Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: 
Programul de studii: Scoala doctorala
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMD2001	Aproximare prin operatori liniari	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
1	2+1+0+0		obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
AGRATINI Octavian	Dr. 	Prof.	Matematică aplicată	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Cursul conţine aplicaţii ale teoremelor de tip Korovkin.
 Cunoaşterea şi aprofundarea metodelor de construcţie a operatorilor de aproximare.
 Cunoaşterea celor mai noi rezultate obţinute relativ la generalizări ale unor operatori de aproximare	

IV. Conţinutul disciplinei
Produse de convoluţie şi operatori liniari pozitivi.
Construirea operatorilor liniari prin metode de sumare: Cesaro, Euler, Hausdorff, Jakimovski.
Construirea operatorilor liniari şi pozitivi prin metode probabilistice. Studiul operatorilor clasici: Bernstein, Baskakov, Feller, Favard-Szasz, Meyer-Konig si Zeller, Weierstrass.
Operatorii Stancu, Bleimann, Butzer şi Hahn.
Generalizări ale operatorilor clasici in sens Durrmeyer şi in sens Kantorovich. Proiectori Altomare şi aplicaţii.
Aproximarea functiilor convexe de ordin superior. Semigrupuri de operatori.
Polinoame de tip binomial şi aplicaţii.	

V. Bibliografie
[1] AGRATINI, O., Aproximare prin operatori liniari, Presa Universitară Clujeană, 2000.
[2] ALTOMARE, F., CAMPITI, M., Korovkin-type Approximation Theory and its Applications,  Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1994.
[3] ANASTASSIOU, G.A., GAL, S.G., Approximation Theory. Moduli of Continuity and Global Smoothness Preservation, Birkauser, Boston, 2000.
[4] STANCU, D.D., COMAN, GH., AGRATINI, O., TRIMBITAS, R., Analiză numerică şi teoria aproximării, Vol.I, Presa Universitară Clujeană, 2001.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni

Curs 1  Operatori liniari şi pozitivi: definiţii, proprietăţi. Norma şi spectrele unui operator liniar şi continuu. Convexitate de ordin p în sens T. Popoviciu.
	Seminar  Spaţii de funcţii şi proprietăţile lor caracteristice. Inegalităţi în spaţii normate.

Curs 2  Modulul de continuitate: definiţie, proprietăţi. Module de netezime de ordinul k: definiţie, proprietăti.
	Seminar  Polinoamele fundamentale Bernstein. Operatorii Bernstein şi proprietăţile lor.

Curs 3  Teoremele Bohman-Korovkin. Teoreme de evaluare a erorii determinată de aproximarea unei funcţii cu un operator liniar şi pozitiv.
	Seminar  Generalizări ale operatorilor Bernstein.

Curs 4  K-funcţionale: definiţii, proprietăţi. 
	Seminar  Şiruri de operatori de tip discret: Szasz, Baskakov. Proprietăţi.

Curs 5  Generalizări integrale ale operatorilor de tip discret. Operatorii Kantorovich şi operatorii Durrmeyer; proprietăţi.
Seminar  . Polinoame Laguerre într-un proces de aproximare.

Curs 6  Teorema Toeplitz. Metode de sumare: Cesaro, Euler, Hausdorff, Jakimovski, Meir-Sharma.
	Seminar  Combinaţii liniare de operatori pozitivi. Exemple.
	
Curs 7  Scheme aleatoare. Aplicaţii la construirea operatorilor de aproximare.
           Seminar    Rezervat unei lucrări scrise.

Curs 8  Studiul probabilistic al proprietăţilor operatorilor liniari. 
	Seminar  Operatorii Stancu generaţi de schema probabilistică Markov-Polya.
	
Curs 9  Formule de tip Voronovskaja.
	Seminar  Comportarea asimptotica a unor clase discrete de operatori.

Curs 10  Polinoame de tip binomial şi aplicaţii.
	Seminar  Operatori liniari cu proprietatea variaţiei diminuate.

Curs 11  Operatorii Feller. Generalizari.
	Seminar  Operatori de tip Gamma.

Curs 12  Semigrupuri de operatori. Rezultatele lui P.Butzer.
	Seminar  Operatori de tip Beta.

Curs 13  Operatori liniari invarianţi la translaţii.
	Seminar  Operatori liniari generaţi de o funcţie de scalare. Caz discret şi caz integral.

Curs 14  Aproximarea prin funcţii radiale.
Seminar  Prezentarea a doua articole aparute in 2010 si care vizeaza tematica cursului.	

VII. Metode didactice folosite
conversaţia, problematizarea, prelegerea interactivă, lansare de teme de cercetare pentru clasele de operatori prezentaţi, coordonarea unor referate solicitate doctoranzilor.	

VIII. Evaluare
Examen scris si prezentarea unui referat. Studentilor doctoranzi se acorda calificativ.   	

IX. Bibliografie suplimentară
[1] BENNETT, C., SHARPLEY, R., Interpolation of Operators, Academic Press, Inc., New York, 1998.
[2] DITZIAN, Z., TOTIK, V., Moduli of Smoothness, Springer Series in Computation Mathematics, Vol. 9, Springer-Verlag, New York Inc., 1987.	

	Decan,							Sef de catedra,
Prof. Dr. Ţîmbulea Leon                                                  Prof. Dr.  Agratini Octavian

	Data,							Titular curs,
1 octombrie, 2010					    Prof. Dr.  Agratini Octavian