Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Didactică - în limba maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMA1021	Aspecte metodice în analiza elementară I	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
3	2+1+0+1	szaktárgy	kötelezö	

II. Főállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
FINTA Zoltán	Dr. 	Conf.	Magyar Matematika és Informatika	*			

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkitüzései
A tantárgy célpontjai:  a valós változós valós függvények differenciál- és integrálszá-
mítás fontosabb fejezeteinek és eszköztárának a bemutatása, amely nélkülözhetetlen egy 
jövendőbeli matematika szakos tanár számára.Az előadások és a szemináriumok tartalma 
nem az aktuális XI.-es és  XII.-es matematikai analízis tankönyvek feldolgozásai, hanem ezeknek egy magasabb szinten való bemutatásai.
A tantárgy által biztosított szakértelem:   az előadások és szemináriumok befejezése után az 
egyetemi hallgató kell rendelkezzen mindazon szükséges ismeretekkel, melyek lehetővé teszik számára 
a XI. és XII. osztályos matematikai analízis tanítását. Ugyanakkor a tantárgy során bemutatott hibás
feladatmegoldások, példák és ellenpéldák azt hivatottak szolgálni, hogy megelőzzük a tartalmi hibák
előfordulását a középiskolai  matematikai analízis oktatásában.	

IV. A tantárgy tartalma
A bemutatásra kerülő fontosabb fejezetek a következők: valós számsorozatok, valós számsorok, folytonos függvények, deriválható függvények, konvex függvények, primitív függvények, Darboux-tulajdonságú függvények, Riemann-integrálható függvények, improprius integrálok, függvénysorozatok.
  1)  Riemann-integrálható függvények 
  2)  Sajátos  függvényosztályok 
  3)  Az integrálszámítás középértéktételei
  4)  Diszkrét egyenlőtlenségek, integrálegyenlőtlensegek
  5)  Numerikus integrálás
  6)  A Riemann-integrálok alkalmazásai
  7)  Improprius integrálok  
  8)  Függvénysorozatok
  9)  Függvénysorozatok 
10)  Versenyfeladatok bemutatása  	

V. Könyvészet
1)	Balázs M. -  Hatházi A. :  Matematika,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
2)	Balázs M. :  Matematika analízis,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
3)	Crăciun C.V. :  Analiză matematică (Materiale pentru perfecţionarea profesorilor de liceu),  Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică, Bucureşti, 1992.
4)	Crăciun C.V. : Contraexemple în analiza matematică,  Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică, Bucureşti, 1989.
5)	Crăciun C.V. : Teoreme de medie din analiza matematică,  Universitatea  din   
      Bucureşti,  Facultatea  de  Matematică,  Bucureşti, 1986.
6)	Gelbaum B.R. – Olmsted J.M.H. :  Contraexemple în analiză,  Editura Ştiinţifică,
Bucureşti, 1973.
7)	Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial şi integral,  vol. I-II, Editura Ştiinţifică şi    
      Enciclopedică,  Bucureşti, 1985.
8)	Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial, Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică,  Bucureşti,  1983.
9)	Sireţchi Gh. :  Funcţii cu proprietatea Darboux, Universitatea din Bucureşti, Facultatea  de  Matematică,  Bucureşti,  1986.
    10)   Rădulescu  S. – Rădulescu  M. :  Teoreme şi probleme de analiză matemaitică,
            Editura  Didactică  şi  Pedagogică,  Bucureşti, 1982.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1)  Riemann-integrálható függvények 
      - Lebesgue (illetve Jordan) értelemben nullamértékű halmazok,  a Riemann-integrálhatóság Lebesgue-kritériuma, következmények  [7, I, 319-329]
1)  Riemann-integrálható függvények 
      - sorozatok határértékének kiszámítása Riemann-integrál segítségével ;  gyakorlatok és feladatok  [7, II, 412-472],  [3, 108-118],  [4, 49-56]

2)  Sajátos  függvényosztályok 
      - monoton függvények,  páros függvények,  páratlan függvények,  periódikus függvények,  lineáris függvények,  primitív függvények meghatározása  [7, I, 117-120,
122-123, 126-128],  [6; 62, 66, 67, 72, 82, 84, 149, 162, 163]
2)  Sajátos  függvényosztályok 
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 155-157,  160-163,  168-170]

