Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Informatică
Programul de studii: Informatică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MML0002	Algebra	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
1	2+2+0+0	alaptárgy 	kötelező	

II. Főállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
SZANTO Csaba Lehel	Dr. 	Conf.	Algebra,Analízis, Geometria	*	*		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkitűzései
Az előadás célja a lineáris algebra alapjainak bemutatása az algoritmikus módszerek illetve az informatikai alkalmazások kiemelésével. Az absztrakt levezetések többnyire mellőzve lesznek. A hangsúly az alapfogalmak és az explicit algoritmusok megértésén illetve ezek gyakorlati alkalmazásán van.

A szemináriumok célja az előadáson bemutatott fogalmak begyakorlása explicit példákon, gyakorlófeladatokon keresztül, nagy hangsúlyt fektetve a diákok önálló munkájára.	

IV. A tantárgy tartalma
Az első előadások az ismert algebrai struktúrák (halmazok, relációk, függvények, csoportok, gyűrűk, testek,polinomok) alaptulajdonságait tekintik át. A további előadások a lineáris algebra klasszikus fejezeteit követik. Előbb a lineáris algebra alapfogalmai (vektortér, bázis, lineáris függvény és mátrixa, báziscsere) és ezek alaptulajdonságai kerülnek bemutatásra.  Ezután következnek a különféle mátrixalkalmazások és az ezekhez kapcsolódó számolási algoritmusok (determinánsok, mátrix rangja és ezek kiszámolása, mátrix invertálása, lineáris egyenletrendszerek és ezek megoldása). A következő fejezet célja a mátrixok kanonikus alakjainak (trianguláris, diagonális, Jordan-féle normálalak) bemutatása a sajátérték, sajátvektor fogalmának bevezetésével. Szó lesz biliniáris és kvadratikus alakokról, euklidészi terekől és az ezekhez kötődő algoritmusokról. Az utolsó fejezetben a lineáris algebra kriptográfiai alkalmazhatóságát vázoljuk.	

V. Könyvészet
1. MARCUS A.: Algebra, Presa Universitară Clujeană 2008. [http://math.ubbcluj.ro/~marcus]	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
                                                           Előadás tematikája

 1.Hét. Halmazok és relációk. Csoportok. Részcsoportok. Csoportmorfizmusok. Permutációk.
            [1,1.1.,1.2. fejezet]
 2.Hét. Gyűrűk, testek. Polinomok. [1, 1.3., 1.4. fejezet]
3.Hét. Vektorterek. Lineáris függvények. Részterek. Generált résztér. Lineáris függőség és                  függetlenség  [1, 1.5.,2.1.1., fejezet]
4.Hét. Bázis fogalma. Steinitz tétele. Dimenzió. Dimenzióképletek. Alternatíva tételek.Vektorterek  univerzális tulajdonsága [1, 2.1.2.,2.1.3.,2.1.4. fejezet]
5.Hét. Lineáris függvény mátrixa. Báziscsere [1, 2.1.5.,2.1.6. fejezet]	
6.Hét. A determináns értelmezése. A determináns induktív értelmezése. Determinánsok tulajdonságai. [1, 2.2.1.,2.2.2.,2.2.3. fejezet]
7.Hét. Mátrix rangja. Kronecker rang tétele. Invertálható mátrixok. [1, 2.2.3, 2.2.4, fejezet]
8.Hét. Cramer, Kronecker-Capelli, Rouche tételei. Lineáris egyenletrendszerek generikus megoldása  [1, 2.3.1.,2.3.2. fejezet]
9.Hét. A kicserélési lemmán alapuló algoritmikus módszerek. [1, 2.3.3. fejezet]
10.Hét. Karakterisztikus polinom. Sajátértékek és sajátvektorok, sajátrészterek. Hamilton-Cayley-tétel.Triangularizálható mátrixok  [1, 2.4.1.,2.4.2. fejezet]
11.Hét. Diagonalizálható mátrixok. Jordan-féle normálalak [1, 2.4.3.,2.4.4. fejezet]
12.Hét. Bilineáris és kvadratikus alakok. Valós kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása Gauss-Lagrange módszerével. Sylvester-tétele [1, 2.5.1.,2.5.2.,2.5.3. fejezet]
13.Hét. Euklideszi terek. Ortonormált bázis. Gram-Schmidt ortogonalizálás. Valós kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása ortogonális transzformációk módszerével [1, 2.6.1.-2.6.5 .fejezet]
14.Hét. Kriptográfiai alkalmazások. [8]

