Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MML0014	Teoria numerelor	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
5	2+1+0+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
BREAZ Simion Sorin	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Prezentarea elementelor de baza ale disciplinei; introducerea multimilor de numere, studiul divizibilitatii, al congruentelor si al functiilor aritmetice. Vor fi prezentate aplicatii ale teoriei numerelor in criptografie.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Multimi de numere si structurarea lor: studiul axiomatic (Peano) al multimii N a numerelor naturale; introducerea multimilor Z a numerelor intregi si Q a numerelor rationale; operatii si ordonare pe N, Z si Q; metoda inductiei matematice (variante).
2. Divizibilitatea in N si Z: relatia de divizibilitate in N si in Z, teorema impartirii cu rest, sisteme de numeratie, numere prime, teorema fundamentala a aritmeticii, teorema lui Euclid asupra multimii numerelor prime, criteriul general de divizibilitate, c.m.m.d.c., algoritmul lui Euclid.
3. Congruente si ecuatii diofantiene: relatia de congruenta modulo n pe Z, teorema Euler-Fermat, teorema lui Wilson si reciproca, congruente algebrice de gradul intai, ecuatii diofantiene de gradul intai.
4. Functii aritmetice: functia lui Euler, numarul si suma divizorilor unui numar natural.

V. Bibliografie
1. Becheanu,M. si colectiv, Algebra pentru perfectionarea profesorilor, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.
2. Burton D. Elementary number theory, 6ed., MGH, 2007
3. Breaz, S., Covaci, R. Elemente de Logica, Teoria multimilor si Aritmetica, Editura EFES, 2006.
4. Nastasescu, C., Nita, C., Brandiburu, C, Joita N., Culegere de probleme de algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1996

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Tematicile se refera atat la activitatile de curs cat si la cele de la seminar.
Saptamana 1 - Preliminarii  [3, Cap. 5], [2,  cap. 1]
           Introducerea numerelor naturale, intregi, rationale 
            Axiomele lui Peano;
            Inductie Mathematica 
 Saptamana 2 - Divizibilitatea in inelul intregilor [3, Cap. 5], [2, Cap. 2]
           Teorema impartirii cu rest
           Relatia de divizibilitate
           Cel mai mare divizor comun. Relatia Bezout             
Saptamana 3 - Numere prime si distributia lor [3, Cap. 5], [2, Cap. 3]
     Numere prime si numere ireductibile
     Teorema fundamentala a aritmeticii
           Numarul numerelor prime
           Ipoteza lui Goldbach
Saptamana 4 – Algoritmi si aplicatii [3, Cap. 5], [2, Cap. 12]
           Calculul celui mai mare divizor comun
            Numere Mersene
            Triplete Pitagoreice
            Marea Teorema a lui Fermat
Saptamana 5 - Congruente [3, Cap. 5],  [2, Cap.  4]
           Proprietati de baza
           Congruente liniare.   Lema chineza a resturilor
            Ecuatii diofantice (1)
Saptamana 6 – Mica Teorema lui Fermat [3, Cap. 5], [2, Cap. 5]
           Mica teorema a lui Fermat si numere pseudoprime
           Teste de primalitate
           Numere Fermat
Saptamana 7 – Teorema lui Euler-Fermat ; Teorema lui Wilson [3, Cap. 5], [2, Cap. 5]
           Indicatorul lui Euler           
           Teorema Euler-Fermat
           Teorema lui Wilson
Saptamana 8 – Aplicatii in criptografie [2, Cap. 10]
           Exemple elementare
           Sisteme Knapsack; RSA
Saptamana 9 - Functii aritmetice [2, Cap. 6]
            Numarul si suma divizorilor lui n
Saptamana 10 - Functii aritmetice [2, Cap. 6]
            Functia Moebius
            Produsul de convolutie
Saptamana 11 - Radacini primitive si indice  [2, Cap. 8]
            Grupul unitatilor lui Z_n   
            Congruente binome
Saptamana 12 - Resturi patratice [2, Cap. 9]
            Criteriul lui Euler. Simbolul lui Legendre
            Reciprocitate patratica
            Simbolul lui Jacobi
Saptamana 13 - Numere speciale [2, Cap. 11]
            Numere perfecte
            Numerele prime ale lui Mersenne
            Numere Fermat
            Numerele lui Fibonacci
            Suma de doua patrate
            Suma de mai multe patrate
Saptamana 14 - Ecuatii diofantice (2) [2, Cap. 15]
              Fractii continue finite si infinite  
              Ecuatia lui Pell	

VII. Metode didactice folosite
Prelegerea magistrală, prelegerea dialog, prelegerea cu demonstraţii, prelegeri introductive, prelegeri curente, prelegeri de sinteză; Conversaţia euristică, conversatia catihetica, dezbaterea, dialogul, conversaţii introductive, conversaţii de fixare şi consolidare a cunoştinţelor, conversaţii de sistematizare şi sinteză, conversaţii de aplicare; Demonstraţia cu ajutorul execuţiei la tablă; Problematizarea: utilizarea întrebărilor-problemă, problemelor şi situaţiilor-problemă. Redescoperirea dirijată şi independentă, descoperirea creativă, descoperirea inductivă, descoperirea deductivă, descoperirea analogică, descoperirea transductivă, descoperirea prin documentare.	

VIII. Evaluare
Un examen final (E) si un test la seminar (T). Examenul va evalua cunostintele teoretice acumulate in intreaga perioada si abilitatile practice dobandite la seminarii. Testul va evalua constinte practice dobandite si va contine exercitii si probleme. Conditia necesara (nu suficienta) de promovare este ca nota de la examen sa fie cel putin 5. Nota finala=75%E + 25%T.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Both,N., Aritmetica si teoria numerelor pentru perfectionarea profesorilor, Lito Cluj, 1981.
2. Kulikov,L.J., Algebre et theorie des nombres, Ed. Mir, 1982.
3. Nastasescu C., Nita, C., Popa, S.: Matematica, Manual pentru clasa a X-a, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1996
4.	Lang, S.:  Algebra, Springer Verlag Berlin, 2002

	Decan,							Sef de catedra,
	Prof. dr. Leon Tambulea				Conf. Dr.  BREAZ Simion Sorin

	Data,							Titular curs,
	30.09.2010						Conf. Dr.  BREAZ Simion Sorin