Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMC0001	Komplex analisz	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
3	2+2+0+0	szaktárgy	kötelezö	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
BULBOACA Teodor	Dr. 	Prof.	Magyar Matematika és Informatika	*	*		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A tantárgy célja alapismeretek elsajátítása az egyváltozós komplex függvények elméletében, ugyanakkor ezen elméleti tudnivalók egyes alkalmazásainak bemutatása. A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek:
(a) a komplex sík topológiájához kapcsolódó alapfogalmak ismerete
(b) a holomorf függvények elméletének megértése, a komplex integrálok és a holomorf függvények hatványsorba való fejtésének ismerete
(c) ismerje a komplex integrálok kiszámítását, és ezeket alkalmazza valós integrálok kiszámításánál és valós analízisben
(d) a komplex analízis egyes sajátos módszereinek elsajátítása, a matematika más szakterületein való alkalmazási lehetoségekkel, illetve fizikában és technikában.	

IV. A tantárgy tartalma
A tantárgy keretein belül tárgyalt témakörök:
1. Komplex számok. A kiterjesztett komplex számsík. A sztereografikus projekció. (1 eloadás)
2. Holomorf függvények. Komplex függvény deriváltja. Cauchy-Riemann feltételek. A derivált geometriai interpretációja. Egész függvények. A lineáris törttranszformáció. Alkalmazások. (3 eloadás)
3. Komplex függvények integrálása. Cauchy integrál. Cauchy integráltétele. Cauchy képletei. (3 eloadás)
4. Holomorf függvényekbol alkotott sorozatok és sorok. Holomorf függvényekbol alkotott sorozatok. Weierstrass tétele. Hatványsorok. Holomorf függvények analitikussága. Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele. Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Laurent-sorok. Szinguláris pontok. Meromorf függvények. (4 eloadás)
5. A reziduumok tétele. Alkalmazások. (3 eloadás)	

V. Könyvészet
1. Petre Hamburg, Petru Mocanu, Nicolae Negoescu: Analiza matematica (Functii complexe), Bucuresti: Editura Didactica si Pedagogica, 1982.
2.  Petru Mocanu: Functii complexe, Cluj-Napoca, Lit. Univ. Cluj, 1972. 
3. Octav Mayer: Teoria functiilor de o variabila complexa (vol. I, II), Bucuresti, Editura Academiei Române, 1981-1990.
4. J. B Conway: Functions of one complex variable II, Graduate Texts in Mathematics, 159, New York, Springer Verlag, 1996.
5. Steven Krantz: Handbook of complex variables, Boston, Basel, Berlin: Birkhauser Verlag, 1999.
6. L. Volkovysky, G. Lunts, I. Aramanovich: Problems in the theory of functions of a complex variables, Moskow: Mir Publishers, 1977.
7. M. Evgrafov, K. Bejanov, Y. Sidorov, M. Fedoruk, M. Chabounine: Recueil de problčmes sur la théorie des  fonctions analytiques, Moscou: Editions Mir, 1974.
8. Gheorghe Calugareanu: Elemente de teoria functiilor de o variabila complexa, Bucuresti, Editura Didactica si Pedagogica, 1963.
9. Gheorghe Oros, Petru Mocanu: Functii complexe, Oradea, Editura Universitatii Oradea, 2001. 
10. Dumitru Gaspar, Nicolae Suciu: Analiza complexa, Bucuresti, Editura Academiei Române, 1999.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1. eloadás
Komplex számok. A komplex számtest, a komplex sík. A komplex sík metrikus-topológikus szerkezete. Komplex függvény, határérték, folytonosság. A kiterjesztett komplex számsík. A sztereografikus projekció.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 1-14 oldal

1. szeminárium
Komplex számok. Komplex függvény, határérték, folytonosság.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 1-29 oldal

2-dik eloadás
Holomorf függvények. Valós változójú komplex függvények deriválása. Komplex függvény R-differenciálja. Komplex függvény deriváltja: Cauchy-Riemann feltételek.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 23-32 oldal

2-dik szeminárium
Valós változójú komplex függvények deriválása. Komplex függvény deriváltja: Cauchy-Riemann feltételek.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 29-40 oldal

3-dik eloadás
Holomorf függvények. A derivált geometriai interpretációja. Egész függvények.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 33-44 oldal

3-dik szeminárium
Egész függvények.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 40-56 oldal

4-dik eloadás
A lineáris törttranszformáció. Többértéku függvények.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 44-56 oldal

4-dik szeminárium
A lineáris törttranszformáció. Többértéku függvények.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 57-79 oldal

5-dik eloadás
Komplex függvények integrálása. Az utak homotópikus elmélete.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 65-73 oldal

5-dik szeminárium
Komplex függvények integrálása.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 79-95 oldal

6-dik eloadás
A komplex integrál. Cauchy integráltétele.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 81-94 oldal

6-dik szeminárium
A komplex integrál. Cauchy integráltétele.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 96-116 oldal

7-dik eloadás
Cauchy képletei a korongra. A Cauchy képletei néhány következménye.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 94-108 oldal

7-dik szeminárium
Cauchy képletei a korongra. Alkalmazások.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 116-132 oldal

8-dik eloadás
Holomorf függvényekbol alkotott sorozatok: Weierstrass tétele. Függvénysorok. Hatványsorok.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 121-129 oldal

8-dik szeminárium
Hatványsorok.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 133-157 oldal

9-dik eloadás
Holomorf függvények analitikussága. Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 129-135 oldal

9-dik szeminárium
Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 180-190 oldal

10-dik eloadás
Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Laurent-sorok.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 135-145 oldal

10-dik szeminárium
Laurent-sorok.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 157-174 oldal

11-dik eloadás
Izolált szinguláris pontok. Meromorf függvények.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 145-154 oldal

11-dik szeminárium
Izolált szinguláris pontok.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 174-180 oldal

12-dik eloadás
A reziduumok tétele.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 163-167 oldal

12-dik szeminárium
A reziduumok tétele.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 191-228 oldal

13-dik eloadás
A reziduumok tételének alkalmazása trigonometrikus és néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 167-174 oldal

13-dik szeminárium
A reziduumok tételének alkalmazása trigonometrikus és néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 228-246 oldal

14-dik eloadás
A reziduumok tételének alkalmazása néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 174-182 oldal

14-dik szeminárium
A reziduumok tételének alkalmazása néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboaca, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 246-262 oldal	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek

VIII. Értékelés
Az egyetemisták értékelése az alábbi módon történik:
(a) félévenként három felméro dolgozat írása, az alábbiak szerint:
- az elso felméro az 1. és 2-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a második felméro a 2-dik, 3-dik és 4-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a harmadik felméro a 4-dik és 5-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
(b) írásbeli vizsga, a következo összetételben: 60% feladat megoldási készség és 40% elméleti ismeretek.
A végso jegy az (a) és (b) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.	

IX. Kiegészíto könyvészet

	Dékán,						Tanszékvezeto,

	Dátum,						Eloadás felelose,
	27.11.2011						Prof. Dr.  BULBOACA Teodor