott feladatok	10%	
10.6 A teljesítmény minimumkövetelményei	
•	 Mindkét zárthelyi dolgozaton el kell érni a 6-os jegyet, illetve az írásbeli dolgozaton a 7-est
•	Ha valaki nem vesz részt a zárthelyiken (vagy nem szeretné azok beszámítását a végső jegybe), akkor szóbelizhet a teljes anyagból villámkérdéses módszerrel.

Kitöltés dátuma			Előadás felelőse			Szeminárium felelőse
..2012. 09.20.....							 		
Az intézeti jóváhagyás dátuma				Intézetigazgató	
..........................						Dr. Szenkovits Ferenc, egyet. docens
..........................