Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Didactică
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MML1006	Teme de algebră I (pentru perfecţionarea profesorilor)	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
1	2+1+0+1	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
BREAZ Simion Sorin	Dr. 	Conf.	Matematică	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Aprofundarea si completarea cunostintelor de combinatorica. Prezentarea unor rezultate de combinatorica multimilor, a polinoamelor, a teoriei numerelor si a teoriei grupurilor. O introducere in teoria grafurilor. Aprofundarea cunostintelor referitoare la grupurile de permutari, completarea acestora si aplicarea lor in probleme de colorare.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Multimi, relatii, functii.
2. Aranjamente, permutari si combinari (cu repetitie si fara repetitie).
3. Combinatorica polinoamelor. Binomul lui Newton si formula multinomului.
4. Combinatorica multimilor. Principiul includerii si al excluderii.
5. Numerele lui Stirling, Bell, Fibonacci si Catalan.
6. Partitii ale unui intreg.
7. Grafuri. Numararea arborilor. Determinarea numarului subarborescentelor unei arborescente.
8. Grupuri de permutari. Teorema lui Burnside.
9. Probleme de colorare. Metoda de numarare Polya - De Bruijn.
10. Formule de inversiune. Grupul functiilor aritmetice. Functia lui Moebius.	

V. Bibliografie
1. Berge, C., Graphes et hypergraphes, Dunod, Paris, 1970.
2. Berge, C.,  Teoria grafurilor si aplicatiile ei, Editura Tehnica, 1969.
3. Breaz, S.; Covaci, R., Elemente de logica, teoria multimilor si aritmetica, Editura Fundatiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006.
4. Covaci, R., Algebra si programare liniara, Litografia Universitatii Babes-Bolyai, Cluj-Napoca, 1986.
5. Ion, D. I.; Nita, C.; Nastasescu, C., Complemente de algebra, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1984.
6. Nastasescu, C.; Nita, C.; Brandiburu, M.; Joita, D., Exercitii si probleme de algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.
7. Popescu, D.; Oboroceanu, G., Exercitii si probleme de algebra, combinatorica si teoria numerelor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1979.
8. Purdea, I.; Pelea, C., Probleme de algebra, Editura Fundatiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2005.
9. Tomescu, I., Introducere in combinatorica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1972. (Editia engleza: Introduction to combinatorics, Collet’s Publishers Ltd., London and Wellingborough, 1975).
10. Tomescu, I., Probleme de combinatorica si teoria grafurilor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981. (Editia engleza: Problems in combinatorics and graph theory, John Wiley, New York, 1985).	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
1. Multimi, relatii, functii 
       [3, Cap. I: 1. – 4.]; [1, Cap. 2: 2.2. – 2.5., 2.7., Cap. 3: 3.1.]; [8, Cap. 1: 1.52]
-	Relatie binara, relatii binare omogene, relatii de echivalenta si partitii, relatii de ordine.
-	Functii, functii injective, surjective, bijective, inversa unei bijectii.
-	Notiunea de numar cardinal.
2. Aranjamente si permutari
       [1, Cap. 4: 4.4.1., 4.4.2.]; [4, Cap.I: 2.1., 2.2.]
-	Cuvinte peste o multime nevida, aranjamente cu repetitie. Multimi ordonate, aranjamente fara repetitie.
-	Permutari fara repetitie. Numarul functiilor bijective intre doua multimi finite. Permutari cu repetitie.
3. Combinari
       [1, Cap. 4: 4.4.3.]; [4, Cap. I: 2.3., 2.4.]
-	Combinari fara repetitie. Legatura dintre acestea si numarul functiilor strict crescatoare intre multimi ordonate finite.
-	Combinari cu repetitie.
4. Binomul lui Newton si formula multinomului  
       [4, Cap. I: 2.5.]
-	Numarul termenilor in scrierea canonica a unui polinom omogen, respectiv neomogen de gradul k in n nedeterminate.
-	Formula unui produs de binoame. Binomul lui Newton.
-	Formula multinomului (puterea unei sume).
5. Combinatorica multimilor. Principiul includerii si al excluderii
       [9, Cap. 3]
-	Masura unei multimi. Principiul includerii si al excluderii. Dualizarea acestuia. Formula lui Sylvester. Aplicatii: a) Determinarea functiei lui Euler; b) Determinarea numarului  sn,m  al functiilor surjective intre doua multimi finite cu n, respectiv m elemente.
6. Numerele lui Stirling si Bell
       [9, Cap. 4]
-	Numerele lui Stirling de prima speta s(n,k): definitie si calculul lor prin recurenta.
-	Numerele lui Stirling de speta a doua S(n,m): definitie, calculul lor prin recurenta, calculul lor direct.