3) Az integrálszámítás középértéktételei
     - az integrálszámítás első középértéktétele, Abel-féle transzformáció, az integrálszámítás második középértéktétele [7, I, 330-332]
3) Az integrálszámítás középértéktételei
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 412-472],  [4, 99-112]

4) Diszkrét egyenlőtlenségek, integrálegyenlőtlensegek
     - középarányosok közötti egyenlőtlenség, Bernoulli-egyenlőtlenség, Young – egyenlőtlenség,  Hölder-egyenlőtlenség,  Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség, Minkowski-egyenlőtlenség, Csebisev-egyenlőtlenség   [7, I, 38-41],  [7, II, 27]
     - integrálegyenlőtlenségek:  Young–egyenlőtlenség,  Hölder-egyenlőtlenség,  Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség, Minkowski-egyenlőtlenség, Csebisev-egyenlőtlenség,  Jensen- egyenlőtlenség  [7, I, 352-356],  Hadamard-egyenlőtlenség  [7, II, 448]
4) Diszkrét egyenlőtlenségek, integrálegyenlőtlensegek
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 412-472]

5)  Numerikus integrálás
      - Lagrange-féle interpolációs képlet, téglalapformula, trapézformula, Simpson-féle képlet  [7, I, 487-498]
5)  Numerikus integrálás
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 554-559]

6)  A Riemann-integrálok alkalmazásai
     - területszámítás, ívhosszszámítás,  forgástestek térfogatszámítása, forgástestek felszínszámítása  [7, I, 366-378]
6)  A Riemann-integrálok alkalmazásai
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 473-484]

7)  Improprius integrálok  
      - konvergencia kritériumok, az improprius integrál kapcsolata a számsorokkal   [7, I,
379-409]
7)  Improprius integrálok  
     - gyakorlatok és feladatok (Beta-féle és Gamma-féle függvények)  [7, II, 485-498]
	
8)  Függvénysorozatok
     - egyenletes konvergencia, az egyenletes konvergencia Cauchy-féle jellemzése, 
Dini-tétel  [7, I, 410-413, 414-416];  a Dini-tétel általánosítása, Pólya-tétel  [10,  1.140-
1.142, 1.144-1.145] 
8)  Függvénysorozatok
     - gyakorlatok és feladatok   [7, II, 499-514],  [4, 59-66]

9)  Függvénysorozatok 
     - folytonos függvény approximációja poligonális  függvénysorozattal,  folytonos függvény approximációja polinomfüggvény sorozattal  (Weierstrass első approximációs
tétele),  Bernstein-féle polinomok,  folytonossági modulus, Popoviciu-tétel  [7, I, 414, 419-422] 
9)  Függvénysorozatok 
     - gyakorlatok és feladatok   [7, II, 499-514]

10)  Versenyfeladatok bemutatása  
     - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
     - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok       - feldolgozása
10)  Versenyfeladatok bemutatása  
        - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
        - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása

11)  Versenyfeladatok bemutatása  
     - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
     - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
11)  Versenyfeladatok bemutatása  
        - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
        - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása

12)  Versenyfeladatok bemutatása  
     - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
     - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
12)  Versenyfeladatok bemutatása  
        - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
        - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása

13)  Versenyfeladatok bemutatása  
     - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
     - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
13)  Versenyfeladatok bemutatása  
        - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
        - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása

14)  Versenyfeladatok bemutatása  
     - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
     - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
14)  Versenyfeladatok bemutatása  
        - diákok számára tartott különböző matematika versenyeken adott matematikai analízis feladatok  feldolgozása
        - tanárok számára tartott különböző fokozati vizsgákon adott matematikai analízis feladatok 
feldolgozása	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Az előadásokon és szemináriumokon használt módszerek:   ismeretek közlése (előadás, leírás, 
magyarázat), frontális és egyéni beszélgetés, problematizálás.	

VIII. Értékelés
A felmérés módja: félévi  dolgozat (írásbeli), a jelenlét kötelező, a minősítés 1-től 10-ig történik  (ÍJ) 
és egy szakdolgozat megírása (SZD).  A végső jegy = (ÍJ + SZD) / 2.	

IX. Kiegészítő könyvészet

	Dékán,						Tanszékvezető,
            Prof. Univ. Dr. TAMBULEA Leon                            Conf. Univ. Dr. ROBU Judit

	Dátum,						Előadás felelőse,
	2011. 09. 30.                                                               Conf. Dr.  FINTA Zoltán