Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Didactică
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1016	Teme de analiză matematică I (pentru perfecţionarea profesorilor)	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
1	2+1+0+1	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
DIACONU Adrian	Dr. 	Conf.	Matematică	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

	III. Obiectivele disciplinei	
Prezentarea unor teme speciale referitoare la şirurile şi seriile de numere reale, precum şi la unele clase importante de funcţii care apar în analiza matematică.		

IV. Conţinutul disciplinei
- Şiruri: limitele inferioară şi superioară ale unui şir de puncte de pe axa reală completată si legătura lor cu existenţa limitei, mulţimea punctelor limită ale unui şir, teoremele lui Kronecker si Dirichlet privind aproximarea numerelor reale prin numere rationale; siruri definite prin recurente liniare sau neliniare; teorema lui Toeplitz şi aplicaţii ale acesteia (teoremele lui Stolz-Cesaro şi Cauchy).
- Serii de numere reale: teoremele lui Cauchy şi Riemann referitoare la permutarea termenilor unei serii absolut convergente, respectiv semiconvergente; teoremele lui Abel, Cauchy si Mertens cu privire la produsul a doua serii.
- Funcţii semicontinue: caracterizarea semicontinuităţii cu ajutorul şirurilor, limitele inferioară şi superioară ale unei funcţii într-un punct şi legătura lor cu semicontinuitatea.
- Funcţii uniform continue între spaţii normate: caracterizarea continuităţii uniforme cu ajutorul şirurilor, legătura funcţiilor uniform continue cu alte clase importante de funcţii (funcţii Lipschitz continue si funcţii Hölder continue).
- Functii cu proprietatea lui Darboux si functii primitivabile.
- Funcţii convexe de una sau mai multe variabile: caracterizări ale funcţiilor convexe şi proprietăţi de regularitate ale acestora; generalizari ale notiunii de convexitate; stabilirea unor inegalitati remarcabile.	

V. Bibliografie
1. BORWEIN, J.M., LEWIS, A.S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Theory and Examples. CMS Books in Mathematics, Springer, 2000.
2. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de analiză convexă în R^n. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003.
3. COBZAŞ, ŞT.: Analiză matematică (Calcul diferenţial). Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 1997.
4. MEGAN, M.: Bazele analizei matematice. Vol. I + Vol. II, Editura EUROBIT, Timişoara, 1997. Vol. III, Editura EUROBIT, Timişoara, 1998.
5. NICULESCU, C.P., PERSSON L.-E.: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach. Springer, 2006.
6. ROBERTS, A.W., VARBERG, D.E.: Convex Functions. Academic Press, 1973.
7. RUDIN, W.: Principles of Mathematical Analysis. 2nd Edition, McGraw-Hill, New York, 1964.
8. SIREŢCHI, GH.: Calcul diferenţial şi integral. Vol. 1: Noţiuni fundamentale. Vol. 2: Exerciţii, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985.
9. TRIF, T.: Probleme de calcul diferenţial şi integral în R^n. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Şiruri pe axa reală completată: definiţia limitelor inferioară şi superioară ale unui şir de puncte de pe axa reală completată, caracterizări ale acestora, legătura limitelor inferioară şi superioară cu existenţa limitei, mulţimea punctelor limită ale unui şir.
Cursul 2. Şiruri recurente: soluţia generală a recurenţei liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi, soluţia generală a recurenţei liniare de ordinul întâi cu coeficienţi variabili, studiul unor clase speciale de recurenţe neliniare.
Cursul 3. Teorema lui Toeplitz şi aplicaţii ale acesteia (teoremele lui Stolz-Cesaro şi Cauchy).
Cursurile 4 şi 5. Teme speciale referitoare la seriile de numere reale: teoremele lui Cauchy şi Riemann referitoare la permutarea termenilor unei serii absolut convergente, respectiv semiconvergente; teoremele lui Abel, Cauchy şi Mertens cu privire la produsul a două serii.
Cursul 6. Funcţii semicontinue: definiţia funcţiilor inferior şi superior semicontinue, caracterizarea semicontinuităţii cu ajutorul şirurilor, limitele inferioară şi superioară ale unei funcţii într-un punct şi legătura lor cu semicontinuitatea.
Cursul 7. Funcţii uniform continue între spaţii normate: definiţia funcţiilor uniform continue, caracterizarea continuităţii uniforme cu ajutorul şirurilor, legătura funcţiilor uniform continue cu alte clase importante de funcţii (funcţii Lipschitz, funcţii Hölder), operaţii cu funcţii uniform continue.
Cursul 8. Funcţii cu proprietatea lui Darboux şi funcţii primitivabile.
Cursul 9. Funcţii riglate: clase de funcţii riglate (funcţii continue, monotone, cu variaţie mărginită), mărginirea funcţiilor riglate şi mulţimea punctelor lor de discontinuitate (teorema lui Froda).
Cursul 10. Funcţii convexe de o variabilă reală: definiţia modernă a convexităţii, caracterizări ale funcţiilor convexe şi proprietăţi de regularitate ale acestora (derivabilitate laterală, continuitate, lipschitzianeitate).
Cursul 11. Caracterizarea funcţiilor convexe de o variabilă folosind existenţa dreptei suport, derivatele laterale de ordinul întâi şi derivata a doua.
Cursurile 12 şi 13. Funcţii convexe de mai multe variabile reale: caracterizarea acestora cu ajutorul epigraficului şi a subgradienţilor; legătura dintre diferenţiabilitatea funcţiilor convexe şi derivabilitatea lor laterală, caracterizări ale funcţiilor convexe diferenţiabile şi respectiv de două ori diferenţiabile.
Cursul 14. Extinderi ale noţiunii de funcţie convexă; clase speciale de funcţii generalizat convexe.

Seminarul 1. Determinarea punctelor limită şi studiul convergenţei unor şiruri de numere reale.
Seminarul 2. Numere remarcabile din Analiza matematică introduse şi aproximate ca limite de şiruri (numarul e, numărul π, constanta lui Euler, media aritmetico-geometrică).
Seminarul 3. Studiul unor şiruri definite prin recurenţe liniare sau neliniare.
Seminarul 4-5. Aplicaţii ale teoremelor lui Toeplitz şi Stolz-Cesaro.
Seminarul 6. Studiul unor serii particulare de numere reale.
Seminarul 7. Formula lui Wallis şi formula lui Stirling.
Seminarul 8-9. Descompunerea funcţiilor sin şi cos în produse infinite.
Seminarul 10. Numere transcendente.  Transcendenţa numărului e.
Seminarul 11. Transcendenţa numărului π.
Seminariile 12. Dezvoltarea funcţiilor elementare în serii Taylor cu diferite aplicaţii.
Seminariile 13 şi 14. Stabilirea unor inegalităţi utilizând convexitatea unor funcţii. Medii şi inegalităţi între ele. Studiul unor clase speciale de funcţii generalizat convexe.		

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, conversaţia, demonstraţia didactică, problematizarea.	

VIII. Evaluare
Evaluare continua, referate în cadrul seminariilor(20% din nota finala), examen scris si oral (80% din nota finala) în sesiune.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. BORWEIN, J.M., LEWIS, A.S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Theory and Examples. CMS Books in Mathematics, Springer, 2000.
2. BUCUR G., CÂMPU E., GĂINĂ S.: Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral. Vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
3. RĂDULESCU S., RĂDULESCU M.: Teoreme şi probleme de analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.	

	Decan,							Sef de catedra,
Prof. Dr. Leon Tâmbulea

	Data,							Titular curs,
      16.12.2011					  Conf. Dr.  DIACONU Adrian