-	Numarul lui Bell Bn: definitie si calcul prin recurenta.
7. Numerele lui Fibonacci si Catalan
       [9, Cap. 4]
-	Numerele lui Fibonacci Fn: definitie, relatie de recurenta.
-	Numerele lui Catalan Cn: definitie, relatie de recurenta, functia generatoare, expresia numerelor lui Catalan.
8. Partitii ale unui intreg
       [9, Cap. 5]
-	Notiunea de partitie a numarului natural n in m parti.
-	Numarul P(n,m) al tuturor partitiilor lui n in m parti, o relatie de recurenta pentru P(n,m).
-	Proprietati ale partitiilor unui intreg.
9. Grafuri. Numararea arborilor
       [9, Cap. 6]
-	Elemente de teoria grafurilor: graf neorientat, lant, ciclu, graf conex, subgraf, graf partial al unui graf, gradul unui varf, numar ciclomatic al unui graf.
-	Arbori, caracterizarea arborilor. Unele rezultate asupra numararii arborilor etichetati.
10. Arborescente si subarborescente. Determinarea numarului subarborescentelor unei      arborescente
       [9, Cap. 7]
-	Grafuri orientate, drum intr-un graf orientat, arborescenta de radacina x1, subarborescenta de aceeasi radacina x1.
-	Numararea tuturor subarborescentelor de aceeasi radacina ale unei arborescente A de radacina x1, folosind polinomul de o variabila reala asociat arborescentei A.
11. Grupuri de permutari
       [9, Cap. 8: 8.1., 8.2., 8.3.]
-	Grupul simetric de grad n, Sn, permutari de grad n. Grup de permutari.
-	Cicluri in Sn. Cicluri disjuncte. Ciclurile disjuncte comuta. Orice permutare de grad n se scrie in mod unic ca produs de cicluri disjuncte. Ciclurile unei permutari. Reprezentarea unei permutari de grad n printr-un graf orientat. Fiecare componenta conexa a acestui graf este un circuit, care corespunde unui ciclu din descompunerea permutarii date in produs de cicluri disjuncte.
-	Permutari conjugate in Sn. Determinarea numarului de permutari dintr-o clasa de echivalenta fata de relatia de conjugare a permutarilor din Sn (formula lui Cauchy).
-	Paritatea unei permutari. Signatura unei permutari. Grupul altern de grad n, An.
12. Teorema lui Burnside. Permutari circulare si arbori
       [9, Cap. 8: 8.4., 8.5.]
-	Orbitele unui grup de permutari. Determinarea numarului de orbite ale unui grup de permutari (Teorema lui Burnside).
-	Notiunea de permutare circulara. Graful neorientat atasat unei multimi de transpozitii din Sn.
-	O multime T formata din n-1 transpozitii genereaza pe Sn daca si numai daca graful atasat lui T este un arbore.
-	Numarul de moduri de a scrie o permutare circulara de gradul n ca produs de n-1 transpozitii este nn-2.
13. Probleme de colorare
       [9, Cap. 9: 9.1.]
-	Functie de colorare (colorare), o relatie de echivalenta in multimea colorarilor, scheme de colorare (clasele de echivalenta). Indicatorul de cicluri al unui grup G de permutari de obiecte. Numararea schemelor de colorare in raport cu grupul G de permutari de obiecte (Teorema lui Polya).
-	Numarul de scheme de colorare, in raport cu grupul G de permutari de obiecte, care utilizeaza fiecare culoare de un numar dat de ori (Teorema lui Polya).
14. Formule de inversiune. Functia lui Moebius
       [9, Cap. 10]
-	Prima formula de inversiune. Conditii in care pot fi inversate formulele obtinute in anumite probleme de numarare, in care functiile necunoscute apar in sume. Aplicatie: Aranjarea in casute a unor multimi de obiecte identice.
-	Multimi ordonate local finite. Grupul functiilor aritmetice. Functia lui Moebius. Teorema de inversiune a lui Moebius.

VII. Metode didactice folosite
Prelegeri, expuneri, conversatia, demonstratia didactica, algoritmizarea, problematizarea, studiul 
individual, exercitiul, referate.	

VIII. Evaluare
Examen scris (nota E). Subiectele de examen vor consta din intrebari teoretice si exemple din materia predata la curs. 
Fiecare student va prezenta la seminar cate un set de probleme rezolvate, fie probleme date ca tema, fie organizate sub forma unui referat (nota R). 
Nota finala N se obtine astfel:  N = (E + R) / 2.	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	Dinescu, C.; Savulescu, B., Initiere in matematica aplicata, Editura Albatros, Bucuresti, 1984.
2.	Ghircoiasiu, N.; Iasinschi, M, Fise de algebra, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1976.
3.	Harris, J. M.; Hirst, J. L.; Mossinghoff, M. J., Combinatorics and Graph Theory, Springer, 2000.
4.	Speranza, F., Relatii si structuri, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1975.	

	Decan,							Sef de departament,

	Data,							Titular curs,
	01.10.11						Conf. Dr.  BREAZ Simion Sorin