Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMC0002	Teoria geometrică a funcţiilor analitice	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
6	2+1+0+2	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
SALAGEAN Grigore Stefan	Dr. 	Prof.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Aprofundarea unor cunoştinţe din teoria geometricã a funcţiilor analitice. Dezvoltarea  abilităţii de a 
aborda şi rezolva unele probleme utilizând metode specifice analizei complexe. Crearea de condiţii 
permisive studiului individual al studentului Prezentarea principalelor clase de functii univalente
definite prin proprietati geometrice remarcabile precum si a unor aplicatii in reprezentarea conforma.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Functii univalente, rezultate clasice. Reprezentari conforme. Teorema lui Riemann. Teorema lui Carathéodory. 
2.  Clasa S. Teorema ariei. Teoreme de acoperire si deformare. Estimãri ale coeficienţilor funcţiilor din clasa S. 
3. Funcţii olomorfe cu partea realã pozitivã. Formula lui Herglotz. Reprezentãri prin integrale Stieltjes. Subordonare. Principiul subordonãrii. 
4. Clase speciale de funcţii univalente. Funcţii stelate, funcţii convexe, funcţii alfa-convexe, funcţii aproape convexe, funcţii spiralate. 
5. Subordonãri diferenţiale. Leme fundamentale. Rezultate generale. Aplicaţii. 
6. Introducere în teoria lanţurilor de subordonare diferenţialã în planul complex. Aplicaţii.	

V. Bibliografie
1. G. Kohr, P.T. Mocanu, Capitole Speciale de Analiză Complexă, Presa Univ. Clujeană, Cluj-Napoca, 2005.
2. P. T. Mocanu, T. Bulboacă, G. S. Sălăgean, Teoria Geometrică a Funcţiilor Univalente, Cluj-Napoca: Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca,Ed. II, 2006.
3. G. S. Sălăgean, Geometria Planului Complex, Promedia Plus, Cluj-Napoca, 1997.
4. P. Hamburg, P. T. Mocanu, N. Negoescu, Analiză Matematică (Funcţii complexe), Ed. Did. şi Ped., Bucureşti ,1982.
5. I. Graham, G. Kohr, Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions, Marcel Dekker Inc., New York, 2003.
6. S. S. Miller, P. T. Mocanu, Differential Subordinations. Theory and Applications, New York – Basel, Marcel Dekker Inc., 2000.
7. Ch. Pommerenke, Univalent Functions, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht,  1975.
8. A. W. Goodman, Univalent Functions, Mariner Publ. Comp., Tampa, Florida, 1984.
9. P. Duren, Univalent Functions, Springer-Verlag, New York, 1983.  
10. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3nd ed., Mc. Graw-Hill, 1987.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri
1. Funcţii univalente. Noţiuni şi rezultate generale. Aplicaţii. [1, Cap. 4], [2, Cap. 1], [3, Cap. 3], [4, Cap. 6], [5, Cap. 1].
2. Clasa S. Teoreme de acoperire şi deformare. Estimãri ale coeficienţilor. Compactitatea clasei S. [1, 
Cap. 4], [2, Cap. 1], [3, Cap. 3], [5, Cap. 1]. 
3. Metrica hiperbolicã pe discul unitate. Aplicaţii în studiul funcţiilor univalente. [1, Cap. 4], [3, Cap. 
2], [5, Cap. 1]. 
4. Clasa Carathéodory. Reprezentarea integralã a funcţiilor olomorfe cu parte realã pozitivã. 
Compactitatea clasei Carathéodory. Subordonare. [2, Cap. 3], [5, Cap. 2], [9, Cap. 1]. 
5. Funcţii stelate. Caracterizare analiticã. Teoreme de acoperire şi deformare. Estimãri ale 
coeficienţilor funcţiilor din clasa S*. [2, Cap. 4], [5, Cap. 2], [9, Cap. 2]. 
6. Funcţii convexe. Caracterizare analiticã. Teoreme de acoperire şi deformare. Teorema lui Alexander.
 Estimãri ale coeficienţilor funcţiilor din clasa K. [2, Cap. 4], [5, Cap. 2], [9, Cap. 2]. 
7. Funcţii alfa-convexe. Caracterizare analiticã. Teoreme de acoperire şi deformare. Teorema de 
stelaritate a funcţiilor alfa-convexe. Aplicaţii. [2, Cap. 4], [5, Cap. 2].
8. Funcţii aproape-convexe. Teorema lui Kaplan de caracterizare intrinsecã a funcţiilor aproape 
convexe. Estimãri ale coeficienţilor. Aplicaţii. [2, Cap. 4], [5, Cap. 2], [9, Cap. 2]. 
9. Funcţii spiralate. Caracterizare analiticã. Formula de structurã. Exemple şi aplicaţii. [2, Cap. 4], [5, 
Cap. 2], [9, Cap. 2]. 
10. Subordonãri diferenţiale. Leme fundamentale. Clasa funcţiilor admisibile. [2, Cap. 10], [6, Cap. 2]. 
11 Aplicaţii ale teoriei subordonãrilor diferenţiale. [2, Cap. 10], [6, Cap. 2-4]. 
12. Introducere în teoria lanţurilor de subordonare diferenţialã. Nucleul de convergenţã. Aplicaţii. [2, Cap. 8], [5, Cap. 3], [7, Cap. 6]. 
13. Ecuaţia diferenţialã Loewner. Scufundarea funcţiilor din clasa S în lanţuri de subordonare 
diferenţialã. [5, Cap. 3], [7, Cap. 6].    
14. Aplicaţii ale teoriei lanţurilor de subordonare diferenţialã la caracterizarea unor subclase ale clasei 
S (S*, K şi C). Criterii de univalenţã. [5, Cap. 3], [7, Cap. 6]. 
 Seminarii
1, 2.  Funcţii omografice, aplicaţii. [3, Cap.2], [4, Cap. 2]
3, 4. Reprezentări conforme, aplicaţii. [1, Cap. 5], [4, Cap. 6], [3, Cap. 2]. 
5, 6. Funcţii univalente, proprietăţi generale, exemple de funcţii univalente. [1, Cap. 4], [2, Cap. 1], [5, 
Cap. 1].
7,8. Principiul subordonării. Lema lui Sakaguchi. Aplicaţii relative la clasele S* şi K. [2, Cap. 3-4], [5, 
Cap. 2], [7, Cap. 3]. 
9,10. Aplicaţii relative la clasele funcţiilor spiralate, aproape-convexe şi alfa-convexe, probleme. [2, 
Cap. 3-4], [5, Cap. 2]. 
11,12. Aplicaţii ale teoriei subordonãrilor diferenţiale-exemple, probleme [2, Cap. 10], [6, Cap. 2-4]. 
13, 14.  Aplicaţii ale teoriei lanţurilor de subordonare diferenţialã-exemple, probleme, criterii de 
univalenţã. [ 5, Cap. 3], [7, Cap. 6].	

