Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0029	Analiză matematică 3 (Calcul integral în R^n)	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
3	2+2+0+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
DIACONU Adrian	Dr. 	Conf.	Matematică	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Aprofundarea unor cunostiinte clasice de calcul integral pentru functii de mai multe variabile.	

IV. Conţinutul disciplinei
I) Functii cu variatie marginita. Integrala Riemann-Stieltjes. 
 1) Functii vectoriale ( cu valori in Rn ) cu variatie marginita. Functii vectoriale de clasa C1. Calculul variatiei totale a unei functii vectoriale cu valori in Rn de calsa C1.
 2) Functii reale cu variatie marginita. Clasa functiilor monotone.Teorema lui Jordan. Proprietatile functiilor cu variatie marginita in legatura cu pucvtele de discontinuitate. Calculul variatiei totale in anunmite cazuri particulare.

II) Sume integrale Riemann-Stieltjes si unele proprietati ale lor. Integrabilitatea si integrala Riemann-Stieltjes. Proprietati importante. Caracterizarea integrabilitatii cu ajutorul sumelor lui Darboux. Criterii de integrabilitate Riemann-Stietjes.

III) Integrale pe arce de curba paramatrizabile.
 1) Notiunea de arc parametrizabil de curba. Drumuri reprezentative. Drumuri echivalente. Arce de curba parametrizabile si orientate. 
 2) Tipuri de integrale pe un arc de curba parametrizabil, respectiv pe un arc de curba parametrizabil si orientat, a unei functii reale de m variabile reale. Formule de clacul in situatii speciale.
 3) Forme diferentiale liniare si integarea lor. Formule de calcul in situatii speciale.
 4) Primitiva unei functii vectoriale si calculul integralei unei forme diferentiale liniare pe un drum cu ajutorul primitivei functiei generatoare. Conditii necesare si suficiente de existenta a primitivei unei functii vectoriale. 
 5) Teorema privind legatura dintre existenta primitivei unei functii vectoriale si independenta de drum a integralelor pe drumuri a formei diferntiale liniare generate de aceasta functie vectoriala.
 
IV) Integrala Riemann a unei functii reale de mai multe variabile reale.
 1) Sume integrale Riemann si definitia integrabilitatii unei functii de 2 variabile definite pe un interval bidimensional. Teorema lui Fubini de transformare a integralei duble in integrale iterate in cazul functiilor de 2 variabile definite pe un interval bidimensional. Aditivitatea fata de interval a integralei in cazul functiilor reale de 2 variabile reale.
 2) Extinderea definitiei integrabilitatii  si integralei la functii reale de m variabile reale definite pe intervale din Rm. Trecerea in acest caz la integrale iterate. Cazul integralei triple. Diferite formule de calcul.
 3) Definitia integrabilitatii si integralei a unei functii definite pe multimi marginite di Rm. Calculul integralei duble in cazul in care domeniul de integrare din R2 este o multime simpla in raport cu una din variabile. Generalizarea pentru m variabile. Cazul integralei triple pe o multime simpla in raport cu una din variabile.
 4) Sumele lui Darboux ale unei functii marginite definite pe un interval din Rm. Caracterizarea integrabilitatii cu ajutorul sumelor lui Darboux in acest caz.
 5) Multimi masurabile Jordan. Definitie cu ajutorul functiei caracteristice si conditii echivalente. Multimi elementare si rolul lor in definirea masurabilitatii Jordan a unei multimi. Multimi de masura Jordan nula. Operatii cu multimi masurabile Jordan. Aditivitatea fata de multime a calitatii de multime masurabila Jordan si a masurii Jordan.
 6)  Exprimari ale integrabilitatii Riemann pe o multime masurabila Jordan cu ajutorul sumelor Riemann si a sumelor lui Darboux. Integrabilitatea functiilor continue.  Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann. Aditivitatea fata de domeniul de integrare a integralei Riemann.
7) Formula schimbarii de variabila in cazul integralei unei functii de mai multe variabile. Schimbari de variabila remarcabile in cazul integralei duble si al integralei triple.

V) Integrale pe portiuni de suprafata.
 1) Panze parametrizate in R3. Aria determinata de o panza parametrizata si integrala unei functii definite pe o pinza parametizata in raport cu aria determinata de aceasta.
 2) Forme diferentiale de ordinul 2 in R3 si integrarea lor pe pinze parametrizate.
 3) Varietati orientate de ordinul 2 in R3 si integrarea pe astfel de varietati.
 4) Toremele lui Green, Stokes si Gauss-Ostrigradski pentru legaturile dintre diferitele tipuri de integrale.	

