Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMA0029	Analysis 3 (Integralrechnung im R^n)	

Semester	Stunden: V+S+L+P	Kategorie	Status	
3	2+2+0+0	Grundvorlesung	Pflichtvorlesung	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
BRECKNER Brigitte Erika	Dr. 	Dozent	Mathematik	*	*		

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin
 Die Analysis 3 ist die Fortsetzung der Analysis 1 und Analysis 2. Auch sie vermittelt grundlegende 
Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Analysis. Zuerst wird das Riemann-Stieltjes-Integral (aus der 
eindimensionalen Analysis) behandelt, wonach mit der Darstellung der Integralrechnung im Rn 
begonnen wird.	

IV. Inhalte der Disziplin
1.	Das Riemann-Stieltjes Integral 
2.	Wegintegrale im Rn
3.	Mehrfache Riemann-Integrale
4.	Flächen und Oberflächenintegrale im R3 	

V. Pflichtliteratur
1. BUCUR G., CAMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, III, Editura tehnica, Bucuresti, 1967.
2. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B. G. Teubner, Stuttgart,1994. 
3. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 2, B. G. Teubner, Stuttgart,1995. 
4. TRIF T.: Probleme de calcul diferenţial şi integral în Rn, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003.
5. WALTER W.: Analysis I, II, Springer-Verlag, Berlin, 1990.	

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
Vorlesungen: Als begleitende Literatur werden hauptsächlich [2] und [3] verwendet.

1.	Das Riemann-Stieltjes-Integral (Definition und Eigenschaften des Riemann-Stieltjes-Integrals, Charakterisierungen für die Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit).
2.	Das Riemann-Stieltjes-Integral (wichtige Klassen Riemann-Stieltjes-integrierbarer Funktionen, die Transformation des Riemann-Stieltjes-Integrals in ein Riemann-Integral).
3.	Vektorwertige Funktionen von beschränkter Variation (Definition, Beispiele, die Charakterisierung der vektorwertigen Funktionen von beschränkter Variation, die Charakterisierung der reellwertigen Funktionen von beschränkter Variation, die Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit einer stetigen Funktion bezüglich einer Funktion von beschränkter Variation).
4.	Rektifizierbare Wege im  Rn  (Definition, Beispiele, Wege von der Klasse C1, das Bestimmen der Länge eines Weges der Klasse C1, Wege von der Klasse C1 im R2).
5.	Rektifizierbare Wege im  Rn  (äquivalente Wege, der zu einem Weg inverse Weg, die Vereinigung zweier Wege). Wegintegrale vom ersten Typ (Definition, Eigenschaften, Bestimmen des Wegintegrals vom ersten Typ einer stetigen reellwertigen Funktion bezüglich eines Weges der Klasse C1).
6.	Wegintegrale vom zweiten Typ (Definition, Eigenschaften, Bestimmen des Wegintegrals vom zweiten Typ einer stetigen vektorwertigen Funktion bezüglich eines Weges der Klasse C1,  polygonale Wege, konvexe Mengen).
7.	Wegintegrale vom zweiten Typ (Definition der Stammfunktion einer auf einer offenen Teilmenge des Rn definierten vektorwertigen Funktion, Definition des Gradientenfeldes, die Formel von Leibniz-Newton für das Wegintegral vom zweiten Typ, polygonalzusammenhängende Teilmengen des Rn, die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals vom zweiten Typ).
8.	Wegintegrale vom zweiten Typ (sternförmige Mengen im Rn, notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Gradientenfeld).  Das Riemann-Integral über einem nichtentarteten kompakten Intervall im Rn (Zerlegungen eines nichtentarteten kompakten Intervalls im Rn).
9.	Das Riemann-Integral über einem nichtentarteten kompakten Intervall im Rn (Definition,  Eigenschaften, die Charakterisierung mit Hilfe von Folgen für die Riemann-Integrierbarkeit, die Integrabilitätskriterien von Riemann, Darboux und  Lebesgue und Folgerungen davon).
10.	 Das Riemann-Integral über einem nichtentarteten kompakten Intervall im Rn (die Additivität des mehrfachen Riemann-Integrals bezüglich des Intervalls, der Mittelwertsatz für das mehrfache Riemann-Integral, das Theorem von Fubini und seine Folgerungen).
11.	 Das Riemann-Integral über nichtleere beschränkte Teilmengen des Rn (Definition, Jordan-messbare Teilmengen des Rn , Definition des Randes einer Teilmenge des Rn, die Charakterisierung Jordan-messbarer Teilmengen des Rn, das allgemeine Lebesguesche Integrabilitätskriterium und seine Folgerungen).
12.	Methoden zur Berechnung des mehrfachen Riemann-Integrals über Jordan-messbare  Teilmengen des Rn (Integration über Normalbereiche, die Substitutionsregel).
13.	 Der Gauβsche (Greensche) Integralsatz im R2 und seine Folgerung. Flächen und Oberflächenintegrale im R3  (Definition einer Fläche, Definition des Normalenvektors einer Fläche in einem Flächenpunkt, Definition des Flächeninhaltes einer Fläche).
14.	 Flächen und Oberflächenintegrale im R3 (Definition der Oberflächenintegrale vom ersten Typ und vom zweiten Typ, der Stokessche Integralsatz, der Gauβsche Integralsatz im R3  ).

