Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMA0005	Funcţii reale	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
4	2+2+0+0	szaktárgy	kötelezö	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
BULBOACA Teodor	Dr. 	Prof.	Magyar Matematika és Informatika	*	*		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A valós analízis célja felvértezni a másodévesek hallgatót azokkal az ismeretekkel amelyek egy matematika diplomával rendelkezo végzosnek az analízis huszadik századi vívmányairól tudnia kell, valamint elokészíteni az alapokat olyan tantárgyak számára, mint a valószínuség-számítás, a funkcionálanalízis, vagy a differenciál-egyenletek. Ennek érdekében a kurzus három fo fejezete az általános topológia, a mértékelmélet és az integrálelmélet. A végso cél a Lebesgue-féle integrál értelmezése és tulajdonságainak vizsgálata. Ez lehetové teszi a fogalom alkalmazását a fent felsorolt matematikai diszciplínák tanításánál. Eloadás közben a diákok ellenorizendo feladatokat kapnak, amelyeke közül a nehezebbeket – más feladatok kíséretében – a szemináriumon megoldanak.	

IV. A tantárgy tartalma
A tantárgy keretein belül tárgyalt témakörök:
1. Általános topológia (5 eloadás)
A metrikus tér nyílt halmazai (ismétlés). A topológia Haussdorf-féle axiómai. A topológia bázisa, szubbázisa, pont környezetszuroje.
A topológikus tér zárt részhalmazai. Halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontja és határa. A topológikus tér altere. Topológikus terek direkt szorzata.
Számossági és szétválasztási axiómák. Folytonos függvények.
Kompakt halmazok Teljesség és kompaktság a metrikus térben.
Összefüggo halmazok.
2. Mértékelmélet (5 eloadás)
Nevezetes halmazcsaládok: halmazgyuru, halmazalgebra, szigma-gyuru, szigma-algebra. Additív halmazfüggvény és mérték, a mérték tulajdonságai.
Külso mérték. Halmazgyuruben értelmezett mértékhez rendelt mérték, ennek relatív szigma-additivitása.
Elemi halmazok az euklideszi térben, elemi halmazok térfogata. A Lebesgue-féle külso mérték. Halmaz Lebesgue-mérhetosége.
Külso mértékhez rendelt mértéktér. Lebesgue-mérheto halmazok az euklideszi térben.
Mérheto függvények. Muveletek mérheto függvényekkel. Lépcsos függvények.
3. Integrálelmélet (4 eloadás)
Nem-negatív lépcsos függvény és nem-negatív mérheto függvény mérték szerinti integrálja.
Határátmenet az integráljel alatt. A monoton konvergencia Beppo Levi tétele, a Fatou-féle lemma.
Mérheto függvény mérték szerinti integrálja és tulajdonságai. A Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel.
A Riemann-és a Lebesgue-integrál kapcsolata. A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele.	

V. Könyvészet
[1]. Németh Sándor: Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004
[2]. V. Anisiu: Topologie şi teoria măsurii, Universitatea "Babeş-Bolyai", Cluj-Napoca, 1995.
[3]. C. Crăciun: Lecţii de analiză matematică, Universitatea Bucureşti, 1982.
[4]. C. Crăciun: Exerciţii şi probleme de analiză matematică, Universitatea Bucureşti, 1984.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1. eloadás
A metrikus tér nyílt halmazai (ismétlés). A topológia Haussdorf-féle axiómai. A topológia bázisa, szubbázisa, pont környezetszuroje.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 1-5 oldal

1. szeminárium
Halmaz számossága. Megszámlálható halmazok. A kontinuum-számosság. Megszámlálható halmaz részhalmazai családjának számossága. Halmazok egyesítése, keresztmetszete függvény általi képe és osképe.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

2-dik eloadás
A topológikus tér zárt részhalmazai. Halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontja és határa. A topológikus tér altere. Topológikus terek direkt szorzata.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 5-9 oldal

2-dik szeminárium
Metrikus terek. Az aritmetikus tér euklideszi, Csebisev-féle és Fréchet-féle metrikája. Ekvivalens metrikák származtatta topológiák megegyezése.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

3-dik eloadás
Számossági és szétválasztási axiómák. Folytonos függvények.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 9-13 oldal

3-dik szeminárium
Bázis, szubbázis. Példák a metrikus és az euklideszi térben. Rács, szuro, környezetszuro, környezetbázis. Példák általános topológikus térben és metrikus térben.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

4-dik eloadás
Kompakt halmazok Teljesség és kompaktság a metrikus térben.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 13-19 oldal

