Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MME0004	Ecuaţii cu derivate parţiale	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
5	2+2+0+0	szaktárgy	kötelezö	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
ANDRAS Szilard Karoly	Dr. 	Lect.	Magyar Matematika és Informatika	*			

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
Bevezetés a lineáris parciális differenciálegyenletek klasszikus és modern elméletébe.	

IV. A tantárgy tartalma
1. Modellezési feladatok, amelyek PDE-hez vezetnek. Másodrend? PDE kanonikus alakja és osztályozása. PDE-hez tartozó feladatok (Dirichlet, Neumann, vegyes peremérték feladatok)
2. Elliptikus egyenletek klasszikus elmélete. A Gauss Ostrogradski tétel és a Green képletek. A Laplace egyenlet alapmegoldásai és a Riemann- Green reprezentációs tétel. Harmonikus függvények középérték tétele. A maximum elv. A klasszikus Dirichlet feladat megoldásának egyértelm?sége és az adatoktól való folytonos függése. A tartomány Green függvénye és a Dirichlet feladat megoldásának integrálreprezentációja. A gömb Green függvénye és a Poisson képlet. A Neumann feladat tanulmányozása.
3. Elliptikus feladatok Sobolev terekben. Disztribúciók, Sobolev terek, a Poincare egyenl?tlenség. A Dirichlet elv, a Dirichlet feladat megoldásának egyértelm?sége. Sajátértékek és sajátfüggvények Hilbert terekben, a Laplace operátor sajátértékei és sajátfüggvényei.
4. Evolúciós egyenletek. A h?vezetés egyenletére vonatkozó maximum elv. A h?vezetés és a húrrezgés egyenletére vonatkozó vegyes (Cauchy-Dirichlet) feladatat. Alapmegoldások. A Cauchy feladat és a megoldások reprezentációja. 

V. Könyvészet
1. BARBU, V., Probleme la limita pentru ecuatii cu derivate partiale, Ed. Acad. Române, Bucuresti, 1993.
2. BRÉZIS, H., Analyse fonctionelle. Théorie et applications, Masson, Paris, 1983.
3. GILBARG, D., TRUDINGER, N.S., Elliptic partial differential equations of second order, Springer, Berlin, 1983.
4. PRECUP, R., Lectii de ecuatii cu derivate partiale, Presa Universitara Clujeana, 2004.
5. SIMON, L., BADERKO, E.A., Másodrendu parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
6. SZILÁGYI P., Másodrendu parciális differenciálegyenletek, BBTE, Kolozsvár, 1998.
7. VLADIMIROV, V.S., Ecuatiile fizicii matematice, Ed. St. Enc., Bucuresti, 1981 (Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Muszaki Kiadó, Budapest, 1980).
8. TRIF, D., Ecuatii cu derivate partiale, UBB, Cluj, 1993.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
I. Fizikai és biológia problémák, amelyek parciális differenciálegyenletekhez vezetnek. Els?rend? lineáris és kvázilineáris parciális differenciálegyenletek megoldásának el?állítása.
II. Másodrend? parciális differenciálegyenletek kanonikus alakja és osztályozása. Dirichlet feladat, Neumann feladat, vegyes feladatok 
III. Fourier sorok és a szétválasztás módszere peremérték feladatok esetén.
IV. Green képletek, a Laplace egyenlet alapmegoldásai, a Riemann-Green reprezentációs tétel, harmonikus függvények középérték tétele.
V. A maximum elv. A klasszikus Dirichlet feladat megoldásának egyértelm?sége és az adatoktól való folytonos függés. A Neumann feladat tanulmányozása.
VI. Tartományok Green függvénye, a Dirichlet feladat megoldásának reprezentációja, a gömb Green függvénye, Poisson és Dini típusú integrálreprezentációk
VII. A Dirichlet elv és következményei
VIII. Sobolev terek, beágyazások, Poincaré egyenl?tlenség
IX. Sajátértékek és sajátfüggvények Hilbert terekben, a Laplace operátor sajátértékei és sajátfüggvényei
X. A Dirichlet és a Neumann feladat általánosított megoldása, a megoldások egyértelm?sége
XI. A szétválasztás módszere evolúciós egyenletek esetén
XII. A h?vezetés egyenletére vonatkozó maximum elv
XIII. A h?vezetés és a húrrezgés egyenletére vonatkozó vegyes (Cauchy-Dirichlet) feladatat.
XIV. Alapmegoldások. A Cauchy feladat és a megoldások reprezentációja.

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek

VIII. Értékelés
I.	Felmérés módja:
El?adásokon és szemináriumokon kifejtett tevékenység 20%
Projekt (házi dolgozat, program) 30%
Írásbeli vizsga 50%

II.	Szervezési részletek, kivételes esetek kezelése:
Ha valaki a tevékenységek több mint 40%-áról hiányzott, akkor egy külön dolgozatot kell bemutatnia az oktató által kijelölt témából, a vizsgán való csalás a vizsgáról való kizárást vonja maga után.

IX. Kiegészíto könyvészet

	Dékán,						Tanszékvezeto,

	Dátum,						Eloadás felelose,
								Lect. Dr.  ANDRAS Szilard Karoly