VII. Metode didactice folosite
-  Prelegerea interactivă, prelegerea magistrală, prelegerea dialog, prelegerea cu demonstraţii;
-  conversaţii introductive, conversaţii de fixare şi consolidare a cunoştinţelor, conversaţii de sistematizare şi sinteză;
-  utilizarea întrebărilor-problemă, problemelor şi situaţiilor-problemă;
-  redescoperirea dirijată şi independentă, descoperirea inductivă, descoperirea deductivă, descoperirea prin documentare;
-  exerciţiul.	

VIII. Evaluare
• Verificare pe parcurs (lucrare de control). 
Data: la mijlocul semestrului.
Modalitatea de evaluare: lucrare scrisã (1h 30 min). 
Obiective: se evalueazã competenţele practice dobândite de studenţi.  
• Examen final.
Data: sesiune. 
Modalitate de evaluare: lucrare scrisã (2h)+Oral (dacã este cazul). 
Obiective: se evalueazã cunoştinţele teoretice şi practice dobândite de studenţi. 
Tematica: întreg materialul predat. 
Nota finalã se constituie din: 
• Examen la final de semestru: 70% 
• Lucrare de control: 15% 
• Participarea activã la seminar: 15% 

Prin intermediul unui examen scris şi oral (dacã este cazul) se evalueazã capacitatea studenţilor de a 
aplica cunoştinţele dobândite la curs şi seminar. În plus, se noteazã activitatea studenţilor la seminarii 
pe parcursul semestrului şi munca individualã (rezolvãri de probleme)  şi se verificã cunoştinţele 
dobândite pe parcurs printr-o lucrare de control. Participarea activã la seminarii va fi recompensatã în 
evaluarea finalã. Prezenţa la ore: conform cerinţelor generale ale facultãţii.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. C.A. Berenstein, C.A., Gay, R., Complex Variables: An Introduction, Springer-Verlag New York, 1991. 
2. M. Rosenblum, J. Rovnyak, Topics in Hardy Classes and Univalent Functions, Birkhäuser Verlag, 1994
3. T. Ceauşu, N. Suciu, Funcţii Complexe. Probleme şi Exerciţii, Editura Mirton, Timişoara, 2001.
4. Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, I-III, Wiley Classical Library, J. Wiley & Sons, New York, 1993.
5. D. J. Hallenbeck, T. H. MacGregor, Linear Problems and Convexity Techniques in Geometric Function Theory, Pitman Adv. Publ. Program, Boston-London-Melbourne, 1984
6.  R. Remmert, Theory of Complex Functions, Springer-Verlag, New York, 1991. 
7. T. Bulboacã, Differential Subordinatios and Superordinations. Recent Results. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2005. 
8. R. Narasimhan, Y. Nievergelt, Complex Analysis in One Variable, Second Edition, Birkhäuser, 1985.
9. O. Mayer, Teoria Funcţiilor de o Variabilã Complexã, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1981. 
10. J.B. Conway, Functions of One Complex Variable, vol. I-II, Graduate Texts in Mathematics, 159, 
Springer Verlag, New York, 1996.	

		
	Decan,							Sef de catedra,
	Prof. dr. Leon TAMBULEA			Conf. dr. Simion BREAZ

	Data,							Titular curs,
	25.09.2010						Prof. dr.  Grigore Stefan  SALAGEAN