Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1005	Analiză funţională aplicată	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
3	2+1+0+1	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
COBZAS Stefan	Dr. 	Prof.	Matematică	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Se vor prezenta rezultate  referitoare la  calculul diferential si integral pentru functii vectoriale cu aplicatii la diferentiabilitatea functiilor convexe cu referire la proprietatile de rotunditate si  netezime ale spatiilor normate.  Se vor aplica aceste proprietati la teoria metrica a punctelor fixe. 	

IV. Conţinutul disciplinei
I.Calcul Diferential in Spatii Normate (14c+7s)

 Diferentialele Gateaux si Frechet. Legatura dintre ele. Exemple. Proprietati. Operatii algebrice cu functii diferentiabile. Diferentiala functiei compuse. Diferentiala inversei.  Teoreme de medie si consecinte. Continuitatea diferentialei Gateaux implica diferentiabilitatea Frechet. Derivate directionale si diferentiabiliitate Gateaux.  Diferentiabilitatea functiilor convexe. Teorema lui Krasnoselski de compactitate a diferentialei Frechet. Conditia ca diferentiala Frechet sa fie o izometrie - teorema lui Baker.  Teorema lui Mazur-Ulam de caracterizare a izometriilor bijective.
 Teorema de inversare locala si teorema functiei implicite.  Teoreme de inversare globala.
 Simetria diferentialei de ordinul 2. Aplicatii multiliniare si polinoame. Izomorfisme. Formula de polarizare. Diferentiale de ordin superior. Formula lui Taylor cu diferite forme ale restului si reciproca ei.  Diferentiabilitatea aplicatiei de inversare in algebre Banach si in L(X,Y). Teorema de inversare locala si teorema functiei implicite pentru aplicatii de clasa Ck. Aplicatie: Compactitatea si  netrivialitatea spectrului intr-o algebra Banach. 
II. Diferentiabilitatea Functiilor Convexe (8c+4s)

 Functii convexe - marginire, continuitate si  Lipschitzianeitate. Proprietati de semicontinuitate a functiilor convexe.Monotonia pantei si existenta derivatelor directionale. Caracterizari ale convexitatii. Subgradienti si subdiferentiale. Diferentiabilitatea Gateaux a functiilor convexe.  Teorema lui Mazur de diferentiabilitate Gateaux generica a functiilor convexe pe spatii Banach  separabile. Diferentiabilitatea Gateaux a normei - spatii Banach netede.  Diferentiabilitatea Frechet a functiilor convexe. Continuitatea diferentialei Frechet. Teorema lui Asplund-Lindenstraus de diferentiabilitate Frechet generica a functiilor convexe pe spatii Banach cu dual separabil. Diferentiabilitatea Frechet a normei - exemple. 

III. Teoreme de Punct Fix (6c+3s)

 Teorema lui Brouwer de punct fix -demonstratie, propozitii echivalente, extensii. Aplicatie: Convexitatea multimilor Cebysev si a multimilor unic remotale.  Teoreme de punct fix in spatii infinit dimensionale - exemple referitoare la nevalabilitatea teoremei lui Brouwer. Teorema lui Schauder de punct fix. Aplicatii multivoce. Teoremele lui Kakutani si Ky Fan de punct fix.  Metrica Pompeiu-Hausdorff si teorema lui Nadler de punct fix pentru aplicatii multivoce contractive. Teoreme de punct fix pentru aplicatii neexpansive. Teorema lui Edelstein de existenta a punctelor fixe pentru aplicatii contractive.	

V. Bibliografie
Bibliografie la partile I si II
1.	Barbu, V.; Precupanu, Th. Convexity and optimization in Banach spaces, D. Reidel Publishing Co., Dordrecht; Editura Academiei Române, Bucuresti, 1986.
2.	Breckner, W. W., Analiză funcţională,  Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca 2009.   
3.	Breckner, Wolfgang W.; Trif, Tiberiu , Convex functions and related functional equations. Selected topics. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca 2008.
4.	Fabian, M., et al, Functional analysis and infinite-dimensional geometry, Springer-Verlag, New York, 2001
5.	Fabian,M., et al,  Banach space theory. The basis for linear and nonlinear analysis. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. 8. New York, NY: Springer 2011
6.	Giles, J. R. , Convex analysis with application in the differentiation of convex functions, 
Pitman, Boston, Mass.- London, 1982
    7.  Muntean, I., Analiza functionala – Capitole speciale, Universitatea Babes-Bolyai, 1990.
    8.  Phelps, R.R., Convex functions, monotone operators and differentiability,  Springer-Verlag, Berlin, 1993
    8.  Precupanu, T.,  Spatii liniare topologice  si elemente de analiza convexa, Editura Academiei        Române, Bucuresti, 1992

