Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1009	Funcţii complexe de mai multe variabile	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
4	2+1+0+1	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Departament	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
KOHR Gabriela	Dr. 	Prof.	Matematică	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
• Introducerea şi aprofundarea unor rezultate fundamentale din teoria funcţiilor de mai multe variabile 
complexe. Introducerea în anumite capitole speciale din teoria geometricã a  funcţiilor de mai multe 
variabile complexe.  
• Crearea de condiţii permisive studiului individual al studentului.
• Implicarea studenţilor în activitatea de cercetare ştiinţifică.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Funcţii olomorfe de mai multe variabile complexe. Proprietãţi generale.
2. Aplicaţii olomorfe. Proprietãţi generale. Aplicaţii local biolomorfe şi aplicaţii biolomorfe. 
Automorfisme ale domeniilor mãrginite în Cⁿ.
3. Funcţii pluriarmonice şi funcţii plurisubarmonice.
4. Prelungire olomorfã. Domenii de olomorfie. Proprietãţi generale.
5. Domenii pseudoconvexe. Proprietãţi generale. 
6. Subclase speciale de aplicaţii biolomorfe pe bila unitate în spaţiul n-dimensional complex: aplicaţii 
stelate si aplicaţii convexe .
7. Introducere în teoria lanţurilor de subordonare diferenţialã în Cⁿ. Ecuatia generalizatã Loewner.	

V. Bibliografie
1. Kohr, G., Basic Topics in Holomorphic Functions of Several Complex Variables, Cluj University 
Press, Cluj-Napoca, 2003.
2. Graham, I., Kohr, G., Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions, Marcel 
Dekker Inc, New York, 2003.
3. Scheidemann, V., Introduction to Complex Analysis in Several Variables, Birkhäuser Verlag, Basel-
Boston-Berlin, 2005.
4. Gunning, R.C., Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, vol.I. Function Theory, 
Wadsworth & Brooks/Cole, Monterey, CA, 1990.
5. Hörmander, L., An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, Second Edition. North-
Holland Publ. Co., Amsterdam-London, 1973.
6. Chabat, B., Introduction à l’Analyse Complexe, vol. II, Edition MIR, Moscou, 1990. 
7. Krantz, S.G., Function Theory of Several Complex Variables, Reprint of the 1992 Edition, AMS 
Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 2001. 
8. Narasimhan, R., Several Complex Variables, The University of Chicago Press, Chicago, 1971.
9. Range, M., Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables 
Springer-Verlag, New York, 1986.
10. Rudin, W., Function Theory in the Unit Ball of Cⁿ, Springer-Verlag, New York, 1980.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs.
Sãpt. 1. 
Spaţiul Euclidean n-dimensional complex. Funcţii olomorfe. Definiţii echivalente ale noţiunii de olomorfie. Condiţiile Cauchy-Riemann generalizate. Reprezentarea integralã a funcţiilor olomorfe pe polidisc. Serii de puteri.  
[1, Cap. 1], [3, Cap. 1], [4, Cap. A, B], [8, Cap. 1], [9, Cap. 1]. 

Sãpt. 2.
Teorema maximului modulului. Frontiera Shilov. Lema lui Schwarz. Teorema identitãţii funcţiilor olomorfe. Teorema de conservare a domeniului. Alte proprietãţi ale funcţiilor olomorfe. 
[1, Cap. 1], [3, Cap. 1], [4, Cap. A], [6, Cap. 1], [8, Cap. 1], [9, Cap. 1], [5-Bibliografie supl., Cap. 1].

Sãpt. 3.
Şiruri şi serii de funcţii olomorfe. Convergenţa uniformã pe compacte. Teoremele lui Weierstrass, Montel, Vitali şi Hurwitz. Mulţimi de unicitate pentru funcţii olomorfe. Exemple. Structura topologicã şi metricã a spaţiului H(Ω).  
[1, Cap. 1], [3, Cap. 1], [8, Cap. 1], [9, Cap. 1], [5-Bibliografie supl., Cap. 1].

