Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Aplicată
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMC1004	Procese liniare de aproximare	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
3	2+1+0+1	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
AGRATINI Octavian	Dr. 	Prof.	Matematică	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
1. Aprofundarea diferitelor tehnici de constructie a operatorilor liniari si pozitivi.
2. Cunoasterea unor clase remarcabile de operatori de aproximare de tip discret si continuu.
3. Cunoasterea elementelor de analiza Fourier si wavelets.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Teoreme de baza pentru aproximarea functiilor prin operatori liniari si pozitivi. Închideri Korovkin. Modul de continuitate. 
2. Operatori discreti pentru aproximarea functiilor definite pe intervale nemarginite. Extensii integrale de tip Kantorovich si Durrmeyer. Metode de sumare. Operatori invarianti la translatii.
3. Transformari Fourier. Proprietati. Formulele Gabor pentru transformari Fourier cu fereastra glisanta. 
4. Transformari wavelet. Analiza de rezolutie multipla. Descompuneri si reconstructii wavelet.	

V. Bibliografie
1. Agratini, O., Aproximare prin operatori liniari, Presa Universitara Clujeana, 2000.
2. Stancu, D. D., Coman, Gh., Agratini, O., Trîmbitas, R., Analiza numerica si teoria aproximarii, Vol I, Presa Universitara Clujeana, 2001.
3. Agratini, O., Blaga, P., Coman, Gh., Lectures on Wavelets, Numerical Methods and Statistics, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2005.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs 1  Operatori liniari si pozitivi: definitii, proprietati. Teoremele Bohman-Korovkin .
				Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap. 1,  § 1.1]
   Seminar:  Spatii de functii si proprietatile lor caracteristice. Inegalitati în spatii normate.	

Curs 2  Modulul de continuitate: definitie, proprietati.
				Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.1, § 1.2-1.3]
   Seminar:  Element de cea mai buna aproximare pentru o functie data.

Curs 3   Teoreme de evaluare a erorii determinata de aproximarea unei functii cu un operator liniar si pozitiv.
				Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.1, § 6]
   Seminar:  Polinoamele fundamentale Bernstein. Operatorii Bernstein si proprietatile lor.

Curs 4  K-functionale: definitii, proprietati.
  		                        Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.1, § 1.4]
   Seminar:  Siruri de operatori de tip discret: Szasz, Baskakov. Proprietati.

Curs 5  Generalizari integrale ale operatorilor de tip discret. Operatorii Kantorovich si operatorii Durrmeyer; proprietati.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.6, § 6.2.6 - 6.2.7]
   Seminar: Produs de convolutie, proprietati.

Curs 6  Teorema Toeplitz. Metode de sumare: Cesaro, Euler, Jakimovski.
        			Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.3, § 3.6]
    Seminar:   Operatori de convolutie. Proprietati de aproximare.

Curs 7  Scheme aleatoare. Operatori de tip Feller.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.6, § 6.4.1 – 6.4.2]
   Seminar:  Ora rezervata unei lucrari scrise.

Curs 8  Studiul probabilistic al proprietatilor operatorilor liniari. Semigrupuri de operatori.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.6, § 6.4.6]
	Seminar:  Operatorii Stancu generati de schema probabilistica Markov-Polya.
	.
Curs 9  Aproximare în spatii periodice.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1, § 1.2]
	Seminar:  Transformari Fourier. Proprietati. 

Curs 10  Functii fereastra. Transformata Fourier cu fereastra glisanta si formulele Gabor.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1, § 1.2]
	Seminar:  Exemple de ferestre: calculul centrului si a razei.
	
Curs 11  Notiunea de wavelet. Tehnica aproximarii semnalelor prin analiza wavelet.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1, § 1.3.1]
	Seminar:  Sistemul Haar – Exemplu de functie wavelet ortogonala.

Curs 12  Analiza de rezolutie multipla (MRA). 
                                            Reper în bibliografia obligatorie [3 ; Cap.1, § 1.3.2 – 1.3.4]
	Seminar:  Functii B-spline;  proprietati; utilizarea functiilor în construirea unei (MRA).
		
Curs 13  Transformari wavelet: descompunerea si reconstructia semnalelor.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1; § 1.3.5 – 1.3.6]
	      Seminar:  Variante de transformari wavelet integrale. Formule de reconstructie.

Curs 14  Operatori liniari invarianti la translatii.
	Seminar:  Operatori liniari generati de o functie de scalare. Caz discret si caz integral.
                                    Bibliografie: materialul reprezinta o sinteza a unor articole recent aparute	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, modelarea, problematizarea, exercitiul, studiul individual	

VIII. Evaluare
Pe parcursul semestrului - o lucrare scrisa.
În sesiune -  examen scris.
Nota finala este media aritmetica a celor doua note având ponderile 1/3, respectiv 2/3. 	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Francesco Altomare, Michele Campiti, Korovkin – type ApproximationTheory and its   
   Applications, de Gruyter Studies in Mathematics, Vol. 17, Walter de Gruyter, Berlin New York,   
   1994.
2. Lokenath Debnath, Wavelet Transforms & Their Applications, Birkhauser, Boston, 2002.	

	Decan,							Sef de departament,
      Prof. Dr. Tambulea Leon                                    Prof. Dr. Precup Radu

	Data,							Titular curs,
        1 octombrie, 2011                                               Prof. Dr.  Agratini Octavian