Bibliografie la partea  III
    1. Goebel, K.; Kirk, W. A. , Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1990
    2. Istratescu, V. I., Introducere în teoria punctelor fixe, Editura Academiei Române,Bucuresti, 1973
    3. Khamsi, M. A.; Kirk, W. A. , An introduction to metric spaces and fixed point theory, Wiley-Interscience, New York, 2001.
    4. Rus, I. A., Generalized contractions and applications, Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2001.
    5. Rus, Ioan A.; Petruşel, Adrian; Petruşel, Gabriela, Fixed point theory. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca 2008. 	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs: 
I. Calcul Diferential in Spatii Normate

C1. Diferentialele Gateaux si Frechet. Legatura dintre ele. Exemple. Proprietati. Operatii algebrice cu functii diferentiabile. Diferentiala functiei compuse. Diferentiala inversei.
C2. Teoreme de medie si consecinte. Continuitatea diferentialei Gateaux implica diferentiabilitatea Frechet. Derivate directionale si diferentiabilitate Gateaux.
C3. Teorema lui Krasnoselski de compactitate a diferentialei Frechet. Conditia ca diferentiala Frechet sa fie o izometrie - teorema lui Baker.
C4. Teorema de inversare locala si teorema functiei implicite.
C5. Simetria diferentialei de ordinul 2. Aplicatii multiliniare si polinoame. Izomorfisme. Formula de polarizare. Diferentiale de ordin superior.
C6. Formula lui Taylor cu diferite forme ale restului si reciproca ei.
C7. Diferentiabilitatea aplicatiei de inversare in algebre Banach si in L(X,Y). Teorema de inversare locala si teorema functiei implicite pentru aplicatii de clasa Ck.

II. Diferentiabilitatea Functiilor Convexe

C8. Functii convexe - marginire, continuitate si  Lipschitzianeitate. Monotonia pantei si existenta derivatelor directionale.
C9. Caracterizari ale convexitatii. Subgradienti si subdiferentiale. Diferentiabilitatea Gateaux a functiilor convexe.
C10. Teorema lui Mazur de diferentiabilitate Gateaux generica a functiilor convexe pe spatii Banach separabile.
C11. Diferentiabilitatea Frechet a functiilor convexe. Continuitatea diferentialei Frechet. Teorema lui Asplund-Lindenstraus de diferentiabilitate Frechet generica a functiilor convexe pe spatii Banach cu dual separabil.

III. Teoreme de Punct Fix

C12. Teorema lui Brouwer de punct fix -demonstratie, propozitii echivalente, extensii.
C13. Teoreme de punct fix in spatii infinit dimensionale - exemple referitoare la nevalabilitatea teoremei lui Brouwer. Teorema lui Schauder de punct fix. Aplicatii multivoce. Teoremele lui Kakutani si Ky Fan de punct fix.
C14. Teorema lui Nadler de punct fix. Teoreme de punct fix pentru aplicatii neexpansive.

Seminar:

I.Calcul Diferential in Spatii Normate

S1. Demonstrarea unor formule de calcul diferential. Exemple de diferentiale.
S2.  Diferentiabilitatea functiilor convexe.
S3. Teorema lui Mazur-Ulam de caracterizare a izometriilor bijective.
S4.  Teoreme de inversare globala.
S5. Functii vectoriale de o variabila reala - continuitate, diferentiabiltate, integrala Riemann-Stieltjes.
S6. Echivalenta dintre olomorfia slaba si olomorfia tare.
S7. Notiunea de spectru intr-o algebra Banach - compactitatea si  netrivialitatea sa. 

II. Diferentiabilitatea Functiilor Convexe

S8. Functii semicontinue(1) - definitie si proprietati fundamentale.
S9. Functii semicontinue (2) - existenta unor functii semicontinue (teoreme de tip sandwich) si teoreme de aproximare.
S10. Diferentiabilitatea Gateaux a normei - spatii Banach netede. Proprietati si exemple.
S11. Diferentiabilitatea Frechet a normei - exemple. 

III. Teoreme de Punct Fix

S12. Convexitatea multimilor Cebysev si a multimilor unic remotale.
S13. Metrica Pompeiu-Hausdorff.
S14. Teorema lui Edelstein de existenta a punctelor fixe pentru aplicatii contractive.	

VII. Metode didactice folosite

VIII. Evaluare
Examen oral 50%, activitatea de la seminar 20%,  referate prezentate de studenti 30%	

IX. Bibliografie suplimentară

	Decan,							Sef de catedra,

	Data,							Titular curs,
								Prof. Dr.  COBZAS Stefan