Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Aplicată
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMC1004	Procese liniare de aproximare	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
3	2+1+0+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
AGRATINI Octavian	Dr. 	Prof.	Matematică aplicată	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
1. Aprofundarea diferitelor tehnici de construcţie a operatorilor liniari şi pozitivi.
2. Cunoaşterea unor clase remarcabile de operatori de aproximare de tip discret şi continuu.
3. Cunoasterea elementelor de analiză Fourier şi wavelets.	

IV. Conţinutul disciplinei
1.  Teoreme de bază pentru aproximarea funcţiilor prin operatori liniari şi pozitivi. Închideri Korovkin. Modul de continuitate. 
2. Operatori discreţi pentru aproximarea funcţiilor definite pe intervale nemărginite. Extensii integrale de tip Kantorovich şi Durrmeyer. Metode de sumare. Operatori invarianţi la translaţii.
3. Transformări Fourier. Proprietăţi. Formulele Gabor pentru transformări Fourier cu fereastră glisantă. 
4. Transformări wavelet. Analiză de rezoluţie multiplă. Descompuneri şi reconstrucţii wavelet.	

V. Bibliografie
1. Agratini, O., Aproximare prin operatori liniari, Presa Universitară Clujeană, 2000.
2. Stancu, D. D., Coman, Gh., Agratini, O., Trîmbiţaş, R., Analiză numerică şi teoria aproximării, Vol I, Presa Universitară Clujeană, 2001.
3. Agratini, O., Blaga, P., Coman, Gh., Lectures on Wavelets, Numerical Methods and Statistics, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2005, pp. 196.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
•	Curs 1  Operatori liniari şi pozitivi: definiţii, proprietăţi. Teoremele Bohman-Korovkin .
				Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap. 1,  § 1.1]
Seminar  Spaţii de funcţii şi proprietăţile lor caracteristice. Inegalităţi în spaţii normate.	

•	Curs 2  Modulul de continuitate: definiţie, proprietăţi.
				Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.1, § 1.2-1.3]
Seminar  Polinoamele fundamentale Bernstein. Operatorii Bernstein şi proprietăţile lor.

•	Curs 3   Teoreme de evaluare a erorii determinată de aproximarea unei funcţii cu un operator liniar şi pozitiv.
				Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.1, § 6]
Seminar  Polinoame Laguerre într-un proces de aproximare

Curs 4  Module de netezime de ordinul k si K-funcţionale: definiţii, proprietăţi.				           Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.1, § 1.4]
Seminar  Şiruri de operatori de tip discret: Szasz, Baskakov. Proprietăţi.

•	Curs 5  Generalizări integrale ale operatorilor de tip discret. Operatorii Kantorovich şi operatorii Durrmeyer; proprietăţi.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.6, § 6.2.6 - 6.2.7]
Seminar  Polinoame de tip binomial şi aplicaţii.

•	Curs 6  Teorema Toeplitz. Metode de sumare: Cesaro, Euler, Hausdorff, Jakimovski.			Reper în bibliografia obligatorie [1; Cap.3, § 3.6]
	Seminar  Produs de convoluţie, proprietăţi. Operatori de convoluţie.

•	Curs 7  Scheme aleatoare. Operatori de tip Feller.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.6, § 6.4.1 – 6.4.2]
	Seminar  Oră rezervată unei lucrări scrise.

•	Curs 8  Studiul probabilistic al proprietăţilor operatorilor liniari. Semigrupuri de operatori.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.6, § 6.4.6]
	Seminar  Operatorii Stancu generaţi de schema probabilistică Markov-Polya.
	.
•	Curs 9  Aproximare în spaţiile periodice , .
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1, § 1.2]
	Seminar  Transformări Fourier în  şi . Proprietăţi ale operatorului liniar .

•	Curs 10  Funcţii fereastră. Transformata Fourier cu fereastră glisantă şi formulele Gabor.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1, § 1.2]
	Seminar  Exemple de ferestre: calculul centrului şi a razei.
	
•	Curs 11  Noţiunea de wavelet. Tehnica aproximării semnalelor prin analiză wavelet.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1, § 1.3.1]
	Seminar  Sistemul Haar – Exemplu de funcţie wavelet ortogonală.
•	Curs 12  Analiză de rezoluţie multiplă (MRA) pe .
                                            Reper în bibliografia obligatorie [3 ; Cap.1, § 1.3.2 – 1.3.4]
	Seminar  Funcţii B-spline:  proprietăţi; utilizarea acestora în construirea unei (MRA).
		
•	Curs 13  Transformări wavelet: descompunerea şi reconstrucţia semnalelor.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.1; § 1.3.5 – 1.3.6]
	      Seminar  Variante de transformări wavelet integrale. Formule de reconstrucţie.

•	Curs 14  Operatori liniari invarianţi la translaţii.
	Seminar  Operatori liniari generaţi de o funcţie de scalare. Caz discret şi caz integral.
                                           Bibliografie: materialul reprezinta o sinteza a unor articole recent aparute

VII. Metode didactice folosite
conversaţia, problematizarea, prelegerea interactivă, lansare de teme de cercetare pentru clasele de operatori prezentaţi, coordonarea unor referate solicitate studenţilor	

VIII. Evaluare
Pe parcursul semestrului - o lucrare scrisă.
În sesiune -  examen scris.
Nota finală este media aritmetică a celor două note având ponderile 1/3, respectiv 2/3. 	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Altomare, F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and its Applications, Walter de  
                                               Gruyter, Vol. 17, Berlin - New York, 1994.
2. Anastassiou, G. A., Gal, S. G., Approximation Theory. Moduli of Continuity and Global Smoothness  
                                               Preservation, Birkhauser, Boston, 2000.
3. Debnath, L., Wavelet Transforms and their Applications, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 2002.
4. Gasquet, C., Witomski, P., Analyse de Fourier et applications, Masson, Paris, 1990.	

	Decan,							Sef de catedra,
Prof. Dr. ŢÎMBULEA Leon                                               Prof. Dr. AGRATINI Octavian

	Data,							Titular curs,
25 septembrie, 2010    				          Prof. Dr.  AGRATINI Octavian