                                                        Szeminárium tematikája

 1.Hét. Példák relációkra, csoportokra, részcsoportokra, csoportmorfizmusokra. Műveletek permutációkkal [1,1.1.,1.2. fejezet]
 2.Hét. Példák gyűrűkre, testekre. Feladatok polinomokkal. [1, 1.3., 1.4. fejezet]
3.Hét. Példák vektorterekre, lineáris függvényekre, részterekre. Feladatok lineáris függőség és                  függetlenséggel  [1, 1.5.,2.1.1., fejezet]
4.Hét. Feladatok bázisokkal. [1, 2.1.2.,2.1.3.,2.1.4. fejezet]
5.Hét. Feladatok lineáris függvény mátrixával. Báziscsere gyakorlása [1, 2.1.5.,2.1.6. fejezet]	
6.Hét. Determináns-számolási módszerek. Híres determinánsok [1, 2.2.1.,2.2.2.,2.2.3. fejezet]
7.Hét. Rangszámolási módszerek. Inverz mátrix számolása [1, 2.2.3, 2.2.4, fejezet]
8.Hét. Lineáris egyenletrendszerek megoldása  [1, 2.3.1.,2.3.2. fejezet]
9.Hét. A kicserélési lemmán alapuló algoritmikus módszerek begyakorlása. [1, 2.3.3. fejezet]
10.Hét. Karakterisztikus polinom, sajátértékek és sajátvektorok, sajátrészterek számolása.[1, 2.4.1.,2.4.2. fejezet]
11.Hét. Mátrixok diagonalizálhatóságának tanulmányozása.[1, 2.4.3.,2.4.4. fejezet]
12.Hét. Valós kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása Gauss-Lagrange módszerével. Szignatúra és definitás meghatározása [1, 2.5.1.,2.5.2.,2.5.3. fejezet]
13.Hét.  Gram-Schmidt ortogonalizálás. [1, 2.6.1.-2.6.5 .fejezet]
14.Hét.  Valós kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása ortogonális transzformációk módszerével
               [1, 2.6.1.-2.6.5 .fejezet]

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
előadás, beszélgetés, problémafelvetés	

VIII. Értékelés
A félév felénél sor kerül egy zárthelyi dolgozatra, mely majd a végleges jegy 20%-át teszi ki.
A zárthelyi szándékos kihagyása kizárja a vizsgán való részvételt.
Szemináriumon önállóan, helyesen megoldott feladat 0,2-vel emeli a végleges jegyet.

A vizsga írásbeli és a végleges jegy 80%-át teszi ki.	

IX. Kiegészítő könyvészet
1. Fried E.: Klasszikus és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest 1974.
2. Halmos P.:   Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest  1984.
3. I.D. ION, N. RADU, Algebra (ed.4), Editura Didactica si Pedagogica, 1990. 
4. I.V. PROSKURIAKOV: Problems in linear algebra, Mir Publishers, Moscow 1978.
5. S. AXLER: Linear algebra done right. Springer-Verlag, New York, 1997.
6. N. BOURBAKI, Algebre, chap. 1-3, Ed. Hermann, Paris 1970.
7. P. GABRIEL: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin   1996.
8. N. KOBLITZ: A course in number theory and cryptography, Springer,1994.	

            

	Dékán, 						Tanszékvezető,

	

	Dátum,						Előadás felelőse,
	2010.10.3							Conf. Dr.  SZANTO Csaba Lehel