Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMC0002	Teoria geometrică a funcţiilor analitice	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
5	2+1+0	specialitate	opţională	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
BULBOACA Teodor	Dr. 	Prof.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*	*		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A tantárgy célja mélyebb ismeretek elsajátítása az egyváltozós komplexfüggvények elméletében, ugyanakkor ezen elméleti tudnivalók elmélyítése különböző gyakorlati alkalmazásokon keresztül. A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek:
(a) a holomorf és meromorf függvényekkel kapcsolatos elméleti tudnivalók mélyebb ismerete megértése, a többértékű függvények egyértékű ágainak integrálása, és általánosított hatványsorba való fejtésének ismerete
(b) ismerje a nehezebb összetett integrálok kiszámítását, és ezeket alkalmazza valós integrálok kiszámításánál és valós analízisben
(c) az egyrétű függvények elméletének ismerete, ugyanakkor ismerje a konformis leképezéseket a sajátos alkalmazásokkal együtt
(d) annak felfedezése, hogy különleges módszerekkel nehéz feladatok is könnyen megoldhatóak.	

IV. A tantárgy tartalma
A tantárgy keretein belül tárgyalt témakörök:
1. A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények. Schwarz, illetve Poisson képlete (2 előadás)
2. Többértékű függvény egyértékű ágai. Az út adott pontra vonatkozó indexe. Cauchy képletei zárt görbére. (2 előadás)
3. Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Schwarz-féle lemma. (1 előadás).
4. Meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával. Cauchy zérushelyekkel és pólusokkal kapcsolatos tétele. Az argumentum változásának elve. Rouché tétele. A tartomány megtartásának elve. (3 előadás)
5. Konformis leképezések. Egyrétű függvények. Sajátos tulajdonságú holmorffüggvény-halmazok. Montel tétele. Vitali tétele. Pompeiu tétele. Majdnem konvex függvények. Hurwitz tétele. A konformis leképezés problémája. A Riemann-féle tétel. Konformitási sugár. (4 előadás)
6. Egységsugarú korongban egyrétű függvények tulajdonságjaj. Az S függvényosztály. (2 előadás)	

V. Könyvészet
1. Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2004.
2. Bulboacă, Teodor – Salamon, Julia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2002.
3. Hamburg, Petre – Mocanu, Petru – Negoescu, Nicolae : Analiză matematică (Funcţii complexe), Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1982.
4. Bulboacă, Teodor – Mocanu, Petru : Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1. előadás
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 44-53 oldal
1. szeminárium
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 53-78 oldal

2-előadás
Schwarz, illetve Poisson képlete.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 108-110 oldal
2-dik szeminárium
Komplex függvények integrálása.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 82-107 oldal

3-előadás
Többértékű függvény egyértékű ágai.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 53-55 és 98-100 oldal
3-dik szeminárium
Többértékű függvény egyértékű ágai.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 117-128 oldal

4-dik előadás
Az út adott pontra vonatkozó indexe. Cauchy képletei zárt görbére.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 100-106 oldal
4-dik szeminárium
Komplex függvények integrálása. Improprius integrálok I.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 128 és 237-247 oldal

5-dik előadás
Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Schwarz-féle lemma.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 135-140 oldal
5-dik szeminárium
Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Schwarz-féle lemma.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 180-190 oldal

6-dik előadás
Meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 163-165 és 182-185 oldal
6-dik szeminárium
Improprius integrálok II.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 247-257 oldal

7-dik előadás
Az argumentum változásának elve.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 185-186 oldal
7-dik szeminárium
Meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával I.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 262-266 oldal

8-dik előadás
Rouché tétele. A tartomány megtartásának elve.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 186-189 oldal
8-dik szeminárium
Meromorf függvények tanulmányozása a reziduumok felhasználásával II.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 266-276 oldal

9-dik előadás
Konformis leképezések. Sajátos tulajdonságú holmorffüggvény-halmazok. Montel tétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 199-203 oldal
9-dik szeminárium
Konformis leképezések I.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 277-282 oldal

10-dik előadás
Vitali tétele. Egyrétű függvények. Pompeiu tétele. Majdnem konvex függvények. Hurwitz tétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 203-208 oldal
10-dik szeminárium
Konformis leképezések II.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 283-287 oldal

11-dik előadás
A konformis leképezés problémája. A Riemann-féle tétel.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 208-213 oldal
11-dik szeminárium
Konformis leképezések III.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 287-294 oldal

12-dik előadás
Konformitási sugár.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 213-216 oldal
12-dik szeminárium
Konformis leképezések IV.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 295-302 oldal

13-dik előadás
Egységsugarú korongban egyrétű függvények tulajdonságjaj.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor - Mocanu, Petru : Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 1-8 oldal
13-dik szeminárium
Egyrétű függvények I.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Mocanu, Petru : Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 21-22 oldal

14-dik előadás
Az S függvényosztály.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor - Mocanu, Petru : Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 8-16 oldal
14-dik szeminárium
Egyrétű függvények II.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Mocanu, Petru : Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Cluj-Napoca, Editura Abel, 2003, 21-22 oldal	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 9, 10, vagy 11-es változatait. Ez a program alkalmazható a konformis leképezések megjelenítésére, hatványsorokba való fejtésére, a reziduumok és a komplex integrálok kiszámítására.	

VIII. Értékelés
Az egyetemisták értékelése az alábbi módon történik:
(a) félévenként három felmérő dolgozat írása, az alábbiak szerint:
- az első felmérő az 1. és 2-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a második felmérő a 2-dik és 3-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a harmadik felmérő a 3-dik és 4-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
(b) írásbeli vizsga, a következő összetételben: 60% feladat megoldási készség és 40% elméleti ismeretek.
A végső jegy az (a) és (b) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.	

IX. Kiegészíto könyvészet
A következő könyvészeti anyag, megtalálható a Matematika - Informatika kar könyvtárában:
1. Conway, J. B. : Functions of one complex variable II, Graduate Texts in Mathematics, 159, New York, Springer Verlag, 1996.
2. Gaşpar, Dumitru – Suciu, Nicolae : Analiză complexă, Bucureşti, Editura Academiei Române, 1999.
3. Krantz, Steven : Handbook of complex variables, Boston, Basel, Berlin: Birkhauser Verlag, 1999.
4. Mayer, Octav : Teoria funcţiilor de o variabilă complexă (vol. I, II), Bucureşti, Editura Academiei Române, 1981-1990.
5. Mocanu, Petru – Kohr, Gabriela : Capitole speciale de analiză complexă, Cluj-Napoca, Presa Universitară Clujeană, 2005.
6. Stoilov, Simion : Teoria funcţiilor de o variabilă complexă (vol. I, II), Bucureşti, Editura Academiei Române, 1954-1958.	

	Dékán,						Tanszékvezeto,

	Dátum, 2.10.2010						Eloadás felelose,
								Prof. Dr. BULBOACA Teodor