Sãpt. 4. 
Aplicaţii olomorfe. Proprietãţi generale. Principiul maximului pentru aplicaţii olomorfe. Aplicaţii local biolomorfe şi aplicaţii biolomorfe. Echivalenţa dintre noţiunile de univalenţã şi biolomorfie în Cⁿ.  Neechivalenţa biolomorfã dintre bila unitate euclidianã şi polidiscul unitate în Cⁿ, n≥2.
[1, Cap. 2], [3, Cap. 3], [9, Cap. 1], [7, Cap. 11]. 

Sãpt. 5. 
Teoremele de unicitate ale lui Cartan. Aplicaţii.
[1, Cap. 2], [3, Cap. 3], [8, Cap. 5], [6, Cap. 1], [9, Cap. 2].

Sãpt. 6. 
Automorfismele bilei unitate euclidiene. Automorfismele polidiscului unitate. 
[1, Cap. 2], [8, Cap. 5], [7, Cap. 11], [3, Cap. 3], [10, Cap. 2]. 

Sãpt. 7.
Domenii de olomorfie. Proprietãţi generale. Exemple. 
[1, Cap. 3], [3, Cap. 7], [4, Cap. G], [6, Cap. 3], [8, Cap. 7], [9, Cap. 2], [5-Bibliografie supl. Cap. 2].

Sãpt. 8. 
Domenii pseudoconvexe. Pseudoconvexitate în sens Hartogs. Proprietãţi generale. 
[1, Cap. 3], [4, Cap. M], [6, Cap. 3], [7, Cap. 3], [9, Cap. 2], [5-Bibliografie supl., Cap. 3]. 

Sãpt. 9.
Pseudoconvexitate în sens Levi. Proprietãţi generale. 
[1, Cap. 3], [4, Cap. R], [6, Cap. 3], [9, Cap. 2], [7, Cap. 3], [5-Bibliografie supl., Cap. 3]. 

Sãpt. 10.
Generalizarea clasei funcţiilor olomorfe pe discul unitate cu parte realã pozitivã (clasa Carathéodory) la cazul n-dimensional complex. Compactitatea clasei M. Aplicaţii stelate. Caracterizare analiticã pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate. Teoreme de deformare şi acoperire. Estimãri ale coeficienţilor. 
[1, Cap. 4], [2, Cap. 6,7], [2-Bibliografie supl., Cap. 3,4], [4-Bibliografie supl., Cap. 1, 3, 6].

Sãpt. 11. 
Aplicaţii convexe. Caracterizare analiticã pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate. Teoreme de deformare şi acoperire. Estimãri ale coeficienţilor. 
[1, Cap. 4], [2, Cap. 6,7], [2-Bibliografie supl., Cap. 3,4], [4-Bibliografie supl., Cap. 2, 4, 6]. 

Sãpt. 12. 
Introducere în teoria lanţurilor de subordonare diferenţialã în Cⁿ. Ecuaţia diferenţialã Loewner generalizatã pe bila unitate în Cⁿ. Aplicaţii.
[1, Cap. 4], [2, Cap. 8, 11], [3-Bibliografie supl., Cap. 2]. 

Seminar.
Sãpt 1 (2 ore)
Proprietãţi generale ale funcţiilor olomorfe de mai multe variabile complexe. Aplicaţii ale formulelor lui Cauchy pe polidisc. Aplicaţii ale teoremei maximului modulului şi lemei lui Schwarz pentru funcţii olomorfe de mai multe variabile complexe. 
[1, Cap. 1], [4, Cap. A], [5, Cap. 1], [6, Cap. 1], [9, Cap. 1]. 

Sãpt. 2 (2 ore)
Funcţii armonice şi funcţii pluriarmonice. Funcţii subarmonice şi funcţii plurisubarmonice. Proprietãţi generale. Exemple. 
[1, Cap. 3], [8, Cap. 3], [4, Cap. J,K,Q], [7, Cap. 2], [4, Cap. 3], [8, Cap. 3], [9, Cap. 2]. 