4-dik szeminárium
Halmazelméleti muveletekkel kapcsolatos feladatok: halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontjainak halmaza és határa képzésének muvelete.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

5-dik eloadás
Összefüggo halmazok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 19-22 oldal

5-dik szeminárium
Számossági axiómák közötti kapcsolatok. A szétválasztási axiómák ekvivalens jellemzése és a közöttük lévo kapcsolatok vizsgálata.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

6-dik eloadás
Nevezetes halmazcsaládok: halmazgyuru, halmazalgebra, szigma-gyuru, szigma-algebra. Additív halmazfüggvény és mérték, a mérték tulajdonságai.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 23-30 oldal

6-dik szeminárium
Folytonos függvényekkel kapcsolatos feladatok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

7-dik eloadás
Külso mérték. Halmazgyuruben értelmezett mértékhez rendelt mérték, ennek relatív szigma-additivitása.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 30-33 oldal

7-dik szeminárium
Kompaktsággal és összefüggoséggel kapcsolatos feladatok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

8-dik eloadás
Elemi halmazok az euklideszi térben, elemi halmazok térfogata. A Lebesgue-féle külso mérték. Halmaz Lebesgue-mérhetosége.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 33-38 oldal
8-dik szeminárium
Nevezetes halmazcsaládokkal kapcsolatos feladatok. Ekvivalens definíciók.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

9-dik eloadás
Külso mértékhez rendelt mértéktér. Lebesgue-mérheto halmazok az euklideszi térben.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 38-46 oldal

9-dik szeminárium
A félgyuru fogalma. Félgyuruk direkt szorzata félgyuru. A valós tengely szakaszai által származtatott gyuruk és félgyuruk. A Borel-féle halmaztest.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

10-dik eloadás
Mérheto függvények. Muveletek mérheto függvényekkel. Lépcsos függvények.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 51-62 oldal

10-dik szeminárium
Mértékterekkel kapcsolatos feladatok. A számlálási mérték. Az egy pontban koncentrált mérték. A Poincaré-féle formula.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

11-dik eloadás
Nem-negatív lépcsos függvény és nem-negatív mérheto függvény mérték szerinti integrálja.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 70-75 oldal

11-dik szeminárium
Lebesgue-mérhetoség a valós tengelyen. A Cantor-féle halmaz. A Cantor-féle függvény.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 46-50 oldal

12-dik eloadás
Határátmenet az integráljel alatt. A monoton konvergencia Beppo Levi tétele, a Fatou-féle lemma.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 75-85 oldal

12-dik szeminárium
Vitali példája nem Lebesgue-mérheto halmazra. Lépcsos függvényekkel és mérheto függvényekkel kapcsolatos feladatok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

13-dik eloadás
Mérheto függvény mérték szerinti integrálja és tulajdonságai. A Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 85-92 oldal

13-dik szeminárium
Határátmenet integráljel alatt. Példák annak szemléltetésére, hogy egyszeru esetekben a határátmenet nem viheto be az integráljel alá.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.
14-dik eloadás
A Riemann-és a Lebesgue-integrál kapcsolata. A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 93-97 oldal

14-dik szeminárium
A majdnem mindenholi konvergenciával kapcsolatos feladatok. Példák Lebesgue-integrálható függvényekre, amelyek nem Riemann-integrálhatók. Minden korlátos derivált függvény Lebesgue-integrálható.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek

VIII. Értékelés
Az egyetemisták értékelése az alábbi módon történik:
félévenként három felméro dolgozat írása, az alábbiak szerint:
(a) az elso felméro az 1. fejezetbeli - Általános topológia - elméleti ismeretek és feladatokat foglalja magában
(b) a második felméro a 2-dik fejezetbeli – Mértékelmélet - elméleti ismeretek és feladatokat foglalja magában
(c) a harmadik felméro a 3-dik fejezetbeli elméleti – Integrálelmélet - ismeretek és feladatokat foglalja magában
és a következo összetételben: 40% feladat megoldási készség és 60% elméleti ismeretek.
A végso jegy az (a), (b) és (c) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.	

IX. Kiegészíto könyvészet
[1]. C. George: Exercises in integration. Springer, New York, 1984 
[2]. J. Kelley: General topology. Van Nostrand, Princeton, 1950.
[3]. P. Kree: Integration et théorie de la mesure. Une approche geométrique, Ellipses, Paris, 1997.
[4]. W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw Hill, New York, 1988 (există traducere în limba română).
[5] G.B. Folland: Real Analysis. Modern Techniques and their applications, Wiley, 1999.	

	Dékán,						Tanszékvezeto,

	Dátum,						Eloadás felelose,
	27.11.2011						Prof. Dr.  BULBOACA Teodor