Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMA0005	Reelle Funktionen	

Semester	Stunden: V+S+L+P	Kategorie	Status	
4	2+2+0+0	Grundvorlesung	Pflichtvorlesung	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
BRECKNER Brigitte Erika	Dr. 	Dozent	Mathematik	*	*		

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin
Die Lehrveranstaltung bietet eine Einführung sowohl in die mengentheoretische Topologie
als auch in die Maβ- und Integrationstheorie. Damit stellt sie die nötigen Grundlagen bereit für andere 
Bereiche der Mathematik wie z.B. Differentialgeometrie, Funktionalanalysis,  
Wahrscheinlichkeitstheorie.    	

IV. Inhalte der Disziplin
Der erste Teil der Lehrveranstaltung ist der mengentheoretischen Topologie gewidmet. Behandelt 
werden die folgenden Themen: topologische Räume, Konvergenz, Stetigkeit, Trennungseigenschaften,
Kompaktheit, Zusammenhang, metrische  Räume, Bairesche Räume, Fortsetzung stetiger 
Abbildungen. 
Im zweiten Teil wird die Maβ- und Integrationstheorie in abstrakten Räumen dargestellt, wobei eine
besondere Aufmerksamkeit dem Lebesgueschen Maβ und Integral im  Rn geschenkt wird.	

V. Pflichtliteratur
[1] V. Anisiu: Topologie si teoria masurii, Universitatea "Babes-Bolyai", Cluj-Napoca, 1995.
[2] H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maβtheorie, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1978. 
[3] C. Craciun : Lectii de analiza matematica, Universitatea Bucuresti, 1982.
[4] C. Craciun : Exercitii si probleme de analiza matematica, Universitatea Bucuresti 1984.
[5] B. von Querenburg, Mengentheoretische Topologie, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.	

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
Als begleitende Literatur werden für die ersten sieben Vorlesungen/Übungen hauptsächlich [1] und [5], und für die letzten sieben Vorlesungen/Übungen hauptsächlich [1] und [2] verwendet. Inhaltlich sind die Übungen auf die Vorlesungen abgestimmt und bezwecken das Vertiefen des in der Vorlesung behandelten Stoffes durch das Lösen von Aufgaben in Gruppenübungen. Der Reihe nach werden in den  Vorlesungen und den jeweils dazu gehörigen Übungen die folgenden Themen behandelt:

1.	Topologische Räume (Definition; Beispiele; Umgebung eines Punktes; das Innere, der Abschluss und der Rand einer Teilmenge eines topologischen Raumes).
2.	Topologische Räume (Basis und Subbasis einer Topologie; Unterraumtopologie, Produkttopologie; Konvergenz; Stetigkeit).
3.	Trennungseigenschaften in topologischen Räumen. Metrische Räume (Definition; Beispiele; Eigenschaften; Vollständigkeit).
4.	Kompakte topologische  Räume.
5.	Die  Fortsetzung stetiger Abbildungen. Bairesche Räume.
6.	Zusammenhängende topologische  Räume.
7.	Die erweiterte Menge der reellen Zahlen.
8.	Algebren, σ-Algebren, Maβe.   
9.	Äuβere Maβe. Das Lebesguesche äuβere Maβ im Rn.
10.	Das Lebesguesche Maβ im Rn. Die Regularität eines Maβes.
11.	Messbare Abbildungen und Treppenfunktionen. Verschidene Arten von Konvergenz für Folgen messbarer Abbildungen.
12.	Das Lebesgue-Integral nichtnegativer messbarer Treppenfunktionen.
13.	Das allgemeine Lebesgue-Integral.
14.	Anwendungen. Der Zusammenhang zwischen dem Lebesgue- und dem Riemann-Integral im R.    	

VII. Unterrichtsmethoden
Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen.	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
Mitte des Semesters wird eine Kontrollarbeit aus dem Stoff der ersten sieben Vorlesungen und Übungen geschrieben. Diejenigen Studierenden, deren Arbeit mit mindestens 5 bewertet wurde und
die mit ihrer Note zufrieden sind, werden in der schriftlichen Prüfung  (im Juni/Juli)  Themen
nur zum Stoff der letzten sieben Vorlesungen und  Übungen erhalten. In ihrem Fall ist die Gesamtnote
für das Fach Reelle Funktionen das arithmetische Mittel der Noten x und y, wobei x die in der 
Kontrollarbeit    und  y die in der Prüfung erzielte Note bezeichnet. All die anderen (d.h. diejenigen, die 
mit der in der Kontrollarbeit erzielten Note nicht zufrieden sind, sowie diejenigen, deren Note kleiner 
als 4 ist oder jene, die die Kontrollarbeit nicht mitgeschrieben haben) werden in der schriftlichen
Prüfung  (im Juni/Juli)   Themen sowohl zum Stoff der ersten sieben Vorlesungen und Übungen als 
auch zu jenem der letzten sieben Vorlesungen und Übungen erhalten. In ihrem Fall ist die Gesamtnote
für das Fach Reelle Funktionen das arithmetische Mittel der Noten x und y, wobei x die Note darstellt, 
die die  Kenntnisse des ersten Teils der Lehrveranstaltung  (der ersten sieben Vorlesungen und 
Übungen)  bewertet, und y die Note für die Bewertung der Kenntnisse aus dem letzten Teil (der 
letzten sieben Vorlesungen und  Übungen) ist.	

IX. Zusatzliteratur
[1] G.B. Folland: Real Analysis. Modern Techniques and their applications,Wiley, 1999.
[2]. C. George: Exercises in integration. Springer, New York, 1984. 
[3] W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw Hill, New York, 1988. 	

Dekan,						        Departmentleiter,
Prof. Dr. ŢÂMBULEA Leon                                           Prof. Dr.  AGRATINI Octavian 

Datum, 18. 12. 2011					           Verantwortliche Lehrkraft,
							           Conf. Dr.  BRECKNER Brigitte Erika