Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0018	Tehnici de optimizare	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
6	2+1+0+1	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Departamentul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
BRECKNER Wolfgang	Dr. 	Prof.	Matematică	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	
–							

III. Obiectivele disciplinei
Introducere în tematica problemelor de optimizare şi în tehnicile de rezolvare a unora dintre aceste probleme.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Probleme de optimizare; modele de probleme de optimizare cu caracter interdisciplinar.
2. Elemente de analiză convexă în spaţiul euclidian n-dimensional: mulţimi convexe, poliedre, funcţii convexe; proprietăţi ale funcţiilor convexe; teoreme de alternativă.
3. Probleme de optimizare liniară; interpretare economică; interpretare geometrică; caracterizarea existenţei/inexistenţei soluţiilor unei probleme de optimizare liniară. Dualitatea în optimizarea liniară.
4. Tehnici de rezolvare a problemelor de optimizare liniară: metoda grafică, algoritmul simplex, algoritmul simplex dual.
5. Elemente de teoria jocurilor; rezolvarea jocurilor matriceale prin reducere la probleme de optimizare liniară.
6. Probleme de minimizare convexă; condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim.	

V. Bibliografie
1. BLAGA, L., LUPŞA, L.: Elemente de programare liniară. Risoprint, Cluj-Napoca, 2003
2. BRECKNER, B. E.: De la poliedre la jocuri matriceale. O introducere în optimizarea liniară. EFES,  Cluj-Napoca, 2007
3. BRECKNER, B. E., POPOVICI, N.: Probleme de analiză convexă în Rn. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003
4. BRECKNER, B. E., POPOVICI, N.: Probleme de cercetare operaţională, EFES, Cluj-Napoca, 2006
5. BRECKNER, W. W.: Cercetare operaţională. Universitatea Babeş-Bolyai, Fac. de Matematică, Cluj-Napoca, 1981
6. BRECKNER, W. W., DUCA, D.: Culegere de probleme de cercetare operaţională. Universitatea, Fac. de Matematica, Cluj-Napoca, 1983
7. DOMSCHKE, W., DREXL, A.: Einführung in Operations Research. 3. Aufl. Springer-Verlag, Berlin, 1995
8. DOMSCHKE, W., DREXL, A., SCHILDT, B., SCHOLL, A., VOSS, S.: Übungsbuch Operations Research. 2. Aufl. Springer-Verlag, Berlin, 1997
9. LUPŞA, L., BLAGA, L.: Cercetare operaţională. Tehnici de optimizare. I. Ed. Mega, Cluj-Napoca, 2010	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri:
1. Probleme de optimizare: funcţie obiectiv, soluţie admisibilă (posibilă), mulţimea soluţiilor admisibile (posibile), soluţie optimă, muţimea soluţiilor optime, problema de optimizare inconsistentă, problema de optimizare care nu are soluţie optimă. Modele de probleme de optimizare.
2. Elemente de analiză convexă în spaţiul euclidian n-dimensional: mulţimi convexe, poliedre.
3. Elemente de analiză convexă în spaţiul euclidian n-dimensional: funcţii convexe; proprietăţi ale funcţiilor convexe; proprietăţi ale punctelor de optim ale funcţiilor convexe.
4. Teoreme de alternativă.
5. Probleme de optimizare liniară: interpretarea economică; interpretare geometrică; caracterizarea existenţei/inexistenţei soluţiilor unei probleme de optimizare liniară.
6. Metoda grafică de rezolvare a problemelor de optimizare liniară. Algoritmul simplex: etapa determinării unei soluţii admisibile.
7. Algoritmul simplex: etapa determinării unei soluţii optime. Modificarea algoritmului simplex pentru rezolvarea problemei de optimizare liniară dată sub forma semicanonică (problema conţine restricţii care pot fi şi sub formă de egalitate şi variabile care să nu fie supuse condiţiei de nenegativitate).
8. Dualitatea în optimizarea liniară: probleme de optimizare liniară duale; teorema de dualitate slabă, teorema de dualitate tare; teorema ecarturilor complementare.
9. Algoritmul simplex dual.
10. Elemente de teoria jocurilor: noţiunile de: joc matriceal, matricea de plată a unui joc matriceal, valoarea inferioară şi valoarea superioară a unui joc matriceal, punct şa al unui joc matriceal, strategii min-max şi max-min; strategii pure într-un joc matriceal; exprimarea unei strategii cu ajutorul strategiilor pure.
11. Rezolvarea jocurilor matriceale prin reducere la probleme de optimizare liniară.
12. Condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim pentru funcţii convexe.

Seminare:
1. Prezentarea unor probleme concrete ale căror modele matematice conduc la probleme de optimizare.
2. Demonstrarea unor proprietăţi ale poliedrelor.
3. Exemple de funcţii convexe.
4. Demonstrarea unor proprietăţi ale funcţiilor convexe.
5. Prezentarea unor probleme concrete ale căror modele matematice conduc la probleme de optimizare liniară (problema dietei, problema de transport după criteriul cost).
6. Rezolvarea unor probleme de optimizare liniară cu ajutorul metodei grafice.
7. Rezolvarea unor probleme de optimizare liniară (date sub forma canonică) cu ajutorul algoritmului simplex.
8. Rezolvarea unor probleme de optimizare liniară (date sub forma semicanonică) cu ajutorul algoritmului simplex.
9. Rezolvarea unor probleme de optimizare liniară (date sub forma canonică) cu ajutorul algoritmului simplex dual.
10. Exemple concrete de jocuri matriceale; determinarea valorii superioare şi a celei inferioare.
11. Rezolvarea unor jocuri matriceale.
12. Probleme legate de existenţa punctelor de minim ale funcţiilor convexe.

Proiect:
Descrierea unei situaţii concrete care conduce la o problemă de optimizare; construirea modelului matematic; prezentarea unei metode de rezolvare.	

VII. Metode didactice folosite
Prelegerea cu demonstraţii matematice, conversaţia, problematizarea, descoperirea.	

VIII. Evaluare
Evaluare continuă (20% din nota finală), proiect (10% din nota finală), examen scris şi oral (70% din nota finală).	

IX. Bibliografie suplimentară
1. ANDREI, N.: Programarea matematică avansată. Teorie, metode computaţionale, aplicaţii. Editura Tehnică, Bucureşti, 1999
2. ANDREI, N.: Sisteme şi pachete de programe pentru programarea matematică. Editura Tehnică, Bucureşti, 2002	

Data,	30.09.2011						Titular curs,
								Prof. dr. BRECKNER Wolfgang

DECAN							DIRECTOR DE DEPARTAMENT
Prof. dr. ŢÂMBULEA Leon				Prof. dr. PRECUP Radu