Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: 
Programul de studii: Scoala doctorala
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMD2005	Teoria punctului fix şi aplicaţii (Fixed point theory and applications )	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
1	2+1+0+0		obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
PETRUSEL Adrian Olimpiu	Dr. 	Prof.	Matematică aplicată	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Scopul acestui curs este de a oferi studentilor cateva instrumente de lucru utile in abordarea unor probleme de analiza neliniara. Se vor prezenta concepte si rezultate fundamentale din teoria punctului fix si din analiza neliniara, concepte si rezultate care apoi se aplica in teoria ecuatiilor integrale si diferentiale si analiza functionala aplicata.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Principiul contractiei si aplicatii (convergenta sirurilor, ecuatii operatoriale, problema lui Cauchy, problema lui Dirichlet).
2 Generalizari si aplicatii ale principiului contractiei (teorema lui Kannan, teorema lui Maia).
3 Teorema lui Caristi-Browder, teorema contractiei pe grafic.
4 Notiunile de operator Picard si slab Picard. Exemple. Dependenta de date a multimii punctelor fixe.
5. Lema abstracta de tip Gronwall. Teoreme de comparatie.
6. Operatori complet continui pe spatii Banach. Exemple.
7. Teoremele lui Schauder si aplicatii in studiul ecuatiilor integrale de tip Fredholm si Volterra.
8. Operatori neexpansivi in spatii Hilbert
9. Tendinte actuale in analiza neliniara	

V. Bibliografie
1. RUS I.A.: Principii si aplicatii al teoriei punctului fix. Cluj: Ed. Dacia, 1979.
2. SMART D. R.: Fixed point theorems. Cambridge, 1974.
3. GRAMAS A. and DUGUNDIJI J., Fixed point theory. Springer, 2003.
4. RUS I.A.: Generalized contractions and applications, Cluj University Press 2001.
5. PETRUSEL A.: Operatorial Inclusions, House of the Book of Science, 2003.
6. AGARWAL R.P., MEEHAN M. and O@REGAN D.:  Fixed point theory and applications. Cambridge: Univ. Press, 2001.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs 1-2.  Principiul contractiei Banach-Caccioppoli. Teorema abstracta de dependenta de date a punctului fix. Versiunea locala a principiului contractiei. Referinte: [1]-pag. 9-11. Seminar 1-2. Aplicatii ale principiului contractiei in studiul unor ecuatii algebrice neliniare si a convergentei sirurilor de numere reale. Referinte: [1]-pag. 17-24.
Curs 3-4. Teorema de invarianta a domeniului. Teoreme de continuare pentru contractii. Alternativa neliniara. Referinte: [1]-pag. 11-15 . Seminar 3-4. Aplicatii ale principiului contractiei la studiul ecuatiilor integrale de tip Fredholm si Volterra. Referinte: [1]-pag. 55-57, [2]-pag. 15-21. (Tema)
Curs 5-6 Extinderi si generalizari ale principiului contractiei. Teoreme de punct fix pentru phi-contractii, teorema lui Kannan, teorema lui Maia. Referinte: [1]-pag. 15-23. Seminar 5-6  Aplicatii ale principiilor de continuare si ale alternativei neliniare. Referinte: [1]-pag. 74-81. (Tema)
Curs 7-8. Teorema Nemyitki-Edelstein. Teoreme de punct fix pentru contractii pe grafic. Teorema Caristi-Browder. Referinte: [5]-pag. 22-24, [1]-pag. 51-54. Seminar 7-8. Exemple si aplicatii la teoremele metrice. Referinte [5]-pag 5-25. (Tema) 
Curs 9. Operatori Picard si slab Picard. Teorema de caracterizare a operatorilor slab Picard. Referinte [4]-pag. 106-112. Seminar 9: Lucrare de control.
Curs 10. Lema abstracta de tip Gronwall. Teoreme de comparatie. Referinte: [4]-pag. 106-112. Seminar 10: Aplicatii la teorema de caracterizare a operatorilor slab Picard. Referinte: Referinte: [4]-pag. 106-112.
Curs 11. Teorema lui Brouwer. Principiul KKM si aplicatii. Referinte: [1]-pag.85-96. Seminar 11. Aplicatii la lema abstracta Gronwall si teorema de comparatie. Referinte: Referinte: [4]-pag. 106-112.
Curs 12.  Operatori compacti. Operatori complet continui. Exemple.  Referinte: [1]-pag.112-116. Seminar 12  Teorema lui Brouwer pe axa reala. Referinte: [4]-pag. 34-54.
Curs 13. Teoremele lui Schauder. Referinte: [1]-pag.116-120. Seminar 13. Aplicatii ale teoremelor lui Schauder. Teorema lui Peano. Referinte [1]-pag 154-156. (Tema)
Curs 14. Directii de cercetare actuale in analiza neliniara aplicata. Referinte [1-5]  Seminar 14. Modele de subiecte de examen si prezentarea rezultatelor obtinute in timpul semestrului.	

VII. Metode didactice folosite
prelegerea interactivă, modelarea, demonstraţia, conversaţia, lansare de teme pentru problemele studiate, exemplificarea şi problematizarea noţiunilor introduse, cooperarea,   studiul individual, exerciţiul	

VIII. Evaluare
Nota finala este compusa din: 
•	Examen scris la sfârşit de semestru. Pondere 50%
•	Doua lucrari de control in timpul semestrului. Pondere 25% 
•	Evaluarea temelor din timpul semestrului . Pondere  25%	

IX. Bibliografie suplimentară
) K. Border: Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.
2) K. Goebel, W. A. Kirk: Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.
3) I. A. Rus, A. Petrusel, G. Petrusel:  Fixed Point Theory, C.luj University Press, Cluj-Napoca, 2008..
4) W.A. Kirk, B. Sims (eds.): Handbook of Metric Fixed Point Theory. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001.
5)  J. Andres, L. Gorniewicz: Topological Fixed Point Principle for Boundary Value Problems, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003.	

	Decan,							Sef de catedra,
Prof.dr. Leon Ţâmbulea					Prof.dr. Octavian Agratini

	Data,							Titular curs,
								Prof. Dr.  PETRUSEL Adrian Olimpiu