Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMG1005	Coomologia formelor diferenţiale	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
4	2+1+0+1	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Departamentul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
BLAGA Paul Aurel	Dr. 	Conf.	Matematică	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Cursul de coomologia formelor diferentiale este o continuare naturala a cursurilor de varietati diferentiabile, analiza pe varietati si geometrie riemanniana. Scopul cursului este de a-i familiariza pe studenti cu notiunile de baza ale coomologiei de Rham a varietatilor diferentiabile, o teorie care sta la interfata dintre topologia diferentiala, geometria diferentiala si topologia algebrica. La sfârsitul cursului, studentii trebuie sa fie capabili sa calculeze grupurile de coomologie ale unor varietati standard (spatii euclidiene, sfere, spatii proiective) si sa aiba o imagine de ansambul asupra principalellor aplicatii ale coomologiei de Rham	

IV. Conţinutul disciplinei
Varietati diferentiabile, forme diferentiale si integrare (recapitulare)
Coomologia de Rham, principalelele notiuni si rezultate, aplicatii elementare
Teorie Hodge pe varietati riemanniene
Aplicatii ale coomologiei de Rham la investigarea topologiei unei varietati
Legatura dintre omologie si coomologie, teorema lui de Rham
Aplicatii ale coomologiei de Rham la clasificarea fibratelor vectoriale
Legatura dintre coomologia de Rham, omologia Hochschild si omologia ciclica	

V. Bibliografie
Bott, R., Tu, L.: Differential Forms in Algebraic Topology, Springer, 1982
Connes, A.: Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
Flanders, H.: Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover, 1989
Lafontaine, J.: Introduction aux varietes differentielles, EDP Sciences, 1996
Loday, J.L.: Cyclic Homology, Springer, 1992
Postnikov, M.: Lectures on Differential Geometry, Semester III, Smooth Manifolds, Mir Publishers, 1989
Storch, U., Wiebe, H.: Lehrbuch der Mathematik, Band IV, Analysis auf Mannigfaltigkeiten—Funktionentheorie –  Funktionalanalysis, Spektrum Akademoscher Verlag, 2001
Warner, F.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983
Weibel, Ch.: An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994
von Westenholtz, C.: Differential Forms in Mathematical Physics, North Holland, 1978	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Saptamâna 1: Introducere si recapitulare: forme diferentiale, diferentiala exterioara, integrare pe varietati, teorema lui Stokes [3,4,8]
Saptamâna 2: Coomologia de Rham: definitie, exemple, proprietati elementare [4,7,10]
Saptamîna 3: Interludiu algebric: complexe de (co)lanturi într-o categorie si (co)omologia lor [11]
Saptamîna 4: Proprietati fundamentale ale coomologiei de Rham: invarianta la omotopii, sirul Mayer-Vietoris [4,7]
Saptamîna 5: Primele aplicatii ale coomologiei de Rham: teorema de punct fix a lui Brouwer, câmpuri vectoriale pe sfere, teorema de invarianta a domeniului [4,6] 
Saptamîna 6: Varietati riemanniene, elemente de teorie Hodge [8,10]
Saptamîna 7: Gradul unei aplicatii, numere de legatura,  indicele unui câmp vectorial [4]
Saptamîna 8: Teorema Poincare-Hopf (legatura dintre caracteristica Euler si indicele unui câmp de vectori pe o varietate compacta)[4]
Saptamîna 9: Calculul coomologiei de Rham pentru anumite varietati compacte (spatii proiective, varietati Grassman) [4,6,10]
Saptamîna 10: Curenti, omologia de Rham, teorema de izomorfism a lui de Rham [8]
Saptamîna 11: Fibrate vectoriale si conexiuni pe ele. Curbura unei conexiuni [1,10]
Saptamîna 12: Clase caracteristice si clasificarea fibratelor vectoriale [1]
Saptamîna 13: Obtinerea formelor diferentiale cu ajutorul omologiei Hochschild a algebrei functiilor netede [2,5]
Saptamîna 14: Legatura dintre coomologia de Rham a unei varietati si omologia ciclica a algebrei functiilor netede [2,5]	

VII. Metode didactice folosite

VIII. Evaluare
Examen scris final (70%), referate (30%)	

IX. Bibliografie suplimentară

	Decan,							Director departament,,
Prof. dr. Leon Tambulea                               Prof. dr. Radu Precup
	Data,							Titular curs,
  20.12.2011								Conf. Dr.  BLAGA Paul Aurel