Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MML1001	Teoria grupurilor şi aplicaţii	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
1	2+1+0+1	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
COVACI Rodica	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Notiuni si rezultate de baza din teoria generala a grupurilor, o introducere in teoria reprezentarii grupurilor, prezentarea unor aplicatii.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. TEORIA ELEMENTARA A GRUPURILOR: Grup, subgrup, indice, teorema lui Lagrange, subgrup normal, grup cat (grup factor), omomorfisme, teoremele de izomorfism, grupul automorfismelor unui grup, automorfisme interioare, subgrupuri caracteristice si subgrupuri deplin invariante, centrul unui grup, comutatori, subgrup derivat (subgrup comutator).
2. ACTIUNI ALE GRUPURILOR PE MULTIMI: Grupuri de permutari, actiuni si reprezentari asociate, actiuni fidele, orbite si stabilizatori, actiuni tranzitive, teorema orbita-stabilizator, aplicatii.
3. STRUCTURA LOCALA A GRUPURILOR FINITE: Teoremele lui Sylow, teorema lui Cauchy, aplicatii.
4. STRUCTURA NORMALA A GRUPURILOR: Siruri de compozitie, grupuri resolubile, grupuri nilpotente, aplicatii.
5. REPREZENTARI ALE GRUPURILOR: Lema lui Schur, Teorema lui Maschke, caractere.
6. APLICATII ALE TEORIEI GRUPURILOR: Aplicatii in matematica, aplicatii in alte domenii.	

V. Bibliografie
1. Alperin, J.L.; Bell, R.B., Groups and representations, Springer-Verlag, New York,  1995.
2. Becheanu, M. si colectiv, Algebra, Editura ALL, Bucuresti, 1998.
3. Huppert, B., Endliche Gruppen I, Springer-Verlag, Berlin - New York, 1967.
4. Popescu, D.; Vraciu, C., Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986.
5. Purdea, I.; Pop, I., Algebra, Editura GIL, Zalau, 2003.
6. Purdea, I.; Pelea, C., Probleme de algebra, Editura EIKON, Cluj-Napoca, 2008.
7. Rotman, J.J., An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, New York, 1995.

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Urmatoarele teme vor fi predate la CURS si ilustrate prin exemple, exercitii si probleme la SEMINAR:
Sapt.1.  Grup, subgrup, grup ciclic, echivalente induse de un subgrup, indice, teorema lui Lagrange, teorema de factorizare a indicilor.
      [1, Cap.1, 1.]; [5, Cap.II, 2.3, 2.5, 2.6, 2.7]; [6]
Sapt.2.  Subgrupuri normale, grup cat (grup factor). Omomorfisme de grupuri, proprietati, cateva exemple standard, nucleul si imaginea unui omomorfism, subgrupurile unui grup cat. Teoremele de izomorfism pentru grupuri. 
      [1, Cap.1, 1.]; [5, Cap.II, 2.4, 2.8, 2.9, 2.10]; [6]
Sapt.3.  Produs direct de grupuri. Grupul automorfismelor unui grup. Automorfisme interioare. Subgrupuri caracteristice si subgrupuri deplin invariante. Centrul unui grup, ca subgrup caracteristic.
      [1, Cap.1, 2.]; [5, Cap.II, 2.12, 2.16]; [6]
Sapt.4.  Comutatori, subgrup derivat. Grupuri de permutari. Grupul simetric al unei multimi, grupul simetric de grad n si grupul altern de grad n.
      [1, Cap.1, 1.]; [2, Cap.IV, 8.]; [5, Cap.II, 2.11]; [6]
Sapt.5.  Actiunea unui grup pe o multime, reprezentarea prin permutari asociata. Actiuni fidele,  teorema lui Cayley (ca teorema de reprezentare).
      [1, Cap.1, 3.]; [4, Cap.IV, 1.]
Sapt.6.  Orbite si stabilizatori. Actiuni tranzitive. Teorema orbita-stabilizator si aplicatii ale acesteia (centralizatorul si numarul elementelor unei clase de conjugare a unui grup finit; normalizatorul si numarul subgrupurilor conjugate cu un subgrup al unui grup finit).
      [1, Cap.1, 3.]; [4, Cap.IV, 2., 3.]
Sapt.7.  Structura locala a grupurilor finite. Teoremele lui Sylow si consecinte. Teorema lui Cauchy.
      [1, Cap.3, 7.]; [5, Cap.II, 2.14, 2.15]; [4, Cap.V, 3.]; [6]
Sapt.8.  Proprietati si aplicatii ale subgrupurilor Sylow.
      [1, Cap.3, 7., 8.]; [5, Cap.II, 2.15]; [4, Cap.V, 3., 4.]
Sapt.9.  Structura normala a grupurilor. Siruri descendente de subgrupuri: siruri normale, siruri  subnormale, siruri de compozitie, siruri principale. Sir derivat, grup resolubil.
      [1, Cap.4, 10.]; [4, Cap.VI, 1.]; [6]
Sapt.10.  Grupuri resolubile si proprietati de baza ale acestora, caracterizare, teorema lui Burnside, teorema Burnside - Feit – Thompson, comportarea grupurilor simetrice de grad n fata de resolubilitate. Aplicatii (subgrupuri Hall).
      [1, Cap.4, 11.]; [5, Cap.II, 2.13]; [4, Cap.II, 12.]; [3, Kap. VI, 1.]; [6]
Sapt.11.  Grupuri nilpotente: definitie cu ajutorul sirului central descendent, proprietati de baza, caracterizarea grupurilor nilpotente finite. Aplicatii (subgrupuri Carter, teoria formatiilor).
      [1, Cap.4, 11.]; [4, Cap.VI, 4.]; [3, Kap.VI, 7.]
Sapt.12.  Reprezentari ale grupurilor. Reprezentari liniare si reprezentari matriciale. Reprezentari ireductibile, lema lui Schur.
      [4, Cap.VII, 1., 2.]
Sapt.13.  Reprezentari decompozabile, teorema lui Maschke. Caractere asociate reprezentarilor.
      [4, Cap.VII, 3., 4.]
Sapt.14.  Aplicatii ale teoriei grupurilor: a) in matematica; b) in alte domenii.
      [1, Cap.2, 4., 6.]; [4, Cap.VIII, Cap.IX]	

VII. Metode didactice folosite
Prelegeri, expuneri, conversatia, demonstratia didactica, problematizarea, studiul individual, exercitiul, referate.	

VIII. Evaluare
Referat(50%) + Examen(50%).
Fiecare student va prezenta cate un referat la seminar, continand un subiect de sinteza si aplicatii practice (probleme) referitoare la acel subiect.
Activitatea se incheie cu examen scris. Subiectele de examen vor consta din intrebari teoretice din materia predata la curs si aplicatii practice (probleme).	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	Covaci, R., Algebra si programare liniara, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1986.
2.	Nastasescu, C.; Nita, C.; Vraciu, C., Bazele algebrei, vol.I, Editura Academiei, Bucuresti, 1986.
3.	Purdea, I.; Pic, Gh., Tratat de algebra moderna, vol.I, Editura Academiei, Bucuresti, 1977.	

	Decan,							Sef de catedra,
            Prof. Dr. TAMBULEA Leon                                   Conf. Dr. BREAZ Simion

	Data,							Titular curs,
	15.10.2010					            Conf. Dr.  COVACI Rodica