Sãpt. 3 (2 ore)
Aplicaţii local biolomorfe şi aplicatii biolomorfe. Exemple. Automorfisme ale unor domenii mãrginite în Cⁿ.  Exemple de automorfisme ale spaţiului n-dimensional complex Cⁿ.  
[1, Cap. 2], [8, Cap. 5], [6, Cap. 1], [9, Cap. 2]. 
Sãpt. 4 (2 ore) 
Exemple şi caracterizãri ale domeniilor de olomorfie în Cⁿ.  Exemple de domenii pseudoconvexe în sens Hartogs şi în sens Levi în Cⁿ.  
[1, Cap. 3], [3, Cap. 7], [7, Cap. 2, Cap. 3], [8, Cap. 5]. 

Sãpt. 5 (2 ore)
Teorema lui Hurwitz pentru aplicaţii biolomorfe. Exemple de aplicaţii stelate pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate. Exemple de aplicaţii convexe pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate.
[1, Cap. 4, Apendix E], [8, Cap. 5], [2, Cap. 6, 7,11], [2-Bibliografie supl., Cap. 3,4]. 
 
Sãpt. 6 (2 ore)
Criterii de univalenţã obţinute prin metoda lanţurilor de subordonare diferenţialã. Caracterizarea stelaritãţii şi a spiralitãţii de tipul α prin intermediul lanţurilor de subordonare diferenţialã. 
[2, Cap. 8], [3-Bibliografie supl., Cap. 3].	

VII. Metode didactice folosite
• Prelegerea interactivã, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative. 
• Exemplificarea şi problematizarea noţiunilor introduse. 
•Lansarea unor teme ca aplicaţii ale rezultatelor teoretice expuse şi prezentarea lor la seminar. 
• Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.	

VIII. Evaluare
Nota finalã se constituie din: 
• Examen scris la final de semestru: 70%
• Evaluarea temelor/referatelor din timpul semestrului şi participarea activã la seminar: 30%  
Sunt valabile regulamentele oficiale ale universitãţii privind prezenţa studenţilor la activitãţile 
didactice.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Kaup, L., Kaup, B., Holomorphic Functions of Several Variables, Walter de Gruyter & Co., Berlin-
New York, 1983.
2. Kohr, G., Liczberski, P., Univalent Mappings of Several Complex Variables, Cluj University Press, 
Cluj-Napoca, 1998. 
3. Curt, P., Capitole Speciale de Teoria Geometricã a Funcţiilor de Mai Multe Variabile Complexe, Editura Albastrã, Cluj-Napoca, 2001.
4. Gong, S., Convex and Starlike Mappings in Several Complex Variables, Kluwer Acad. Publ., 
Dordrecht, 1998.
5. Della, Sala G., Saracco, A., Simioniuc, A., Tomassini, G., Lectures on Complex Analysis and 
Analytic Geometry, Lecture Notes. Scuola Normale Superiore di Pisa (New Series), 3, Edizioni della 
Normale, Pisa, 2006.
6. D’Angelo, J.P., Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces, CRC Press, Boca Raton, 1993. 
7. Grauert, H., Fritzsche, K., Several Complex Variables, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, 
Berlin, 1976. 
8. W. Ebeling, Functions of Several Complex Variables and Their Singularities, American Math. Soc. 
Providence, Rhode Island, 2007. 
9. Mujica, J., Complex Analysis in Banach Spaces. Holomorphic Functions and Domains of 
Holomorphy in Finite and Infinite Dimensions, North-Holland, Amsterdam, 1986. 
10. K. Gürlebeck, K. Habetha, W. Spröβig, Holomorphic Functions in the Plane and n-Dimensional 
Space, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2008.	

	Decan,	 
Prof. Dr. Leon Ţâmbulea                                            	Sef de catedra, 
                                                                                     
	Data,	
19 Decembrie 2011						Titular curs,
							Prof. Dr.  KOHR Gabriela