V. Bibliografie
1. BALAZS M.: Analiza matematica, III si IV, Universitate, Cluj-Napoca, 1983,1984
2. BALAZS M., KOLUMBAN I.: Matematikai analizis, Dacia Konivkyado, Kolozsvar-Napoca, 1978
3. BOBOC N.: Analiza matematica, II, Universitate, Bucuresti, 1993
4. BUCUR G., CAMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, III, Editura tehnica, Bucuresti, 1967
5. COBZAS ST.: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa universitara clujeana, Cluj-Napoca, 1997
6. COLOJOARA I.: Analiza matematica, Ed. did. si ped., Bucuresti, 1983
7. DEMIDOVICI B.P.: Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica, Ed. tehnica, Bucuresti, 1956
8. SIKORSKI R.: Advanced Calculus, PWN-Polish Scientific Publishiers, Warsawa, 1969
9. WALTER W.: ANALYSIS I, Zweite Aufl. Berlin, Springer-Verlag,1990
10. ***: Analiza matematica, II, Ed. did. si pedag., Bucuresti, 1980
11. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis.Teil 2. 9. Auflage. Stuttgart: B. G. Teubner, 1995. 	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Functii cu variatie marginita cu valori în Rn. Aditivitatea fata de interval a variatiei totale pentru astfel de functii. Functii vectoriale derivabile si de clasa Cą. Relatii asupra acestor tipuri de functii vectoriale. Clase de functii cu variatie marginita cu stabilirea unor relatii de incluziune. Expresia integrala a unui drum de clasa C1 ( enuntul si demonstratia teoremei de baza).
Seminarul 1. Exemple de drumuri rectificabile si nerectificabile în R. Efectuarea demonstratiilor unor rezultate enuntate la curs.

Cursul 2. Functii reale cu variatie marginita. Clasa functiilor monotone. Teorema lui Jordan. Integrabilitatea si integrala Riemann-Stieltjes a unei functii în raport cu o alta. Sume integrale cu unele proprietati ale lor. Definitia integrabilitatii si a integralei Riemann-Stieltjes si unele proprietati importante.
Seminarul 2. Exercitii privind calculul varatiei totale ale unor functii cu valori în R2 si R3 (a lungimii unor drumuri în R2 si R3 când acestea sunt date printr-o parametrizare). Completari la curs prin efectuarea unor demonstratii lasate pentru la seminar.

Cursul 3. Sumele Darboux-Stieltjes. Proprietati. Caracterizarea Integrabilitatii Riemann-Stieltjes cu ajutorul sumelor Darboux-Stieltjes (teorema lui Darboux). Criterii de integrabilitate Riemann-Stieltjes. Reducerea integralei Riemann-Stieltjes la o integrala Riemann in anumite situatii.
Seminarul 3. Obtinerea unor formule de calcul în cazul în care drumul din R2 are ca imagine graficul unei functii. Cazul în care drumul are ca imagine un arc de curba care are ecuatia în coordonate polare. Din [6] exercitiile 3.8- 3.11 si 3.18-3.36 (pag. 76 - 77).

Cursul 4. Comportarea variatiei totale a unei functii, precum si a integrabilitatii si integralei Riemann-Stieltjes in raport cu operatie de compunere a functiilor. Arce de curba parametrizabile. Drum reprezentetiv a unui arc de curba. Drumuri echivalente si antiechivalente. Teorema potivit careia oricare doua drumuri reprezentative ale unui arc de curba sunt fie echivalente fie antiechivalente.
Seminarul 4. Exemple de cazuri de integrabilitate Riemann-Stieltjes si cazuri de neintegrabilitate. Calculul unor integrale Riemann-Stieltjes.

Cursul 5.  Definirea celor doua tipuri de integrale pe arce de curba prametrizabile, respectiv pe arce parametrizabile si orientate, din functii reale de m variabile reale ca integrale Riemann-Stietjes. Formule de calcul, în cazuri particulare pentru diferite tipuri de integrale, prin reducere la integrale Riemann.
Seminarul 5. Exercitii privind calculul unor integrale de diferite tipuri pe drumuri. Formule de calcul în cazurile particulare semnalate si în seminarul anterioar. Din [6] exercitiile 3.37 – 3.87 (pag. 78 – 81).

Cursul 6. Forme diferentiale liniare si integrarea lor pe drumuri. Formula de calcul pentru integrala unei forme diferentiale liniare într-un caz particular, prin reducerea la o integrala Riemann. Functii vectoriale definite pe domenii din Rn care admit primitive. Calculul integralei pe un drum a unei forme diferentiale liniare în cazul în care functia vectoriala generatoare admite primitive (o generalizare a formulei lui Leibnitz-Newton). 
Seminarul 6. Exercitii privind calulul integralelor unor forme diferentiale liniare. Exercitii privind verificara faptului ca anumite functii vectoriale admit primitive, determinarea acestor primitive si calculul unor integrale pe drumuri din forme diferentiale liniare cu ajutorul functiilor generatoare a formelor diferentiale liniare de integrat. Din [6] exercitiile 3.90-3.115 (pag.81-82).

Cursul 7. Expresia primitivei unei functii vectoriale. Conditii necesare si suficiente de existenta a primitivei unei functii vectoriale. Independenta de drum a integralei formei diferentiale cand functia vectoriala generatoare admite primitive. 
Seminarul 7.  Continuarea exemplificarilor de tipul celor din seminarul antetrior. 