Übungen: Inhaltlich sind die Übungen auf die Vorlesungen abgestimmt und bezwecken das Vertiefen des in der Vorlesung behandelten Stoffes durch das Lösen von Aufgaben in Gruppenübungen (wobei die Aufgaben hauptsächlich aus [2], [3] und [4] ausgesucht werden) zu den folgenden Themen:

1.	Das Riemann-Stieltjes-Integral.
2.	Das Berechnen des Riemann-Stieltjes-Integrals.
3.	Das Bestimmen der Totalvariation einer Funktion von beschränkter Variation. Das Berechnen des Riemann-Stieltjes-Integrals einer stetigen Funktionen bezüglich einer Funktion von beschränkter Variation.
4.	Das Bestimmen der Länge von Wegen der Klasse C1 im R2 und R3.
5.	Äquivalente Wege. Das Berechnen der Wegintegrale vom ersten Typ. 
6.	Das Berechnen der Wegintegrale vom zweiten Typ.
7.	Das Berechnen der Wegintegrale vom zweiten Typ (die Formel von Leibniz-Newton für das Wegintegral vom zweiten Typ, die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals vom zweiten Typ).
8.	Das Berechnen der Wegintegrale vom zweiten Typ (praktische Bestimmung von Stammfunktionen durch unbestimmte Integration).
9.	Das Riemann-Integral über einem nichtentarteten kompakten Intervall im Rn.
10.	Das Berechnen des Riemann-Integrals über einem nichtentarteten kompakten Intervall im Rn.
11.	Das Riemann-Integral über nichtleere beschränkte Teilmengen des Rn.
12.	Integration über Normalbereiche, die Substitutionsregel (die Transformation auf Polar- und auf
      Kugelkoordinaten).
13.	Anwendungen des Gauβschen (Greenschen) Integralsatzes im R2. Berechnen von         
Flächeninhalten.
      14. Berechnen von Oberflächenintegralen vom ersten Typ und vom zweiten Typ.

VII. Unterrichtsmethoden
Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen.	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
 Mitte des Semesters wird eine Kontrollarbeit aus dem Stoff der ersten sieben Vorlesungen und Übungen geschrieben. Diejenigen Studierenden, deren Arbeit mit mindestens 5 bewertet wurde und
die mit ihrer Note zufrieden sind, werden in der schriftlichen Prüfung  (im Januar/Februar)  Themen
nur zum Stoff der letzten sieben Vorlesungen und  Übungen erhalten. In ihrem Fall ist die Gesamtnote
für das Fach Analysis 3 das arithmetische Mittel der Noten x und y, wobei x die in der Kontrollarbeit    
und  y die in der Prüfung erzielte Note bezeichnet. All die anderen (d.h. diejenigen, die mit der in der 
Kontrollarbeit erzielten Note nicht zufrieden sind, sowie diejenigen, deren Note kleiner als 4 ist
oder jene, die die Kontrollarbeit nicht mitgeschrieben haben) werden in der schriftlichen Prüfung  (im 
Januar/Februar)   Themen sowohl zum Stoff der ersten sieben Vorlesungen und Übungen als auch zu 
jenem der letzten sieben Vorlesungen und Übungen erhalten. In ihrem Fall ist die Gesamtnote
für das Fach Analysis 3 das arithmetische Mittel der Noten x und y, wobei x die Note darstellt, die die 
Kenntnisse des ersten Teils der Lehrveranstaltung  (der ersten sieben Vorlesungen und Übungen) 
bewertet, und y die Note für die Bewertung der Kenntnisse aus dem letzten Teil (der letzten sieben 
Vorlesungen und  Übungen) ist.	

IX. Zusatzliteratur
1.	BROWDER A.: Mathematical Analysis. An Introduction, Springer-Verlag, New York, 1996.
2.	 MEGAN M.: Calcul diferenţial şi integral în Rp, Universitatea de Vest, Timişoara, 2000. 	

Dekan,                                                                               Departmentleiter,
Prof. Dr. ŢÂMBULEA Leon                                           Prof. Dr.  AGRATINI Octavian 

	
Datum, 17. 12. 2011					        Verantwortliche Lehrkraft,
							        Conf. Dr.  BRECKNER Brigitte Erika