Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Computaţională - în limba maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMG1014	Teorie Morse şi aplicaţii	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
2	2+1+0+1	szaktárgy	kötelezö	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
VARGA Csaba Gyorgy	Dr. 	Prof.	Magyar Matematika és Informatika	*			

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
Jelen előadás célja azon algebrai topologia, kritikus pontok elméleti illetve Morse elméleti alapok elsajátitása amelyeket alkalmazni lehet a variaciószámításban és a parciális differenciálegyenletek elméletében. Ezen kereten belül a diákok elsajátitják a homotopia és kohomologia elmélet fontosabb tulajdonságait.  Itten megemítjük az Alexander-Spanier kohomologia elméletet, a pricipális fibrálásokat valamint a kohomologikus indexet és ennek a tulajdonságait. A következőkben a kritikus elmélet néhány elemét mutatjuk be, vagyis az első és második deformációs lemmát valamint az ebből következő
minimax elveket. Ezekután bevezetjük a kritikus csoprt fogalmát és tanulmányozzuk ezek fontosabb tulajdonságait. Továbbá bemutatjuk a homotopikus és a kohomologikus index fogalmát. A homotopikus és a kohomologikus index fogalmát felhasználva nem-triviális kritikus pontok létezését mutatjuk ki. Ezekután a kritikus pontok multiplicitását vizsgaljuk, amelyek egy Banach teren illetve egy Finsler sokaságon vannak ertelmezve. Felhasználva ezeklet a fogalmakat p-kvázilineáris feladatok sajátértékeit tanulmányozzuk p-szublineáris, p-szuperlineáris és aszimptotikusan  p-lineáris rezonancia és nem-rezonancia feladatokat tanulmanyozzunk. Külön fejezetet szentelünk a Dancer-Fucik spektrum tanulmányozásának.	

IV. A tantárgy tartalma
Az előadás tartalmazza azokat a szükséges mértékelméleti, Szoboljev terek elmeletének elemeit amelyek szükségesek parciális differenciálegyenletek tárgyalásához. Az előadás tartalmazza még a homotopia, homologia elemeit, amelynek segítségével értelmezhető a kritikus csoport, homotopikusan és komologikusan kapcsolodó halmazok. Ezek után bemutatjuk az első illetve a második deformációs lemmat. Majd ezen eszközök segítségével tanulmányozzuk a különböző sajátérték feladatokat valamint a Dancer-Fucik spektrumot. 	

V. Könyvészet
1. K. Perera, R.P. Agarwal, Donal O’Regan, Morse theoretic Aspects of p-Laplaccian Operators, AMS, 2010.
2. K.-C. Chang, Infinite Dimensional Morse Theory and Multiple Solution Problems, Birkhauser Boston 1993.

3. R. A. Adams, Sobolev Space. Academic Press, 1975.

4. E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw-Hill Book, 1966. 	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
Előadások
   1. Előadás: Szoboljev terek
 -  A Szoboljev terek ertelmezése
    -   Beágyazási tulajdonságok
   2.  Előadás:  Integrálfunkcionálok
       - Integrálfunkcionálok
       - Integrálfunkcionálok deriváltja
   3.  Előadás:  Feladatok megfogalmazása
            - gyenge megoldás fogalma
            - példák p-Laplace operátorokra
  4.  Előadás:  Algebra topologiai fogalmak I
           - homotópia fogalma
           - direkt limeszek
           - Alexander-Spanier kohomologia fogalma
 5.  Előadás:  :  Algebra topologiai fogalmak II
          - fibrálások       
    - kohomologikus index 
  6.  Előadás:  Deformaciós tételek
            - első deformációs lema
            - második deformációs lema
  7.  Előadás: Kritikus csoprtok
    - kritikus csoprtok értelmezése és a tulajdonságai
            - homotopikusan és kohomologikusan kapcsolt halmazok
  8.  Előadás: Nemtriviális kritikus pontok
       - Mountain Pass tipúsu pontok
               -  A három kritikuspont tétele
               - lokális kohomologikus felbontások
  9.  Előadás: Polinomelméleti fogalmak  
               - minimal polinomok 
               - szimmetrikus polinomok
               - egy szükséges feltétel a szerkesztésre
  10.  Előadás: Páros funkcionálok
              - multiplicitási tételek
              - pszeudo-indexek
  11.  Előadás:  Funkcionálok Finsler sokaságokon
              -  deformációs tételek
              - - multiplicitási tételek
  12.  Előadás:  p-Laplace tipúsu egyenletek
               - lokális kohomologikus megoldások
               - a sajátértékek metszései     
  13.  Előadás: Dancer-Fucik spektrum
              - a  Dancer-Fucik spectrum értelmezése
              -  görbecsaládok a spektrumban
  14.  Előadás: A kritikus csoportok homotopikus invariánciája     
               -perturmálások és ezen megoldásainak  létezése          
Szemináriumok
   1. Szeminárium:  Uniform Banach terek
   2. Szeminárium:  A Szoboljev terek uniform konvexitása
   3. Szeminárium:  Példák integráfunkcionálokra
   4. Szeminárium:  Hányados topologiák
   5. Szeminárium:  Lánckomplexusok
   6. Szeminárium:  Egzakt sorok
   7. Szeminárium:  Differenciálegyenletek Banach tereken
   8. Szeminárium:  Pszeudo-gradiens vektormezők szerkesztése
   9. Szeminárium:  Példák homotopikusan és kohomologikusan kapcsolt halmazokra
  10. Szeminárium:  Dancer-Fucik spectrum tulajdonságai
  11. Szeminárium:  Multiplicitási tételek
  12. Szeminárium:   egyéni projektet bemutatása (I)
 13. Szeminárium:   egyéni projektet bemutatása (II)
 14. Szeminárium:   egyéni projektet bemutatása (III)	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Előadás, párbeszéd, problematizálás, feladatmegoldások, egyéni és csoportos projektek.	

VIII. Értékelés
                    -  szemináriumi tevekenység          30 %
                      - egyéni dolgozat bemutatása        30%
                      - szóbeli vizsga                       40% 	

IX. Kiegészíto könyvészet
Alberto Abbondandolo, Morse theory for Hamiltonian systems, CHAPMAN & HALL/CRC, 2001.

	

	Dékán						                     Tanszékvezető
  Prof. Dr. Tambulea Leon                                        Conf. Dr. Soós Anna

	Dátum						                 Eloadás felelőse
   2011	oktober 1               				Prof. Dr.  VARGA Csaba György