Cursul 8. Sume integrale Riemann si definitia integrabilitatii unei functii de 2 variabile definite pe un interval bidimensional. Teorema lui Fubini de transformare a integralei duble in integrale iterate in cazul functiilor de 2 variabile definite pe un interval bidimensional. Aditivitatea fata de interval a integralei in cazul functiilor reale de 2 variabile reale. Extinderea definitiei integrabilitatii  si integralei la functii reale de m variabile reale definite pe intervale din Rm. Trecerea in acest caz la integrale iterate. Cazul integralei triple. Diferite formule de calcul.
Seminarul  8. Exercitii privind calculul unor integrale duble pe intervalle bidimensionale.

Cursul  9.  Definitia integrabilitatii si integralei a unei functii definite pe multimi marginite di Rm. Calculul integralei duble in cazul in care domeniul de integrare din R2 este o multime simpla in raport cu una din variabile. Generalizarea pentru m variabile. Cazul integralei triple pe o multime simpla in raport cu una din variabile.
Seminarul 9. Calculul unor integrale din functii reale de 2 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor functii reale de doua variabile reale.
 
Cursul 10. Sumele lui Darboux ale unei functii marginite definite pe un interval din Rm. Caracterizarea integrabilitatii cu ajutorul sumelor lui Darboux in acest caz. Exprimarea integrabilitatii Riemann prin egalitatea dintre integrala inferioara si cea superioara. Multimi masurabile Jordan. Definitie cu ajutorul functiei caracteristice si conditii echivalente. Multimi elementare si rolul lor in definirea masurabilitatii Jordan a unei multimi.
Seminarul 10. Calculul unor integrale din functii reale de 3 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor functii reale de trei variabile reale. Din [6] exercitiile 4.79-4.87 pag 95-96 si exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 11. Multimi de masura Jordan nula. Operatii cu multimi masurabile Jordan. Aditivitatea fata de multime a calitatii de multime masurabila Jordan si a masurii Jordan.
Seminarul 11. Schimbarea de variabila în integrala dubla. Schimbari de variabila remarcabile. Din [6] exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 12. Exprimari ale integrabilitatii Riemann pe o multime masurabila Jordan cu ajutorul sumelor Riemann si a sumelor lui Darboux. Integrabilitatea functiilor continue si consecinte  Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann. Aditivitatea fata de domeniul de integrare a integralei Riemann.
Seminarul 12. Schimbarea de variabila în integrala tripla. Schimbari de variabila remarcabile. Din [6] exercitiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 13. Multimi care admit o parametrizare de suprafata. Integrale de primul tip pe o multime cu parametrizare de suprafata.  Formula de calcul in cazul unel functii continue in raport cu o parametrizare de clasa C1. Formule de calcul in cazuri particulare. 
Seminarul 13. Exercitii privind calculul integralelor de primul tip a unei functii definite pe o pânza parametrizata clasica. Din [6] exercitiile 5.36-5.57. pag.109-111.
 
Cursul 14. Forme diferentiale de ordinul 2 si integrarea lor pe pânze parametrizate. Varietati orientate de ordinul 2 în R3. Integrala unei forme diferentiale de ordinul 2 în R3 pe o varietate orientate din R3 de acelasi ordin. Portiuni simple si portiuni orientate de suprafata si pânze parametrice reprezentative ale acestora. Integrale pe aceste suporturi. Teoremele lui Green, Stokes si Gauss-Ostrogradski pentru legaturile dintre diferitele tipuri de integrale.
Seminarul 14. Exercitii privind calculul integralelor de al doilea tip a unei functii definite pe o pânza parametrizata clasica în raport cu aria determinata de aceasta. Din [6] exercitiile 5.9-5.35. pag.108-109. Exercitii privind teoremele lui Green, Stokes si Gauss-Ostrogradski pentru legaturile dintre     diferitele tipuri de integrale. Din [6] exercitiile 6.25-6.50. pag.116-118.	

VII. Metode didactice folosite
Introducerea într-o succesiune logică a noţiunilor şi rezultatelor. Demonstraţia riguroasă. Exerciţiul.	

VIII. Evaluare
Examen scris si oral	

IX. Bibliografie suplimentară
[8]  G. M. FIHTENHOLZ, Calculul diferenţial şi integral, vol II (1964)-III (1965), Editura Tehnică, Bucureşti (traducere din limba rusă).
[9]  M. NICOLESCU, Analiză matematică, (3 volume), I(1957), II(1958), III(1960), Edituara tehnică, Bucureşti.
[10] N. BOBOC, Analiză matematică, Univ. Bucureşti, 1988.
[11] M. MEGAN, Analiză matematică,vol.1-2. Mirton, Timişoara, 1999.
[12] W. RUDIN, Principles of mathematical analysis, Mc Graw New York 1967.
[13] N. DONCIU, D. FLONDOR, GH. SIMIONESCU, Algebră şi analiză matematică (2 volume), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.
[14] G. POLYA, G. SYEGÖ, Aufgaben und Lehrsätzeaus der Analysis (2 volume), 1932.
[15] S. RĂDULESCU, M. RĂDULESCU, Teoreme şi probleme de analiză matematică.	

	Decan,							Sef de catedra,
Prof. Dr. Leon Tâmbulea

	Data,							Titular curs,
       16.12.2011					   Conf. Dr.  DIACONU Adrian